- •14 Основи неізотермічної фільтрації рідин і газів
- •14.1 Теплове поле Землі. Геотерма. Причини неізотермічних умов фільтрації
- •14.2 Диференціальне рівняння енергії пластової системи
- •14.3 Визначення втрат теплоти через покрівлю та підошву пласта
- •14.4 Температурне поле нетеплоізольованого пласта в разі плоско-радіальної фільтрації нестисливої рідини
- •14.5 Температурне поле теплоізольованого пласта під час нагнітання у свердловину гарячої рідини
- •Контрольні питання
14.2 Диференціальне рівняння енергії пластової системи
Для гідродинамічного описування фільтрації з метою врахування зміни стану і властивостей флюїдів необхідно ввести нову невідому змінну – температуру Т. А для того, щоб система рівнянь для однофазного чи багатофазного потоку була замкнутою (тобто розв’язувалась), треба ввести додатково ще одне рівняння (термодинамічне) – рівняння енергії пластової системи. Воно виражає закон збереження енергії (перший закон термодинаміки).
Під час вивчення енергетичного стану пластів у загальному випадку треба враховувати зміну в пластах повної енергії, яка охоплює:
а) внутрішню енергію порід і насичуючих флюїдів;
б) конвективне і теплопровідне перенесення теплоти (підведення і відведення теплоти);
в) потенціальну енергію положення та кінетичну енергію;
г) виконувану флюїдами роботу.
Виведемо спрощене рівняння енергії, яке найчастіше використовується в розрахунках, для чого введемо деякі припущення. Обмежимося одновимірною задачею, візьмемо пласт горизонтальним (зміна потенціальної енергії дорівнює нулю), нехтуємо зміною кінетичної енергії (внаслідок її малості через малі швидкості руху), а також припливом теплоти від в’язкого тертя. Тоді рух однорідної пружної рідини в пористому середовищі пов’язаний з такими переміщеннями теплової енергії:
а) конвективним перенесенням теплоти;
б) теплопровідним (кондуктивним) перенесенням теплоти;
в) дросельним ефектом (робота, що виконується системою, перетворюється на теплоту, яка залишається в системі);
г) адіабатичним ефектом (зовнішня робота здійснюється за рахунок зменшення внутрішньої енергії системи, тобто під час розширення системи вона, як правило, охолоджується);
ґ) теплообміном між рідиною та пористим тілом.
Теплообмін між рідиною та пористим середовищем відбувається надзвичайно швидко (до 1 с) через наявність величезної поверхні контакту між ними (поверхні теплообміну між рідиною і пористим середовищем), тому під час розгляду процесів розробки нафтових родовищ припускають температури рідини і скелету породи однаковими.
Дросельний ефект (або ефект Джоуля – Томсона) призводить до зміни температури рідини вздовж шляху фільтрації. Усталену зміну температури рідини (газу) за зміни тискуможна визначити за формулою
, (14.3)
де – інтегральний коефіцієнт Джоуля – Томсона. Для води він дорівнює -0,235 К/МПа (в інтервалі від -0,18 до -0,22 К/МПа), для нафти дорівнює -(0,4-0,6) К/МПа, для вуглеводневого газу становить +(0,15-2,5) К/МПа. Якщо перепад тиску= 10 МПа, то зміна температури нафти= 4-6 К (нагрівання), води= 2,35 К (нагрівання), а для вуглеводневого газу = ‑(15-25) К (охолодження). Але такі перепади тиску можуть бути створені лише на великій довжині пласта, тому під час розгляду процесів розробки покладів у цілому внаслідок незначної зміни температури за існуючих перепадів тиску дросельним ефектом, як правило, нехтують. Оскільки основна частка депресії тиску витрачається в привибійній зоні, то там мають місце локальні термодинамічні зміни, які можуть спричинити, наприклад, випадання парафіну.
У разі адіабатного розширення (в ізольованих системах) речовина, як правило (за винятком води за температур від 0 до +4 С), охолоджується. Зниження температури можна оцінити за формулою:
, (14.4)
де – інтегральний адіабатний коефіцієнт. Для води він дорівнює 0,015 К/МПа, для нафти 0,137 К/МПа і для повітря 8,3 К/МПа (за тиску 0,1 МПа і температури 293 К). Якщо тиск зменшиться на 10 МПа, то адіабатне охолодження нафти дуже незначне (1,37 К), тому адіабатним ефектом також нехтують.
Зміна теплоти в цілому становить під час дроселювання
і під час адіабатного розширення
,
де с – питома об’ємна теплоємність рідини; m – коефіцієнт пористості. Наголосимо, що обидва ефекти стосуються тільки флюїдів, а будь-яка зміна їх температури неминуче пов’язана з теплообміном між ними і пористим середовищем. Отже, викликані ними зміни температури всієї пластової системи несуттєві.
Таким чином, зміна внутрішньої енергії системи визначається конвективним і теплопровідним перенесеннями теплоти.
Для виведення рівняння енергії виділяємо в пористому середовищі циліндричний елемент довжиною dх і площею поперечного перерізу F. Елемент містить рідину і твердий скелет породи.
Внутрішня енергія Еел цього елемента складається із внутрішніх енергій маси рідини Ер і скелету породи Еск:
, (14.5)
де т – коефіцієнт пористості; , ск – густина відповідно рідини і скелету породи.
Оскільки внутрішні енергії ,, а добутки,, то
,
звідки одержуємо зміну внутрішньої енергії за одиницю часу
, (14.6)
де – питомі масові теплоємності рідини та скелету;с, сск – питомі об’ємні теплоємності рідини та скелету; Т – температура рідини та скелету; t – час; –питома об’ємна теплоємність насиченого пористого середовища.
Конвективне перенесення теплоти, тобто перенесенння теплоти разом з рухомими частинками рідини, через одиницю площі описуємо щільністю теплоконвективного потоку
або
, (14.7)
де qк – щільність теплоконвективного потоку; v – швидкість фільтрації рідини.
Теплопровідне перенесення теплоти, тобто за рахунок теплопровідності, що не пов’язано з переміщенням об’ємів рідини, визначається за законом Фур’є:
, (14.8)
де – щільність теплопровідного потоку; – коефіцієнт теплопровідності насиченого пористого середовища.
Загальна щільність потоку теплоти (через одиницю площі) дорівнює сумі щільностей теплоконвективного і теплопровідного потоків:
. (14.9)
Зміна теплоти в елементі складає (див. підрозд. 3.1 для повторення):
. (14.10)
Прирівнюючи зміну внутрішньої енергії (14.6) і зміну теплоти (14.10), дістаємо шукане диференціальне рівняння енергії пластової системи:
або
. (14.11)
Одержане рівняння (14.11) можна узагальнити на випадок тривимірного руху, а саме:
. (14.12)
Рівняння (14.11) або (14.12) ще називають диференціальним рівнянням теплового балансу, що пов’язано з названими вище припущеннями.
Якщо в пористому середовищі є джерело теплоти (під час внутрішньопластового горіння чи окислення), то в рівнянні теплового балансу аналогічно вводиться доданок, який характеризує інтенсивність тепловиділення. За наявності багатофазної багатокомпонентної системи записуються зміни внутрішньої енергії та потоки теплоти для кожної компоненти в кожній фазі і ці складові підсумовуються відповідним чином по компонентах і по фазах.
Рівняння енергії розв’язується в сукупності, наприклад, для однофазного потоку, з рівняннями нерозривності потоку, руху і стану, що дає змогу визначити тиск р, вектор швидкості фільтрації і температуру Т в пласті.
Далі виконаємо аналіз цього рівняння для деяких окремих випадків.