- •9 Неусталена фільтрація пружної рідини в пористому пласті
- •9.1 Виведення диференціального рівняння неусталеної фільтрації пружної рідини
- •9.2 Особливості фільтрації рідини в пласті за наявності пружного режиму
- •9.3 Прямолінійно-паралельний потік пружної рідини
- •9.4 Плоско-радіальний потік пружної рідини. Основна формула теорії пружного режиму фільтрації
- •9.5 Метод суперпозиції в задачах пружного режиму
- •0,14 М2/с.
- •9.6 Поняття про наближені методи розв’язування задач пружного режиму
- •Контрольні питання
9.4 Плоско-радіальний потік пружної рідини. Основна формула теорії пружного режиму фільтрації
Розглянемо приплив пружної рідини до точкового стоку (джерела) в необмеженому пласті. Для цього випадку диференціальне рівняння має такий вигляд:
(9.61)
або з урахуванням наявності осьової симетрії (див. підрозд. 4.3)
(9.62)
чи
(9.63)
Нехай задано постійний об’ємний дебіт стоку . Тоді початкова і граничні умови набувають вигляду:
(9.64)
Останню умову конкретизуємо так:
. (9.65)
Задача може бути розв’язана методами Фур’є, операційним. Легко одержується розв’язок на основі аналізу розмірностей. Шуканий тиск залежить від п’яти визначальних параметрів r, t,,рк , , три з яких мають незалежні розмірності (r, t, рк).
Тоді безрозмірний тиск залежить від двох безрозмірних комплексів:
. (9.66)
Другий комплекс є постійним параметром. Звідси випливає, що задача автомодельна, оскільки шуканий безрозмірний тискзалежить тільки від однієї змінної, яку для подальшої зручності беремо з числом 2 у знаменнику, тобто
. (9.67)
Тоді аналогічно попередньому рівняння (9.62) зводиться до звичайного диференціального рівняння, а розв’язок задачі зводиться до формули, яку називають основною формулою пружного режиму пласта. Так, для безрозмірного тиску диференціальне рівняння (9.62) запишеться:
(9.68)
Для розв’язування рівняння (9.68), диференціюючи вирази (9.66) і (9.67), знаходимо:
Підставляючи знайдені вирази в рівняння (9.68) і враховуючи, що отримуємо звичайне диференціальне рівняння
або
(9.69)
яке необхідно розв’язати за початкової і граничної умов, які випливають із умов (9.64):
. (9.70)
Використовуючи підстановку , послідовно знаходимо:
(9.71)
де вираз (9.71) – загальний розв’язок рівняння (9.69); – постійні інтегрування.
Постійну знаходимо із граничної умови (9.70), тобто
Постійну знаходимо з використанням початкової умови (9.70), а саме:
звідки розв’язок (9.71) набуває вигляду:
(9.72)
Позначаємо , тоді
,
а розділивши на , маємо
.
Переходячи до розмірного тиску , отримуємоосновну формулу пружного режиму:
(9.73)
або
. (9.74)
Інтеграл у формулі (9.73) називається інтегральною показниковою (експоненціальною) функцією, що табульована в довідниках і позначається так:
, (9.75)
де .
Об’ємну витрату рідини через будь-яку поверхню фільтрації з координатою r отримуємо за формулою:
а диференціюючи формулу (9.73), маємо:
або
(9.76)
Для малих значин аргументу , коли, з похибкою до 1% інтегральну показникову функцію можна брати наближено, утримавши перших два члени розкладу функції в ряд:
, (9.77)
де се = 0,5772… – постійна Ейлера.
Тоді основну формулу пружного режиму наближено запишемо ще й так:
. (9.78)
Задача 9.1. Свердловину пущено в роботу з постійним дебітом 150 м3/доб в необмеженому пласті, початковий тиск в якому становив 20 МПа. Необхідно визначити тиск на відстані r = 250 м від свердловини через 200 діб. Відомо: коефіцієнт гідропровідності і товщина пласта 10‑9 м3/(Пас) і 18 м; коефіцієнт пористості пласта 12%; коефіцієнти об’ємної пружності нафти і породи βн = 2,1·10‑9 Па‑1 і βп = 1,15·10‑10 Па-1.
Розв’язування. Визначаємо коефіцієнт об’ємної пружності насиченого пласта:
β* = βп + mβн = 1,15·10‑10 + 0,12·2,1·10‑19 = 3,67·10-10 Па-1.
Визначаємо коефіцієнт п’єзопровідності пласта:
κ =м2/с.
Визначаємо тиск у пласті, на відстані 250 м від свердловини:
p(r,t) = 20·106 –19,37·106 Па.
Відповідь: тиск на відстані 250 м від свердловини через 200 діб її роботи буде становити 19,37 МПа.
Із формули (9.78) маємо похідні по часу t і радіусу r у вигляді:
; (9.79)
, (9.80)
із яких слідує, що темп зміни тиску не залежить від координатиr, а градієнт тиску збігається з градієнтом тиску в разі усталеної фільтрації нестисливої рідини (див. підрозд. 4.3). Оскільки у разі усталеної фільтрації
,
то звідси отримуємо рівняння (9.80), тобто
.
Оскільки ці висновки одержано з наближеного запису основної формули, то це означає, що невдовзі після пуску свердловини навколо неї (для ; похибка 1%) тиск розподіляється так, як і в разі усталеної фільтрації за логарифмічною залежністю, тобто тиск у цій зоні виявляється квазіусталеним (від лат. quasi, що означає “немовби”, “ніби”, “несправжній”). У часі розміри цієї зони збільшуються, а поза нею розподіл тиску відрізняється від усталеного розподілу (рис. 9.8).
Основну формулу пружного режиму (9.74) одержано для точкового стоку (радіус ) в необмеженому пласті (радіус). Аналіз показує, що нею можна з достатньою точністю користуватись як для реальних свердловин (радіуса порядку 0,1 м), так і для так званих “збільшених” свердловин (радіусстановить сотні й тисячі метрів), якими подають нафтові поклади в навколишній водонапірній області, а також у пластах, обмеженних розмірів. В.М. Щелкачов встановив, що під час розрахунку тисків на вибоях свердловин радіусів обмеженних розмірів у необмеженому пласті похибка не перевищує 0,6%, коли, а в пласті (відкритому і закритому) обмеженних розмірів не перевищує 1%, коли,, де,– безрозмірніпараметри Фур’є, або інакше безрозмірний час; – радіус колового контура живлення (з постійним тискомрк) скінченного відкритого пласта або радіус кругової непроникної межі закритого пласта обмеженних розмірів.
Наприклад, якщо м2/с; rc = 0,1м; , то маємос, тобто через 1 с після пуску свердловини похибка розрахунку вибійного тиску за основною формулою (9.74) не перевищує 0,6%, але надалі зменшується.
Аналогічно, якщо м2/с; rc = 0,1м; = 104м; Fо = 0,35, то маємо діб, тобто через 405 діб після пуску свердловини в скінченному пласті похибка розрахунку вибійного тиску за основною формулою (9.74) не перевищує 1%, але надалі збільшується.
Якщо , причому тут– зведений радіус свердловини, то одержуємо із формул (9.74) і (9.78) зміну депресії тиску в часі:
; (9.81)
(9.82)
або
, (9.83)
де відповідно
(9.84)
та
. (9.85)
Формулу (9.82) можна інтерпретувати як формулу Дюпюї:
, (9.86)
де радіус контура пласта
. (9.87)
Із рівняння (9.87) випливає, що радіус зони збурення тиску (збуреної області) зростає у часі, а коефіцієнт п’єзопровідності характеризує швидкість поширення збурень тиску в пласті, так як
Задача 9.2. Визначити коефіцієнти гідропровідності та п’єзопровідності пласта за даними зміни тиску на вибої свердловини радіусом 0,1 м після пуску її в роботу з постійним дебітом 75 м3/доб в часі:
Час, год |
1 |
24 |
Депресія тиску, МПа |
0,42 |
0,515 |
Розв’язування. Записуємо основну формулу пружного режиму фільтрації для двох змін депресії тиску на вибої свердловини:
Здійснюємо перетворення даних формул, до лінійних рівнянь
де – коефіцієнт гідропровідності пласта; κ – коефіцієнт п’єзопровідності.
Тоді із системи рівнянь
знаходимо невідомі величини ln(κ) та ε, матричним способом:
; .
Для перемноження матриць використовуємо програму MathCAD:
=;
отже отримуємо, що lnκ = 0,4456, а коефіцієнт гідропровідності пласта ε = 2,311·10-9 м3/(Па·с).
Визначаємо коефіцієнт п’єзопровідності пласта: 1,561 м2/с.
Відповідь: ε = 2,311·10-9 м3/(Па·с); 1,561 м2/с.