9.5 Метод суперпозиції в задачах пружного режиму

Інтерференцію свердловин в умовах пружного режиму роботи пласта досліджують з допомогою методу суперпозиції, обгрунтованість застосування якого пояснюється лінійністю основного диференціального рівняння пружного режиму (9.10).

Розв’язком диференціального рівняння (9.10) можуть бути вирази (9.15) і (9.16), як це показано вище. Функція припливу і функція депресії тискупідлягають лінійним законам, у т.ч. закону суперпозиції, коли кожний новий потік пластової рідини накладається на попередні потоки і не залежить від минулого або теперішнього стану покладу в момент стрибка депресії тиску чи дебіту.

На основі властивості аддитивності елементарних припливів і депресій тиску в пласті неважко або визначити дебіт свердловини, коли вона працювала по черзі за заданих різних, але постійних значин вибійного тиску, як суму відповідних елементарних припливів, або визначити вибійний тиск, якщо свердловина працювала почергово за заданих різних, але постійних значин відборів рідини, а саме:

(9.88)

(9.89)

де j – порядковий номер режиму роботи свердловини, ;t – тривалість часу від початку експлуатації свердловини; t_j – тривалість часу від моменту виникнення чергового режиму роботи свердловини; ,– стрибки зміни депресії тиску і дебіту, які беруться від рівня, який існував у момент утворення цього стрибка.

У той же час, коли вибійний тиск чи відбір рідини неперервно змінюються в часі за заданим законом,

;

,

де – тривалість часу від початку роботи свердловини, то ці суми (9.88) і (9.89) перетворюються в інтеграли типу інтегралу Дюамеля, тобто

(9.90)

(9.91)

Аналогічно маємо і для випадку роботи багатьох свердловин.

Так, згідно з методом суперпозиції пониження тиску у будь-якій точці пласта дорівнює сумі понижень тиску, що створюються окремими свердловинами. Тоді з використанням основної формули пружного режиму в точному і наближеному записах відповідно можна подати пониження тиску в будь-якій точці пласта на момент часуt для випадку одночасного пуску всіх свердловин у роботу:

; (9.92)

(9.93)

або для випадку пуску свердловин у різний час на момент часу t₁

; (9.94)

, (9.95)

де п – кількість свердловин; Q_j – постійний об’ємний дебіт стоку (додатний стосовно видобувної свердловини) або джерела (від’ємний стосовно нагнітальної свердловини) за номером j; t, t₁, t_j+1 – час відповідно з початку пуску всіх свердловин, першої свердловини та (j+1)-ї свердловини, причому t_j+1 = 0 для j = 0; r_j – відстань від центра j-ї свердловини до точки, де визначається пониження тиску .

Ці формули дають змогу визначити зміну тиску на вибоях свердловин або на контурі пласта в умовах пружного режиму під час проектування розробки нафтових покладів.

Нехай в початковий момент часу t = 0 у пласті з постійним тиском р_к пущено свердловину в роботу з постійним дебітом Q₀, а через проміжок часу t її дебіт миттєво зменшили до Q₁, тобто на величину .

До моменту часу t₁ свердловина працювала одна, а тоді тиск у будь-якій точці пласта на момент часу t, причому , визначається за формулою:

(9.96)

Для врахування зменшення дебіту видобувної свердловини на величину подумки припускаємо згідно з методом суперпозиції, що разом з видобувною свердловиною, яка продовжує працювати з дебітомQ₀, в цій же точці пласта почала працювати нагнітальна свердловина з витратою , тобто дебіт видобувної свердловини і будеабо, іншими словами, на яку величину зменшився дебіт, така ж кількість рідини запомповується.

Тоді на момент часу t після зменшення дебіту, причому , зміна тиску в будь-якій точці пласта за методом суперпозиції запишеться так:

(9.97)

Якщо свердловину повністю зупинили, то , а значить формула описуватиме відновлення тиску на вибої зупиненої свердловини.

У випадку збільшення дебіту видобувної свердловини на величину уявну свердловину слід вважати видобувною з додатнім дебітом.

Аналогічно з використанням методу суперпозиції можна обчислити зміну тиску в будь-якій точці пласта у випадку багаторазової зміни (зменшення, підвищення) дебіту свердловини, причому кожній зміні дебіту відповідає введення в роботу відповідної (нагнітальної, видобувної) додаткової свердловини.

Задача 9.3. Визначити з використанням методу суперпозиції коефіцієнт гідропровід­ності пласта за даними зміни тиску на її вибої свердловини після стрибкоподібної зміни дебіту від 110 м³/доб до 70 м³/доб:

Час, год	0,25	3	12	72	240
Вибійний тиск, МПа	20,8	20,53	20,37	20,16	20

Свердловина з постійним дебітом 110 м³/доб працювала дуже довго, а дебіт 70 м³/доб теж залишався надалі постійним.

Розв’язування. Для проведення розрахунків переводимо дані зміни тиску на вибої свердловини і часу його зміни в одиниці системи CI:

Час, с	900	10800	43200	259200	864000
Вибійний тиск, Па	20,8·10^6	20,53·10^6	20,37·10^6	20,16·10^6	20·10^6

Згідно з принципом суперпозиції записуємо формулу зміни тиску на вибої свердловини у часі:

,

де і = 5 – кількість даних змін тиску.

У даному рівнянні виділяємо окремо ln t_і, здійснивши перетворення:

;

;

,

де є постійною величиною.

З отриманого рівняння видно, що зміна тиску на вибої свердловини залежить від логарифму тиску з кутовим коефіцієнтом:

.

Для визначення кутового коефіцієнту лінійного рівняння зміни тиску на вибої свердловини в часі використовуємо метод найменших квадратів. Для цього складаємо систему рівнянь:

Для розв’язування даної системи рівнянь використовуємо матричний метод, для чого складаємо матриці вільних членів та коефіцієнтів:

С =;;

Для перемноження матриць використовуємо програму МаthCAD:

,

тобто λ = –1,1602·10⁵.

Визначаємо величину коефіцієнта гідропровідності пласта:

м³/(Пас).

Відповідь: ε = 2,2997·10^-10 м³/(Пас).

Якщо свердловина знаходиться поблизу нескінченної прямолінійної непроникної межі або поблизу прямолінійного контуру живлення, то вона відповідно відображається відносно межі або контуру згідно з методом відображення джерел і стоків, а відтак застосовується аналогічним чином метод суперпозиції стосовно реальної і відображеної свердловин.

Аналогічно з використанням методу суперпозиції одержуються розрахункові формули, які покладено в основу гідродинамічного дослідження свердловин на неусталених режимах фільтрації, наприклад методом відновлення вибійного тиску. Суть методу полягає в тому, що після експлуатації свердловини з постійним дебітом її зупиняють і вимірюють зміну (відновлення) вибійного тиску у часі. За результатами дослідження визначають параметри пласта і свердловини, тобто розв’язують обернену задачу підземної гідрогазомеханіки.

Нехай свердловину, що працювала з дебітом , зупинили через проміжок часуТ. Для урахування припинення відбирання рідини з дебітом , тобто для урахування зупинки свердловини, вважаємо, що із свердловини продовжується відбирання рідини, але в цю ж свердловину почали нагнітати рідину з витратою, а отже суміщаємо стік і джерело з однаковою за величиною витратою, але різною за знаком, в одній свердловині. У результаті загальна витрата рідини дорівнює нулю. Тоді зміну тиску на вибої свердловини, що викликана збуренням тиску – пуском і зупинкою – згідно з методом суперпозиції записуємо (рис. 9.9) так:

(9.98)

або, оскільки ,

, (9.99)

де Т – час роботи свердловини до зупинки; t – час з початку зупинки (час спостереження за відновленням тиску); знаки “+” і “–“ перед відповідають стоку і джерелу.

Ми одержали лінійну залежність між і(рис. 9.10). Із графіка знаходимо тискр_к (екстраполяція до осі ординат) і тангенс кута нахилу прямої

, (9.100)

звідки визначаємо коефіцієнт гідропровідності пласта

(9.101)

та коефіцієнт проникності (за відомих товщини пласта h і динамічного коефіцієнта в’язкості нафти )

. (9.102)

Цей метод оброблення даних відновлення тиску називають методом Хорнера. Його використовують тоді, коли Т і t є величинами одного порядку, тобто коли свердловина працювала короткий проміжок часу перед зупинкою, наприклад, це була розвідувальна свердловина.

Якщо свердловина перед зупинкою працювала тривалий час і , то можна вважати, що тиск на вибої стабілізувався, а усталена депресія тиску

, (9.103)

де р_со – постійний вибійний тиск перед зупинкою.

Після зупинки неусталена депресія тиску виражається формулою (9.98), яку в разі можна записати так:

. (9.104)

Зміна тиску на вибої становитиме (див. рис. 9.9, коли і)

(9.105)

або

. (9.106)

Це рівноцінно пуску свердловини в роботу, тільки має бути , тобто зміна тиску відраховується уже не від постійного контурного тискур_к, а від постійного вибійного тиску р_со.

Рівняння (9.106) тоді записуємо у вигляді:

, (9.107)

де

;. (9.108)

Звідси ми дістали можливість трансформувати криволінійну залежність в пряму лінію, що показано на рис. 9.11. Із графіка аналітично чи графічно знаходимо

(9.109)

як тангенс кута  нахилу прямої лінії і відрізок А, що відтинається дотичною до точок виміру, які вкладаються вздовж прямої лінії. Звідси метод оброблення даних дослідження свердловини дістав назву метода дотичної.

Знаючи числові значини і та А, обчислюємо коефіцієнт гідропровідності пласта

(9.110)

або коефіцієнт проникності пласта

, (9.111)

комплексний параметр

(9.112)

або зведений радіус свердловини

. (9.113)

Наголошуємо, що тут r_с – це зведений радіус свердловини, який визначається для конкретної свердловини за результатами її дослідження на відміну від його оцінки з використанням, наприклад, графіків В.І. Щурова.

Метод дотичної можна застосовувати до моменту часу , а длянеобхідно обробляти результати за методом Хорнера.

Початкова частина модифікованої кривої відновлення тиску є спотвореною, що викликано продовженням припливу рідини у свердловину після закриття її на гирлі (а не на вибої) та зміною проникності пласта у привибійній зоні (рис. 9.12).

Критерієм застосування методів без урахування припливу рідини Е.Б. Чекалюк пропонує за похибки до 1% взяти умову:

, (9.114)

де – накопичений приплив рідини за часt після зупинки свердловини.

Величину припливу рідини з пласта у свердловину після зупинки її визначають свердловинним (глибинним) дебітоміром або непрямим шляхом обчислень (за зміною тиску на гирлі свердловини).

Методи, що враховують приплив рідини після зупинки свердловини, дають змогу збільшити кількість точок, які вкладаються на пряму. Взагалі відомо понад 30 методів оброблення результатів дослідження свердловин на неусталених режимах.

Вплив зміни проникності у привибійній зоні пласта на роботу свердловини називають скін-ефектом (від англійського skin – плівка, оболонка). З урахуванням скін-ефекту основну формулу пружного режиму Херст і Ван-Евердінген записали так:

, (9.115)

звідки за методом Джоєрса і Сміта

, (9.116)

де S – показник скін-ефекту як функція часу t, причому знак ”–” у разі зменшення S вказує на погіршення проникності пласта, а знак “+” у разі зростання S – на її покращення (див. рис. 9.12); .

Узагальнимо, що коефіцієнт проникності пласта можна визначити за результатами дослідження на усталених (k_уст) і неусталених (k_неуст) режимах, причому перший характеризує пласт у привибійній зоні, а другий – на значній відстані від свердловини. Якщо , то має місце погіршення проникності у привибійній зоні пласта, а отже треба збільшити її, наприклад, здійсненням солянокислотного оброблення.

Тривалим спостереженням за відновленням тиску можна встановити зміни у віддаленій частині пласта (рис. 9.13). У такому випадку здійснюють гідропрослуховування пласта. Із графіка знаходимо час t, за якого лінія викривлюється, і за цим графіком оцінюємо відстань

, (9.117)

на якій має місце якась зміна.

Параметри пласта визначають за графіками зміни тиску не тільки у збуджувальних свердловинах, але й у реагуючих свердловинах, використовуючи основну формулу у вигляді:

, (9.118)

де – зміна тиску в реагуючій свердловині за зміни дебітузбуджувальної свердловини;R – відстань між свердловинами.

Задача 9.3. У нафтовому пласті на відстані r = 400 м одна від одної знаходяться дві свердловини видобувна і спостережна. Визначити коефіцієнт п’єзопровідності пласта за даними дослідження цих свердловин, коли після пуску видобувної свердловини в роботу з постійним дебітом 100 м³/доб тиск на вибої спостережної свердловини знизився на 0,9 МПа через 45 діб відбирання нафти. Відомо: коефіцієнт проникності і товщина пласта 10^-14 м² і 25 м; динамічний коефіцієнт в’язкості нафти 1,2 мПа·с.

Розв’язування. Оскільки задано зміну тиску на вибої спостережної свердловини після деякого періоду експлуатації видобувної свердловини, то за основною формулою пружного режиму фільтрації зміну тиску Δp від координати r та часу t можна записати так:

звідки коефіцієнт п’єзопровідності