5.2 Усталена фільтрація нестисливої рідини в неоднорідних пористих пластах за законом Дарсі

Усі реальні нафтові та газові пласти неоднорідні за своєю геологічною будовою і властивостями, що викликано умовами осадоутворення та подальшого перетворення порід. Під неоднорідністюрозуміють властивість пласта-колектора, яка зумовлена зміною його структурно-фаціальних і літологічних характеристик. З позицій фільтрації важливою є неоднорідність за проникністю. У разі хаотичної і незначної локальної зміни проникності пласт вважають у середньомуоднорідним. Якщо вдається виділити значні області пласта з різними проникностями, то пласт називаютьнеоднорідним, виділяючи в основному шарову та зональну неоднорідності.

Розглянемо особливості фільтрації в таких пластах на прикладі плоско-радіального потоку.

Шарова неоднорідність. У цьому випадку маємо багатошаровий пласт (рис. 5.4). У межах кожного шару (пропластка) проникність усюди однакова, а на межі сусідніх пропластків змінюється стрибком.

Оскільки розподіл тиску в однорідному пласті (точніше, в однорідному пропластку) не залежить від проникності , градієнт тиску також однаковий в усіх пропластках, то для будь-якої одної значини координатиrтиск у всіх пропластках буде однаковим, а отже, перетікання рідини між цими пропластками не відбуватиметься (нагадаємо, що йдеться про зведені тиски). Тоді витрата рідини через весь пласт дорівнюватиме сумі витрат через кожний пропласток. Наприклад, для двох пропластківформулу дебіту свердловини в шарово-неоднорідному пластіможна записати так:

або

, (5.15)

де k_і, h_і – коефіцієнт проникності і товщинаi-го пропластка (i= 1; 2).

Якщо ввести поняття середнього коефіцієнта проникності усього пласта, то дебіт свердловини за формулою Дюпюї:

, (5.16)

а прирівнявши дебіти за цими формулами, матимемо вираз для середнього коефіцієнта проникності шарово-неоднорідного пласта:

(5.17)

або у випадку nпропластків

. (5.18)

Отже, для розрахунків фільтрації в неоднорідних багатошарових пластах можна використати формули для однорідного пласта, тільки замість коефіцієнта проникності kнеобхідно підставити середній коефіцієнт проникності.

Разом з тим треба пам’ятати, що градієнт тиску, розподіл тиску і п’єзометрична лінія однакові в усіх пропластках, бо не залежать від коефіцієнта проникності, а швидкість фільтрації і час руху частинок рідини відповідно прямо і обернено пропорційні коефіцієнтам проникності пропластків, тобто у високопроникних пропластках кожна частинка рідини рухається швидше, ніж у малопроникних пропластках.

У разі прямолінійно-паралельного потоку формула (5.18) також справедлива (пропонуємо читачеві самостійно в цьому переконатися).

Зонально-неоднорідний пласт.Такий пласт є розчленованим на зони (області), у кожній з яких проникність усюди однакова, а на переході через межу двох сусідніх зон змінюється стрибком.

Розглянемо круговий пласт з концентричною свердловиною, навколо якої виділяється зона з іншим коефіцієнтом проникності k₁, ніж коефіцієнт проникності k₂решти пласта (рис. 5.5). Межа поділу зон перпендикулярна до лінії течії, тобто є коловою з радіусомR.

Такі задачі часто розв’язують на основі граничної умови, коли на межі поділу зон для r = Rзгідно із законом нерозривності потоку швидкості фільтрації в обох зонах мають бути однаковими, тобто

, (5.19)

або

. (5.20)

Розподіл тиску в кожній зоні описується відомими нам формулами:

; (5.21)

, (5.22)

де p_р– тиск на межі поділу зон з різними проникностями.

Продиференціювавши рівняння (5.21) і (5.22) і підставивши результат у вираз (5.20), дістанемо вираз для невідомого тиску на межі поділу:

. (5.23)

Тоді формули розподілу тиску в зонах з різними проникностями набувають вигляду:

; (5.24)

. (5.25)

Лійки депресії тиску в такому пласті показано на рис. 5.5 за різних співвідношень коефіцієнтів проникностей k₁іk₂. Наприклад, якщото

,

тоді п’єзометрична лінія має лежати вище лінії для k₁=k₂.

Продиференціювавши формулу (5.23) або (5.24) і підставивши результат відповідно у вираз для або , записуєморівняння швидкості фільтраціїв усьому зонально-неоднорідному пласті

(5.26)

і формулу дебіту свердловини в зонально-неоднорідному пласті

. (5.27)

Зазначимо, що в разі усталеного руху нестисливої рідини витрата є постійною в кожній зоні. Тоді, записуючи її вираз для кожної зони згідно з формулою Дюпюї і використовуючи властивість похідних пропорцій щодо суми її членів деa, b, c, d– члени пропорції), легко дістанемо рівняння дебіту (5.27). Таке ж рівняння (5.27) отримаємо і тоді, коли запишемо, що загальна втрата тиску дорівнює сумі втрат тиску в кожній зоні, тобтоабо, де втрати тиску виражаємо із формули Дюпюї для кожної зони.

Аналогічно попередньому введемо поняття середнього коефіцієнта проникності пласта , тоді дебіт свердловини в зонально-неоднорідному пласті опишеться формулою Дюпюї для однорідного пласта, тобто

. (5.28)

Прирівнюючи формули (5.27) і (5.28) отримуємо вираз середнього коефіцієнта проникності зонально-неоднорідного пласта:

(5.29)

або у випадку наявності nзон з різними проникностями

, (5.30)

причому R_і-1= R₀ = r_сдляi =1 таR_і = R_кдляi = n.

Якщо задано закон плавної зміни коефіцієнта проникності k(r), то дебіт свердловини можемо записати так:

, (5.31)

звідки аналогічно, середній коефіцієнт проникності

(5.32)

Проникність зони пласта поблизу стінки свердловини (привибійна зона пласта), як правило, відрізняється від проникності решти пласта. Ця зміна зумовлена забрудненням (кольматацією) пор під час буріння свердловини (фільтратом і дисперсною фазою бурового розчину) і під час експлуатації (відкладами парафіну, мінеральних солей) або цілеспрямованим використанням методів інтенсифікації продуктивності свердловини (солянокислотне оброблення і т. ін.). Для оцінки впливу такої зміни проникності в привибійній зоні внаслідок кольматації чи інтенсифікації на дебіт свердловини зіставляють дебіт Qзонально неоднорідного пласта з дебітомQ₂однорідного пласта за коефіцієнта проникностіk_2,тобто

, (5.33)

де – відношення коефіцієнтів проникностей.

Звідси випливають важливі практичні висновки (рис. 5.6):

1) зменшення коефіцієнта проникності привибійної зони більше впливає на дебіт свердловини, ніж збільшення його в однакову кількість разів і призводить до різкого падіння дебіту, навіть за малих величин радіуса R зони погіршення проникності;

2) у разі фільтрації за законом Дарсі збільшувати коефіцієнт проникності в привибійній зоні більше як у 20 разів недоцільно, оскільки дебіт майже не зростає;

3) оскільки лійка депресії тиску в разі фільтрації за нелінійним законом більш крута, ніж у разі фільтрації за законом Дарсі (більша частка втрати депресії тиску в привибійній зоні), то збільшення коефіцієнта проникності в привибійній зоні веде до значнішого приросту дебіту, якщо рідина фільтрується за нелінійним законом.

За наявності декількох зон з різною проникністю, наприклад, через накладання процесів глинистої і парафінової кольматації, через зниження проникності внаслідок проникання в пласт фільтрату бурового розчину в ході буріння свердловини чи рідини глушіння під час її ремонту, через збільшення проникності внаслідок застосування методу солянокислотного оброблення і т. п., дебіт свердловини записується аналогічно:

, (5.34)

а відношення дебітів

, (5.35)

де – дебіт свердловини за початкової, непорушеної природної проникності пласта (іншими словами, у віддаленій від свердловини зоні пласта), яка характеризується коефіцієнтом проникності.

Ці формули дають змогу оцінити негативний вплив кольматації або технологічну ефективність (приріст дебіту) солянокислотного оброблення (СКО). Для оцінки ефективності СКО слід задати величину коефіцієнта проникності в зоні оброблення (за лабораторними даними) або наближено розрахувати її за величиною збільшення коефіцієнта пористості внаслідок розчинення карбонатного цементу породи в соляній кислоті, використовуючи статистичний зв’язок між коефіцієнтами пористості і проникності (див. гл. 1). Нагадаємо, що об’ємний вміст карбонатів (CaCO₃,MgCO₃) визначається в лабораторії відносно до об’єму твердої частини (скелету) гірської породи.

Задача 5.3. Визначити технологічну ефективність (за величиною збільшення дебіту у відсотках) оброблення привибійної зони пласта солянокислотним розчином (СКР), якщо за розрахунками реагент проникає в пласт на відстань R = 1,2 м. Вважається, що коефіцієнт проникності при цьому зростає в 10 разів. Радіус контуру живлення пласта R_к = 650 м; радіус свердловини r_c = 7 см.

Розв’язування. Після проведення оброблення привибійної зони пласта одержуємо зонально-неоднорідний пласт. Дебіт свердловини в зонально-неоднорідному пласті описується рівнянням:

,

де k₁ – коефіцієнт проникності зони пласта з радіусом R, обробленої СКР; k₂ – коефіцієнт початкової проникності решти пласта, не обробленого СКР.

Визначаємо ефективність оброблення привибійної зони пласта, поділивши дебіт після оброблення СКР на дебіт до оброблення СКР (згідно з формулою Дюпюї), одночасно скоротивши на (2πhΔp)/μ та підставивши у формулу k₁ = 10k₂:

або 38,87%.

Відповідь: технологічна ефективність оброблення становить 38,87% за величиною збільшення дебіту свердловини.

Задача 5.4. Визначити технологічну ефективність солянокислотного оброблення привибійної зони пласта (ПЗП), тобто розрахувати абсолютну величину збільшення дебіту (технологічний ефект) та кратність збільшення дебіту (у скільки разів збільшився дебіт). Відомо: дебіт свердловини Q₁ до оброблення привибійної зони (ОПЗ) пласта 42 т/доб (за стандартних умов); об’єм запомпованого солянокислотного розчину V_CКР = 12 м³; карбонат­ність породи m_к (вміст карбонатів типу СаСО₃ в гірській породі продуктивного пласта) 6%; коефіцієнт проникності пласта k₂ = 78∙10^-3 мкм²; коефіцієнт проникності привибійної зони пласта (ПЗП) до ОПЗ k₁= 46∙10^-3 мкм²; радіус ПЗП (з погіршеною проникністю) до ОПЗ R_пзп = 2,1 м; радіус свердловини r_с= 0,1 м; радіус контуру живлення пласта R_к = 650 м; товщина пласта h = 15 м. Методичні вказівки: 1. Оброблення привибійної зони пласта супроводжується розчиненням карбонатів породи (карбонатного цементу), що призводить до збільшення коефіцієнта пористості. Абсолютну величину збільшення коефіцієнта порис­тості взяти рівною величині карбонатності. Нагадуємо, що карбонати є твердою мінераль­ною частиною гірської породи (скелет пористого середовища). 2. Збільшення пористості супроводжується ростом проникності; цю залежність умовно (за відсутності лабораторних даних) взяти згідно з рівнянням: m =10^‑2[9,11+4,86∙lg(10¹⁵k)], де m – коефіцієнт пористості, частки одиниці; k – коефіцієнт проникності, м². 3. Радіус зони оброблення визначити з геометричних міркувань, прирівнявши об’єм солянокислотного розчину V_CКР до об’єму пор. 4. Пористість ПЗП до ОПЗ уточнити за проникністю ПЗП до ОПЗ згідно з поданим вище рівнянням статистичного зв’язку. 5. При визначенні радіуса зони оброблення врахувати розміри (радіус) ПЗП до ОПЗ. Якщо радіус зони оброблення не дорівнює радіусу ПЗП до ОПЗ, то в пласті буде три зони з різною проникністю.

Розв’язування. Визначаємо коефіцієнт пористості ПЗП до оброблення її солянокислотним розчином (СКР):

.

Визначаємо радіус зони оброблення пласта за рівністю об’єму запомпованого СКР і об’єму пор породи:

м.

Оскільки радіус зони оброблення є меншим радіусу ПЗП, то маємо в пласті три зони з різною проникністю: перша зона з зовнішнім радіусом 1,221 м та коефіцієнтом проник­ності k₃, друга зона з зовнішнім радіусом 2,1 м та коефіцієнтом проникності k₁ = 46∙10^-15 м², третя зона з зовнішнім радіусом 650 м та коефіцієнтом проникності k₂ = 78∙10^‑15 м².

Визначаємо коефіцієнт пористості обробленої зони, виходячи з умови методичної вказівки пункту 1:

.

Обчислюємо коефіцієнт проникності першої зони, перетворивши формулу для коефіцієнта пористості відносно коефіцієнта проникності:

м².

Визначаємо кратність збільшення продуктивності свердловини в зонально-неоднорідному пласті:

або

.

Визначаємо абсолютну величину збільшення дебіту свердловини:

т/доб.

Відповідь: кратність збільшення дебіту рівна 1,544, абсолютна величина збільшення дебіту свердловини становить 22,848 т/доб.

У випадку одновимірного потоку в зонально-неоднорідному пласті до галереї п’єзометричні лінії представлені ламаними прямими лініями (рис. 5.7), а середній коефіцієнт проникності виражається формулою:

(5.36)

або

, (5.37)

де l_і– довжинаi-ї зони з коефіцієнтом проникності k_і.

Розподіл тиску в кожній зоні описується лінійною залежністю, а градієнт тиску в межах кожної зони постійний, але різний у різних зонах. Витрата рідини (дебіт) Qі швидкість фільтраціїvпостійні в будь-якому перерізі потоку (), а дійсні середні швидкості руху частинок рідини в різних зонах пласта різні (обернено пропорційні коефіцієнтам пористості), оскільки, як правило, чим більший коефіцієнт проникності, тим більший коефіцієнт пористості.

Такий потік може мати місце також у вертикальному напрямку впоперек напластування гірських порід різного літологічного складу з різними коефіцієнтами проникності. Зрозуміло, якщо зустрічається шар, коефіцієнт проникності якого дорівнює нулю (наприклад, шар глини), то фільтрація у вертикальному напрямку відсутня (), а непроникний шар є гідродинамічним екраном.

Детально дослідження прямолінійно-паралельного потоку в зонально неоднорідному пласті пропонуємо читачеві здійснити самостійно.