14.3 Визначення втрат теплоти через покрівлю та підошву пласта

Якщо в пласті є підвищена (чи понижена) температура порівняно з геотермічною температурою, то має місце потік теплоти через покрівлю і підошву цього пласта. Для визначення щільності цього потоку задачу спрощують. Найчастіше припускають, що потік теплоти відбувається тільки в напрямі, перпендикулярному до напластування. Розрахунок виконують, використовуючи один з двох наступних підходів.

1. Перший підхід, запропонований Е. Б. Чекалюком із співробітниками 1954 року, грунтується на припущенні про квазістаціонарність теплового потоку. В основі його лежить закон теплопередачі Ньютона:

, (14.13)

де q₀ – щільність потоку теплоти через одиницю площі покрівлі (підошви) пласта; а – коефіцієнт теплопередачі, який залежить від термічних властивостей порід; Т – температура пласта; Т₀ – початкова температура навколишніх порід. При цьому теплопровідний потік у горизонтальному напрямі відсутній. Коефіцієнт теплопровідності можна розглядати також як функцію часу.

2. Другий, найбільш поширений підхід запропонував Ловер’є 1955 року. Схема Ловер’є передбачає, що продуктивний пласт має безмежно велику теплопровідність по вертикалі (так звана “схема зосередженої ємності”), а передача теплоти від продуктивного пласта до навколишніх порід здійснюється за рахунок їх теплопровідності по вертикалі. Теплопровідністю пласта й навколишніх порід у горизонтальному напрямі також нехтують. Ця схема придатна для випадків досить швидкого прогрівання пласта.

Тоді, оскільки конвективний потік відсутній (швидкість фільтрації ), з рівняння енергії (14.12), дістаємодиференціальне рівняння теплопровідності:

(14.14)

або, перетворюючи та перепозначаючи величини,

, (14.15)

де z – вертикальна просторова координата; -коефіцієнт температуро­провідності навколишніх порід; ₀, с₀ – коефіцієнт теплопровідності та питома об’ємна теплоємність навколишніх порід.

Рівняння теплопровідності (14.16) за формою запису збігається з відповідним диференціальним рівнянням пружного режиму (диференціальним рівнянням п’єзопровідності) стосовно до прямолінійно-паралельного потоку. Для його розв’язування можна задати різні початкові та граничні умови. Візьмемо для прикладу такі умови.

Нехай у початковий момент часу температура породи постійна і дорівнює Т₀, на межі з продуктивним пластом (за ) температура також постійна і дорівнюєТ_пл, причому , тобто

(14.16)

У такій постановці розв’язок нам уже відомий (див. підрозд. 9.3); його записуємо так (тиски формально замінено температурою):

, (14.17)

де додаткова функція похибок ;.

Диференціюючи рівняння (14.17) і підставляючи знайдений градієнт температури у закон теплопровідності Фур’є, одержуємо вираз для щільності потоку теплотиq на одиницю площі покрівлі :

. (14.18)

Якщо умови взяти дещо складнішими,

(14.19)

то розв’язок рівняння (14.15) можна дістати, наприклад, з допомогою перетворення Лапласа.

Задача 14.1. Розрахувати кількість теплоти, що передається через одиницю площі поперечного перерізу пористого середовища. Відомо: швидкість фільтрації v = 0,15 м³/доб; температура потоку нафти T = 338 К; градієнт температури вздовж потоку К/м; теплоємність нафтиc_н = 18000 кДж/(м³·К); теплоємність скелета пористого середовища c_cк = 2300 кДж/(м³·К); коефіцієнт пористості середовища m = 12%; коефіцієнт теплопровідності насиченого пористого середовища λ = 1,17 Вт/(м·К).

Розв’язування. Визначаємо теплоємність насиченого пористого середовища:

с = m c_н+(1–m) c_ск = 0,12·18000·10³+ (1 – 0,12) 2300·10³ = 4184·10³ Дж/(м³·К).

Визначаємо кількість теплоти, яка передається через одиницю площі за рахунок енергії пластової системи (конвективне перенесення теплоти):

q_к = cvT = 4184·10³··338 = 2455,2 Дж/(м²·с).

Визначаємо кількість теплоти, яка передається за рахунок теплопровідного перенесен­ня, що не пов’язане з переміщенням об’ємів рідини, за законом Фур’є:

q_т = –λ= 1,17·0,08= 0,094 Дж/(м²·с).

Загальна кількість теплоти, що передається через одиницю площі поперечного перерізу пористого середовища, рівна:

q = 2455,2 + 0,094 = 2455,294 Дж/(м²·с).

Відповідь: кількість теплоти, що передається через одиницю площі поперечного перерізу пористого середовища, рівна 2455,294 Дж/(м²·с).