Задачи для самостоятельного решения
Разложить указанные функции в ряд Фурье по тригонометрической системе, указать период функции и построить ее график.
1.
;
2.
по синусам
;
3.
по косинусам,
;
4.
по косинусам;
5.
по синусам;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
.
Ответы
1.
.
2.
.3.
.4. 
.5.
.6. 
.7. 
.8. 
.
9.
.
10. 
.
Преобразование Фурье
Свертка
Фурье двух абсолютно интегрируемых на
всей прямой функций определяется
следующим образом:
.
Прежде,
чем найти преобразование Фурье функции
,
вычислим интеграл Эйлера-Пуассона, тем
самым убедимся в абсолютной интегрируемости
этой функции на всей прямой.
Пример.
Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона:
(
).
Решение.
Вычислим сначала
,
а именно, используя искусственный прием,
покажем, что
.
Действительно,
Отсюда
Заменой
переменной получим
для любого
.
Ответ:
.
Пример.
Найти преобразование Фурье функции
(
).
Решение.
По определению преобразования Фурье
.
Под интегралом аналитическая функция,
не имеющая особенность в конечной части
плоскости и стремящаяся к нулю вдоль
каждой прямой параллельной действительной
оси. В силу теоремы Коши интеграл не
изменит своего значения, если его взять
не по действительной оси, а вдоль любой
прямой
(
-
константа), параллельной действительной
оси.
Отсюда
.
Ответ:
.
Пример.
Найти преобразование Фурье по переменной
функции
(
),
зависящей от положительного параметра
.
Решение.
Из предыдущего примера следует, что
для любого
.
Отсюда, учитывая линейность преобразования
Фурье, получим
.
Полагая в последнем равенстве
,
получим
.
Ответ:
.
Пример.
Предполагая производную
от абсолютно интегрируемой на всей
прямой функции
,
также абсолютно интегрируемой на всей
прямой, найти зависимость между их
преобразованиями Фурье.
Решение.
Имеем
.
Отсюда существуют пределы
и
.
В силу абсолютной интегрируемости
на всей прямой
и
.
По определению преобразования Фурье
Ответ:
.
Замечание.
Методом математической индукции можно
показать, что
.
Пример. Найти преобразование Фурье от свертки.
Решение. По определению преобразования
Меняем порядок интегрирования
.
Делаем
замену переменной
.
Окончательно, получим
т.е., также как в случае преобразования Лапласа, преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований Фурье.
Ответ:
.
Косинус- преобразование и синус-преобразование Фурье
Пример.
Найти косинус-преобразование Фурье
функции
(
).
Решение. По определению косинус-преобразования Фурье
.
Так
как
- четная функция, то
,
а
.
Поэтому
.
В примере было найдено
.
Отсюда
.
Ответ:
.
Пример.
Найти синус-преобразование Фурье функции
(
).
Решение. По определению синус-преобразования Фурье
.
Используя формулу интегрирования по частям, преобразуем интеграл:
.
Из результата первого примера получим
.
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11 - 13 представить указанные функции интегралом Фурье.
11.
;
12.
.
13.
.
В задачах 14 - 19 найти преобразование Фурье следующих функций.
14.
;
15.
;
16.
,
где
;
17.
;
18.
;
19.
.
В
задачах 20 - 21
решить интегральное уравнение
.
20.
;
21.
.
Ответы
11.
.
12.
.
13. 
.
14.
.
15.
. 16.
.
17.
.
18.
.
19. 
.
20.
.21.
.