Задачи для самостоятельного решения

1.  Вычислить интеграл , где- винтовая линия

2.  Вычислить интеграл , где- коническая винтовая линия

3. Вычислить массу части параболы от точкидо точки, если линейная плотность равна.

4. Найти момент инерции однородной окружности относительно оси.

Ответы

1.  .2.  .

3.  .4.  .

Занятие 2

Пример. Найти работу векторного поля вдоль кривыхиот точки (0,0) до точки (1,1).

Решение. Работу векторного поля вдоль прямой вычислим при помощи криволинейного интеграла первого рода от скалярной функции, где- нормированный направляющий вектор нашей прямой с координатами.. Для сведения криволинейного интеграла первого рода к определенному уравнение нашей прямой представим в параметрическом виде:Производя замену и учитывая, чтополучаем:

Работу векторного поля вдоль параболы вычислим при помощи криволинейного интеграла второго родаДля сведения криволинейного интеграла второго рода к определенному уравнение нашей кривой представим в параметрическом виде:Производя замену и учитывая, чтополучаем:

Видим, что работа нашего векторного поля зависит не только от начальной и конечной точек, но и от пути интегрирования. Как будет показано, это связано с тем что данное поле не потенциально.

Пример. Найти работу векторного поля вдоль отрезка от точки (1,2,-1) до точки (3,3,2).

Решение. Работу векторного поля вдоль отрезка вычислим при помощи криволинейного интеграла второго рода Для сведения криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу, запишем параметрическое уравнение отрезка:Производя замену и учитывая, чтополучаем:

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль окружностив положительном направлении.

Решение. Циркуляцией называется работа векторного поля вдоль замкнутой кривой: Параметрическое уравнение окружности:Положительному обходу окружности, т.е. обходу против часовой стрелки, соответствует изменение параметра от 0 до. Производя замену и учитывая, чтополучаем

.

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, вырезанному из параболоидаплоскостямии положительном направлении относительно внешней нормали параболоида.

Решение. Наш контур состоит из трех кривых:- часть окружности;- часть параболы;- часть параболы. Поэтому для вычисления циркуляции надо вычислить три криволинейных интеграла второго рода:.

1). По :.

.

Производя замену и учитывая, что получаем:

2). По :. Переходим к определенному интегралу и получаем:

3). По :. Переходим к определенному интегралу и получаем:

Интегралы по второй и третьей кривым равны по модулю и различны по знаку, поэтому циркуляция векторного поля равна

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить работу векторного поля вдоль кривой

2. Вычислить циркуляцию векторного поля по контурув положительном направлении.

3. Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка от точкидо точки

4. Вычислить циркуляцию векторного поля по окружностив положительном направлении.

5. Вычислить работу векторного поля вдоль одного витка винтовой линии, пробегаемой в направлении возрастания параметра.

6. Вычислить работу векторного поля вдоль кривой, пробегаемой в направлении возрастания параметра.

Ответы

1.  . 2.  0. 3.  495.

4.  .5.  .6.  .