5 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом і в неоднорідних пластах

5.1 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом до свердловини

Нелінійний закон фільтрації виражається степеневою та двочленною формулами.

Степенева формула стосовно до плоско-радіального потоку записується так (див. гл.1):

, (5.1)

а з іншого боку маємо швидкість фільтрації:

. (5.2)

Прирівнюючи формули (5.1) та (5.2), розділяючи змінні й інтегруючи, дістаємо рівняння розподілу тиску:

(5.3)

Оскільки тиск p = p_сдля радіусаr = r_с, то з (5.3) маємостепеневу формулу дебіту свердловини в разі порушення закону Дарсі:

(5.4)

або

, (5.5)

де K_п – коефіцієнт пропорціональності (не коефіцієнт продуктивності), що залежить від показника режиму фільтраціїn, який за різних режимів роботи свердловини набуває різних значин ( показник, оскільки він залежить від швидкості, хоч у ході виведення формул ми припустили його таким, що дорівнює сталій величині).

У цьому випадку індикаторна діаграма представлена параболою n-го порядку (рис. 5.1). Оскількито маємо як граничні часткові випадки: дляn= 1 – лінійну залежність (справедливий закон Дарсі) і дляn= 0,5 – квадратичну параболу (справедливий закон Краснопольського).

Задача 5.1. Нафтову свердловину дослідили на чотирьох усталених режимах і отримали таку залежність між дебітом Q_о (за поверхневих умов) та вибійним тиском р_в:

Дебіт Qо, т/доб	33,4	49,6	62,45	73,6
Вибійний тиск рв, МПа	13	12	11	10

Треба обробити результати дослідження свердловини, визначивши необхідні параметри, і записати рівняння припливу рідини у свердловину. Відомо: густина розгазованої нафти ρ_но = 882 кг/м³; об’ємний коефіцієнт нафти в_н = 1,07; тиск на контурі живлення пласта (пластовий тиск) р_к = 14 МПа.

Розв’язування. Перераховуємо дебіт свердловини з поверхневих умов до пластових умов за формулою:

,

тобто

4,69·10^-4 м³/с;

6,964·10^-4 м³/с;

8,769·10^-4 м³/с;

10,334·10^-4 м³/с.

Побудувавши індикаторну діаграму в координатах Q(Δp), переконуємося, що вона має нелінійний характер, де Δp – депресія тиску. Вважаємо її параболою. Для визначення коефіцієнта пропорціональності К_n і показника режиму фільтрації n беремо рівняння припливу у вигляді:

Q = К_п Δpⁿ,

а прологарифмувавши його, отримуємо рівняння прямої лінії

lnQ = lnК_п + n lnΔp.

Для визначення коефіцієнта пропорціональності К_п і показника режиму фільтрації n із цього рівняння прямої лінії використовуємо метод найменших квадратів. Для цього складаємо систему рівнянь:

де a, b – шукані коефіцієнти лінії; m – кількість відомих точок лінії (m = 4); x_i = ln Δp_i; y_i = ln Q_i.

Для розв’язування даної системи рівнянь використовуємо метод Крамера. Складаємо матриці визначників – загального і для визначення а та b:

; ;.

Для знаходження a та b використовуємо машинну програму в системі MathCAD:

, .

Знаходимо коефіцієнт пропорціональності К_п та показник режиму фільтрації n, які рівні:

1,788·10^-7  м³/(с·Паⁿ), n = а = 0,57.

Відповідь: коефіцієнт пропорціональності К_п = 1,788·10^-7 м³/(с·Паⁿ); показник режиму фільтрації n = 0,57; рівняння припливу Q = 1,788·10^-7 ·(р_к ‑ р_в)^0,57.

Тут ми припустили, що закон Дарсі порушується в усьому пласті. Проаналізуємо особливості фільтрації рідини до свердловини. Якщо закон Дарсі справедливий, то згідно з (4.33) швидкість фільтрації

. (5.6)

Звідси можна зробити такі висновки:

1. з наближенням до свердловини (r > r_с) швидкість фільтраціїзростає (гіперболічна залежність від радіусаr);

2. швидкість фільтрації прямо пропорційно зростає із збільшенням перепаду тискуp;

3. за відповідної значини депресії тиску pз наближенням до свердловини (радіусзменшується) швидкістьможе сягати критичної значини, тобто в пласті появиться зона порушення закону Дарсі;

4. за подальшого збільшення депресії тиску pзона порушення закону Дарсі розширюється;

5. за великих значин перепаду тиску pзакон Дарсі може порушуватись в усьому пласті.

Отже, не в усьому пласті відразу матиме місце порушення закону Дарсі: у пласті можуть одночасно існувати зони лінійного та нелінійного законів (рис. 5.2). Тоді індикаторна діаграма із зростання депресії тиску буде спочатку прямою лінією, а відтак з певної значини депресії тискуpпочне викривлюватися в міру збільшення зони нелінійного закону фільтрації (рис. 5.3,а). Розрахунки по багатьох, навіть високодебітних свердловинах показують, що зона порушення закону Дарсі незначна і обмежується кількома метрами біля вибою свердловини.

Точно говорити про одночасне існування в пласті двох певних законів фільтрації не можна. Можна говорити про постійне збільшення відхилення фільтрації від закону Дарсі (показник nзалежить від швидкості, а швидкістьобернено пропорційно залeжить від радіусаr). Такому плавному порушенню закону Дарсі найкраще відповідає двочленна формула нелінійного закону:

, (5.7)

де .

Розв’язуючи рівняння (5.7), маємо рівняння розподілу тиску в разі порушення закону Дарсі:

(5.8)

і (за r = r_с, p = p_c)двочленну формулу припливу рідини у свердловину

(5.9)

або

, (5.10)

де A,B– коефіцієнти фільтраційного опору, причому коефіцієнтAвраховує сили в’язкого тертя і геометрію потоку, а коефіцієнтB– інерційні сили і також геометрію потоку.

Зіставивши рівняння (4.36) і (5.8), дійдемо висновку, що у випадку фільтрації за нелінійним законом лійка депресії тиску крутіша (п’єзометрична лінія на графіку розміщується вище), ніж у разі фільтрації за законом Дарсі.

Індикаторна лінія в цьому випадку представлена параболою (рис. 5.3, а). КоефіцієнтиAі Bзвичайно визначають за результатами дослідження свeрдловини, записуючи (5.10) за Мінським у вигляді:

. (5.11)

Тоді із графіка в координатах іQзнаходять коефіцієнтAяк відрізок на осі ординат і коефіцієнтBабо як тангенс кутанахилу прямої лінії до осі (рис. 5.3,б), або з використанням методу найменших квадратів, або в машинній програмі системиMathCAD з використанням оператора лінійної регресії. Знаючи коефіцієнтиАіВ, визначають коефіцієнт гідропровідності пласта

(5.12)

чи коефіцієнт проникності пласта

(5.13)

та коефіцієнт макрошорсткості

. (5.14)

Одержані в підрозділі 5.1, як і в 4.2, формули справедливі й для випадку нагнітання рідини в пласт (нагнітальна свердловина), при цьому p_c > p_кі у формули замість різниці тиску (p_к – p_c) треба підставити різницю тиску (p_c – p_к), тобто замість депресії тиску треба підставити репресію тиску.

Задача 5.2. Нафтову свердловину дослідили на чотирьох усталених режимах і отримали наступну відповідність між дебітом свердловини Q за пластових умов, який перераховано з поверхневих умов (див. задачу 5.1), і депресією тиску Δp:

Q, м^3/с	6,019·10^-4	8,345·10^-4	10,185·10^-4	11,551·10^-4
Δp, Па	1,9·10^6	3,1·10^6	4,2·10^6	5,13·10^6

Необхідно обробити результати дослідження свердловини і визначити параметри пласта. Відомо: товщина пласта h = 17 м; динамічний коефіцієнт в’язкості нафти μ = 2,5 мПа·с; густина нафти за пластових умов ρ = 858 кг/м³; радіуси свердловини r_c і контуру пласта R_к рівні 0,07 м і 650 м.

Розв’язування. Побудувавши попередньо індикаторну діаграму в координатах Q(Δp), переконуємося, що вона має нелінійний характер. Подавши її у вигляді прямої лінії за рівнянням

,

визначаємо коефіцієнти фільтраційного опору А та В із системи рівнянь за методом найменших квадратів. Для цього складаємо систему рівнянь:

де А, В – шукані коефіцієнти фільтраційного опору; m – кількість відомих точок лінії; x_i = Q_i; y_i = .

Для розв’язування даної системи рівнянь використовуємо метод Крамера. Складаємо матриці визначників – загальний і для визначення коефіцієнтів А і В:

; ;.

Для знаходження значин коефіцієнтів А та В використовуємо машинну програму в системі MathCAD:

1,7708·10⁹ Па·с/м³; 2,314·10¹² Па·с²/м⁶.

Тоді розраховуємо послідовно:

коефіцієнт гідропровідності пласта

8,211·10^-10 м³/(Па·с);

коефіцієнт проникності пласта

1,208·10^-13 м²;

коефіцієнт макрошорсткості пористого середовища

4,647·10^-13 м.

Відповідь: А = 1,7708·10⁹ Па·с/м³; В = 2,314·10¹² Па·с²/м⁶; ε = 8,211·10^-10 м³/(Па·с); k = 0,1208 мкм²; = 4,647·10^-13 м.