- •9 Неусталена фільтрація пружної рідини в пористому пласті
- •9.1 Виведення диференціального рівняння неусталеної фільтрації пружної рідини
- •9.2 Особливості фільтрації рідини в пласті за наявності пружного режиму
- •9.3 Прямолінійно-паралельний потік пружної рідини
- •9.4 Плоско-радіальний потік пружної рідини. Основна формула теорії пружного режиму фільтрації
- •9.5 Метод суперпозиції в задачах пружного режиму
- •0,14 М2/с.
- •9.6 Поняття про наближені методи розв’язування задач пружного режиму
- •Контрольні питання
9.3 Прямолінійно-паралельний потік пружної рідини
Розглянемо одновимірний прямолінійно-паралельний потік пружної рідини з напівнескінченного пружного пласта до прямолінійної галереї (рис. 9.7, а). Диференціальне рівняння в цьому випадку набуває вигляду:
. (9.26)
Точні розв’язки цього рівняння дістанемо за умов заданих постійної депресії тиску та постійного дебіту. Задача зводиться до визначення або тиску в будь-якій точці пласта і в будь-який момент часу (чи інакше розподілу тиску в пласті на різні моменти часу) та дебіту галереїабо тиску на стінці галереї.
Задано постійну депресію тиску , тобто. Початкова та граничні умови щодо тискумають вигляд:
(9.27)
Задача може бути розв’язана різними методами. Розв’язок легко отримується на основі аналізу розмірностей. Вводимо безрозмірний тиск
, (9.28)
звідси для умовиідля умови.
Як видно з рівнянь (9.26) і (9.28), безрозмірний тиск залежить відх, t, , тобто. Розмірності цих величин такі:;;. Оскільки маємо три розмірні величини, а серед них є дві величиниз незалежними розмірностями, то згідно з - теоремою з цих величин складаємо один безрозмірний комплекс (маємо: 3 – 2 = 1)
. (9.29)
Для зручнішого подання розв’язку вводимо в рівняння (9.29) постійне число 2, тобто беремо
. (9.30)
при цьому та.
Задача автомодельна, оскільки шуканий тиск залежить тільки від одної змінної, тоді
. (9.31)
Замінюємо тиск р на безрозмірний тиск згідно з рівнянням (9.28), а тоді рівняння (9.26) набуває вигляду:
. (9.32)
За правилом диференціювання складних функцій із виразу (9.31) з урахуванням рівняння (9.30) маємо:
;
;
,
де ;.
Підставляючи знайдені величини ,у рівняння (9.32), одержуємо звичайне диференціальне рівняння:
,
або після спрощення
. (9.33)
При цьому необхідні перші дві умови (9.27) переходять у такі:
. (9.34)
Для розв’язування рівняння (9.33) позначаємо
, (9.35)
тоді рівняння (9.33) записується:
.
Розділивши змінні, знаходимо:
;
;
;
;
, (9.36)
де с1, с2 – постійні інтегрування.
Рівняння (9.36) є загальним розв’язком задачі. Знаходимо постійні с1 і с2 з умов (9.34):
(9.37)
де , а тоді
;.
Оскільки з інтегрального числення відомо, що
,
то
.
Отже, закон розподілу тиску в пласті за заданої постійної депресії тиску має вигляд:
, (9.38)
або з урахуванням рівняння (9.28)
, (9.39)
де функція називається інтегралом або функцією ймовірностей (функція табульована – подана в таблицях; змінюється в межах від 0 задо 1 за).
Якщо ввести на відміну від рівняння (9.28) інший безрозмірний тиск
, (9.40)
то закон розподілу тиску в пласті за заданої постійної депресії тиску набуде ще й такого вигляду:
, (9.41)
або
. (9.42)
Відзначимо, що в цих розв’язках замість x можна задавати (x – x0), де x0 – координата розміщення галереї.
Витрату рідини через поперечний переріз пласта площею F знаходимо, підставляючи похідну із рівняння (9.39) чи (9.42) у формулу закону Дарсі:
. (9.43)
Тут взято знак “+”, оскільки з ростом координати х збільшується тиск р, тобто потік рухається проти осі ОХ.
Поклавши в рівнянні (9.43) , дістаємо формулу дебіту галереї:
, (9.44)
або
, (9.45)
де параметр
(9.46)
є монотонно згасаючою функцією, тобто Qt в часі зменшується або за, а в початковий момент часудебіт, що є наслідком стрибка тиску на стінці галереї від. Е.Б. Чекалюк запропонував її назвати функцією продуктивності галереї, або функцією припливу.
Якщо позначити
, (9.47)
то формула (9.28) набуде вигляду формули дебіту галереї за усталеної фільтрації. А за неусталеної фільтрації характеризує розмір зони пласта, де має місце рух рідини, або інакше, розмір збуреної зони, причомуза, а.
Розподіл тиску p в напівнескінченному пласті за умови на різні моменти часуt показано на рис. 9.7, б.
Накопичений відбір рідини на момент часу t буде:
(9.48)
тобто є монотонно зростаючою в часі функцією.
2. Задано постійний дебіт галереї .
Початкові та граничні умови в цьому випадку записуємо через швидкість фільтрації v у вигляді:
(9.49)
де
Для зведення диференціального рівняння (9.26) і крайових умов (9.49) до одних змінних величин, тобто до , множимо рівняння (9.26) наі беремо похідну пох, тоді маємо:
;
;
;
, (9.50)
оскільки (взято знак “+”, так як з ростом координатих збільшується тиск р).
Рівняння (9.50) за формою збігається з рівнянням (9.26), а отже загальним розв’язком його буде рівняння (9.36), записане через швидкість фільтрації:
, (9.51)
або
, (9.52)
так як крайові умови мають такий вигляд
для; (9.53)
для,
а постійні інтегрування тоді дорівнюють
;.
Для одержання розподілу тиску в пласті необхідно проінтегрувати рівняння (9.52) пох, вважаючи, що , аt зафіксовано, тобто
Звідси маємо:
Останній доданок інтегруємо частинами, а саме:
тобто записуємо де;
Тоді в цілому отримуємо:
(9.54)
де ;.
Звідси за ,маємо рівняння розподілу тиску в пласті для випадку заданого дебіту:
. (9.55)
Оскільки для, то із рівняння (9.55) одержуємо формулу тиску на стінці галереї за заданого дебіту. Для цього спочатку в рівняння (9.51) підставляємо граничну умовудлях . Так як для х інтеграл імовірностей , то добутокдає невизначеність · 0. Розкриваючи цю невизначеність за правилом Лопіталя, отримуємо, що цей добуток прямує до нуля за х . Враховуючи, що , отримуємо формулу:
,
звідки тиск на стінці галереї
(9.56)
або депресія тиску
, (9.57)
а дебіт галереї тоді виражається так:
, (9.58)
де (9.59)
є функцією депресії тиску за аналогією з функцією продуктивності ;
. (9.60)
Оскільки зростає у часі, то із формули (9.58) виходить, що для забезпечення постійного дебітутреба збільшувати депресію тиску, тобто зменшувати тискрг. Але це можливо до певної межі (тиск насичення нафти газом рнас, руйнування пласта і т. ін.). Тому через деякий час треба переходити до умови постійної депресії тиску , тоді зменшуватиметься дебіт галереїQt (рис. 9.7, в).