14.4 Температурне поле нетеплоізольованого пласта в разі плоско-радіальної фільтрації нестисливої рідини

Під поняттям нетеплоізольований пласт розуміють наявність теплового потоку через його покрівлю і підошву у вище- і нижчезалеглі товщі гірських порід. Таку постановку задачі можна назвати “точною”.

Позначаємо:

–коефіцієнти теплопровідності для продуктивного пласта й навколишніх порід у горизонтальному напрямі;

–те саме, але у вертикальному напрямі;

–швидкість фільтрації рідини;

Q – об’ємна витрата рідини;

h – товщина продуктивного пласта;

r – біжучий радіус осесиметричного потоку (у випадку одної свердловини).

Тоді для продуктивного пласта диференціальне рівняння енергії (14.11) після виконання векторних операцій div і у циліндричних координатах записуємо так:

, (14.20)

причому .

Для навколишніх порід, в яких фільтрація рідини відсутня (витрата ), маємо диференціальне рівняння теплопровідності:

, (14.21)

де для порід вище покрівлі пласта ідля порід нижче підошви пласта, тобто тут вертикальна координатаz відраховується від підошви продуктивного пласта.

Граничні та початкові умови для рівнянь (14.20) і (14.21) записуємо стосовно свердловини, а також стосовно покрівлі й підошви пласта. Стосовно свердловини в продуктивному пласті можуть бути взяті такі умови:

. (14.22)

На покрівлі і на підошвіпродуктивного пласта граничними умовами можуть бути умови безперервності температури і теплового потоку.

Розв’язок такої задачі одержують різницевими методами з використанням ЕОМ.

14.5 Температурне поле теплоізольованого пласта під час нагнітання у свердловину гарячої рідини

Тут беремо продуктивний пласт теплоізольованим, тобто нехтуємо відведенням (втратою) теплоти через його покрівлю і підошву. Нехтуємо також теплопровідністю самого пласта, тобто залишається тільки конвективне перенесення теплоти. Тоді із рівняння енергії (14.11) для розглядуваного плоско-радіального потоку отримуємо диференціальне рівняння конвективного перенесення теплоти в простому вигляді:

, (14.23)

де Q – постійна об’ємна витрата запомповуваної рідини.

Задаємо початкову та граничну умови:

(14.24)

де Т₀ – початкова пластова температура; – вибійна температура у свердловині під час нагнітання гарячої (чи холодної) води.

Рівняння (14.23) є лінійним гіперболічним рівнянням першого порядку. Його загальний розв’язок знаходиться методом характеристик і має вигляд:

, (14.25)

де – довільна функція вказаного в дужках аргументу; –біжучий об’єм пласта.

За граничної умови (14.24), коли , із виразу (14.25) знаходимо:

(14.26)

де Ф(t) – функція часу t за r = 0.

Тоді шуканий конкретний розв’язок набуває вигляду:

. (14.27)

Рівняння (14.27) показує, що температурний профіль не спотворюється (рис. 14.1) і температура Т(r, t) у довільній точці пласта r в момент часу t дорівнює температурі Т_с(t), що була на початку координат в момент часу .

Оскільки функція справедлива згідно з умовою задачі для додатніх значин аргументу, тоді записуємо:

, (14.28)

звідки одержуємо радіус теплового фронту (радіус прогрітої зони пласта) за , тобто

. (14.29)

За тривалість часу t у пласт запомповано з витратою об’єм рідини

, (14.30)

звідки дістаємо радіус гідродинамічного фронту витіснення

. (14.31)

Зіставимо радіуси r_т і r_г, тобто

. (14.32)

Так, якщо коефіцієнт пористості т = 0,2, відношення питомих об’ємних теплоємностей , то маємо, тобто тепловий фронт відстає від гідродинамічного фронту в 1,6 рази.

Для двофазного потоку в разі витіснення нафти водою, виходячи з формул розділу 12, можна записати:

, (14.33)

де – середня водонасиченість за фронтом витіснення.

Тоді стосовно двофазного потоку маємо таке співвідношення радіусів

. (14.34)

Для попередніх даних і = 0,5, знаходимо, тобто тепловий фронт відстає від фронту витіснення вже у 2,3 рази. При цьому прогрівається лише 19% об’єму пласта, що зайнятий водою, а саме:

.

Зрозуміло, що врахування втрат теплоти через покрівлю і підошву пласта призведе до ще менших значин радіуса прогрівання r_т, при цьому зміниться і температурний профіль (див. рис. 14.1).

Отже, для досягнення значного ефекту від прогрівання пласта треба, щоб тепловий фронт пройшов весь пласт. Це можна здійснити нагнітанням великої кількості гарячої води (кілька порових об’ємів) або нагнітанням гарячої води у вигляді облямівки з переміщенням її по всьому пласту шляхом подальшого нагнітання холодної води, що економічно вигідніше.

На закінчення наголосимо, що тут ми зробили наближену оцінку параметрів процесу. Для розрахунку неізотермічного витіснення нафти гарячою водою слід спільно розв’язати систему рівнянь двофазного руху та рівняння енергії, яке також треба записати стосовно до двофазного потоку.

У рівняннях двофазного потоку відповідно до моделі Баклея-Леверетта чи до моделі витіснення нафти розчином активної домішки динамічні коефіцієнти в’язкості флюїдів μ_і і функція Баклея-Леверетта f залежать від температури Т:

; ; ,

а добуток питомої теплоємності на швидкість фільтрації і питому теплоємність водонафтонасиченої породи треба записати так:

; ,

де s – водонасиченість; індекси 1 і 2 позначають відповідно воду і нафту.

У цілому підвищення ефективності витіснення нафти гарячою водою забезпечується:

1) зменшенням динамічного коефіцієнта в’язкості нафти , ростом співвідношення динамічних коефіцієнтів в’язкості і фронтової водонасиченості s_ф;

2) зменшенням залишкової нафтонасиченості s_з н, збільшенням середньої водонасиченості і коефіцієнта витіснення_в;

3) зменшенням поверхневого натягу σ на межі нафта-вода і покращенням гідрофільності породи (зменшенням кута змочування α);

4) зниканням структурно-механічних властивостей нафти (див. розділ 15).