8.3 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі

Розглянемо фільтрацію до свердловини, концентрично розміщеної в круговому пласті.

Розподіл функції Лейбензона за аналогією описується формулою:

, (8.29)

а розподіл тиску газу звідси з використанням виразу (8.10) отримуємо у вигляді:

. (8.30)

У даному випадку лійка депресії тиску значно крутіша, ніж у разі фільтрації нестисливої рідини (рис. 8.1).

Градієнт функції Лейбензона із формули (8.29)

(8.31)

або, аналогічно переходячи до тиску,

, (8.32)

звідки градієнт тиску

. (8.33)

Об’ємна швидкість фільтрації за тиску р в будь-якій точці пласта

. (8.34)

Дебіт газової свердловини в разі припливу ідеального газу за законом Дарсі за аналогією описуємо формулою:

, (8.35)

звідки отримуємо

. (8.36)

Об’ємну витрату газу необхідно також звести до атмосферної (нормальної 273,15 К чи стандартної 293,15 К) температури, використовуючи закон Шарля

або, (8.37)

тобто витрату Q₀ слід помножити на температурну поправку

, (8.38)

де – об’ємна витрата газу за атмосферних (стандартних чи нормальних) умов, оскільки– об’ємна витрата газу за умов атмосферного тиску і пластової температури; ,Т_пл – температури відповідно атмосферна і пластова.

Задача 8.1. У пласті має місце плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі. Визначити тиск, швидкість фільтрації і середню дійсну швидкість руху газу на відстані 40 м від свердловини. Відомо: тиски на контурі живлення пласта і на вибої свердловини 10 МПа і 7 МПа; зведений до нормальних умов об’ємний дебіт газу 10⁶ м³/добу; радіуси контуру живлення пласта і свердловини 900 м і 0,1 м; товщина пласта 12 м; коефіцієнт пористості гірської породи 17 %; пластова температура 90^оС.

Розв’язування. Тиск ідеального газу знаходимо за формулою:

Па.

Так як дебіт газу Q₀, зведений до нормальних умов (T₀), визначається за формулою:

,

то дебіт Q за пластової температури T_пл

,

а відтак швидкість фільтрації в пласті на відстані r = 40 м

Середня дійсна швидкість руху газу на відстані 40 м від свердловини

м/с.

Відповідь: 9,086 МПа; 5,692·10^-5 м/с; 33,485·10^-5 м/с.

Індикаторна діаграма в разі фільтрації газу будується в координатах . У даному випадку вона є прямою лінією.

Середній тиск газу в пласті знайдемо, взявши об’єм пор пласта ,, тобто

. (8.39)

Інтеграл у рівнянні (8.39) не виражається в кінцевому вигляді. Якщо підінтегральний вираз розкласти в ряд, утримати два перших члени ряду й нехтувати членами, що містять через їх малу величину, то можна одержати наближену формулу:

. (8.40)

Розрахунки за рівняннями (8.39) чи (8.40) показують, що середній тиск у круговому пласті близький до контурного тиску, тобто

, (8.41)

що фізично пояснюється великою кривиною лійки депресії тиску.

Цей висновок щодо близькості тисків має важливе практичне значення, оскільки заміна середнього тиску контурним тискомр_к значно спрощує розрахунки процесів розробки газових покладів.

8.4 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за двочленним законом

Закон Дарсі під час фільтрації газу до свердловини в більшості випадків порушується, особливо за великих дебітів. У таких випадках фільтрацію звичайно описують двочленною формулою:

. (8.42)

Формули розподілу тиску і дебіту газової свердловини одержимо, безпосередньо інтегруючи рівняння (8.42).

Попередньо записуємо:

;. (8.43)

Тоді, підставляючи  і v у рівняння (8.42), маємо:

. (8.44)

Скорочуючи, розділяючи змінні й інтегруючи, знаходимо рівняння розподілу тиску, тобто:

; (8.45)

; (8.46)

; (8.47)

. (8.48)

Зіставляючи формули (8.30) і (8.48), доходимо висновку, що в разі порушення закону Дарсі лійка депресії тиску ще крутіша. Враховуючи велику кривину лійки депресії, ще раз переконуємося в справедливості припущення про ізотермічність процесу фільтрації газу, оскільки основна зміна температури внаслідок дросельного ефекту відбувається в найближчій околиці свердловини.

Оскільки для, то з рівняння (8.47) одержуємо формулу дебіту газової свердловини в разі припливу ідеального газу за двочленним законом:

(8.49)

або

, (8.50)

де коефіцієнти фільтраційного опору

;. (8.51)

Задача 8.2. Дебіт газової свердловини, зведений до нормальних умов, становить 150 тис. м³/добу. Визначити, чи фільтрація відбувається за законом Дарсі, а також за якої депресії тиску працює свердловина. Якщо закон Дарсі порушується, то розрахувати коефіцієнт макрошорсткості. Відомо: товщина і коефіцієнт проникності пласта 7 м і 10^-14 м²; середня молекулярна маса газу М = 18; динамічний коефіцієнт в’язкості газу 0,016 мПа·с (газ вважати ідеальним); температура пласта 52 ^оС; тиск на вибої свердловини 14 МПа; коефіцієнт пористості пласта 12%; радіус свердловини по долоту 0,073 м; радіус контура живлення пласта 1000 м.

Розв’язування. Щоб вияснити, чи порушується закон Дарсі, потрібно визначити число Рейнольдса за формулою Щелкачова:

,

де , μ – відповідно кінематичний і динамічний коефіцієнти в’язкості газу; ρ – густина газу.

Густина газу за нормальних умов кг/м³, де V = 22,4 м³, а тоді густина газу за умов на вибої

кг/м³,.

Швидкість фільтрації знаходимо за формулою:

м/с.

Відтак число Рейнольдса

.

Отже, закон Дарсі порушується, так як Re_кр = 1, а Re > Re_кр. Тоді визначаємо коефіцієнт макрошорсткості l, який характеризує внутрішню структуру порового простору, із формули А.Й. Ширковського:

м.

Визначаємо тиск на контурі живлення пласта:

Тоді репресію тиску визначаємо за формулою:

Па.

Відповідь: закон Дарcі порушується; Δр = 4,763 МПа; l' = 3,818·10^-10 м.

Індикаторна лінія згідно з формулою (8.50) є параболою з опуклістю до осі дебітів (рис. 8.2, а).

Коефіцієнти А і В визначають за даними газодинамічного дослідження свердловини на усталених режимах, записуючи формулу (8.50) у вигляді:

, (8.52)

де коефіцієнт А знаходять аналітично з використанням ПЕОМ чи графічно як відрізок на осі ординат, а коефіцієнт В – як тангенс кута  нахилу прямої (рис. 8.2, б). Тут також необхідно дебіт Q₀ помножити на температурну поправку .

Коефіцієнти А і В можна розрахувати, наприклад, за формулами згідно з методом найменших квадратів, тобто

де N – кількість режимних точок на індикаторній діаграмі, а суми визначають для всіх виміряних значин іQ_o.

За знайденими значинами коефіцієнтів А і В визначають параметри пласта, наприклад коефіцієнт гідропровідності пласта (точніше коефіцієнт газопровідності пласта)

(8.53)

і коефіцієнт макрошорсткості

. (8.54)

Задача 8.3. Газову свердловину дослідили на двох режимах фільтрації і одержали таку відповідність між дебітом і вибійним тиском:

Q, тис. м^3/добу	85,52	210,75
рс, МПа	9,45	9,2

Знайти коефіцієнти фільтраційних опорів, якщо тиск на контурі пласта становить 9,53 МПа.

Розв’язування. Переведемо одиниці в систему СІ:

м³/с; м³/с.

р_с1 = 9,45·10⁶ Па; р_с2 = 9,2·10⁶ Па; р_к = 9,53·10⁶ Па.

Розраховуємо різниці квадратів тисків на обох режимах:

Па²;

Па².

Перепозначаємо змінні для спрощення запису і обчислюємо їх:

(Па²·с)/м³; (Па²·с)/м³.

Складаємо систему рівнянь:

Дану систему рівнянь використовуємо для визначення двох невідомих коефіцієнтів А і В, яку розв’язуємо матричним способом. Складаємо матрицю вільних членів та матрицю коефіцієнтів:

; ;

А = 8,5117·10¹¹ (Па²·с)/м³; В = 6,8988·10¹¹ (Па²·с²)/м⁶.

Відповідь: коефіцієнти фільтраційних опорів А = 8,5117·10¹¹ (Па²·с)/м³;

В = 6,8988·10¹¹ (Па²·с²)/м⁶.