3.2 Диференціальні рівняння руху

Диференціальні рівняння руху можна записати стосовно до лінійного чи нелінійного законів. Обмежимося поки лінійним законом Дарсі.

Швидкість фільтрації – векторна величина. Якщо позначити через одиничні вектори вздовж осей просторових координат, то вектор швидкості фільтрації можна записати:

, (3.15)

де v_x, v_y, v_z – проекції вектора на координатні осі (скалярні величини).

Тоді в рівнянні закону Дарсі (1.17)

(3.16)

величина являє собоюградієнт тиску, тобто вектор зі складовими

, (3.17)

а отже,

. (3.18)

Проектуючи швидкість фільтрації на координатні осі, замість одного рівняння руху (3.18) у векторній формі дістанемо три рівняння руху в проекціях на координатні осі (в координатній формі):

. (3.19)

Нагадаємо, що під величиною p ми домовились розуміти не просто тиск, а зведений тиск.

Формули (3.18) і (3.19) дійсні тільки для ізотропного середовища (з однаковими фізичними властивостями в усіх напрямах). Якщо коефіцієнт проникності залежить від напряму потоку, то такі пористі середовища називають анізотропними, причому це зумовлено структурою порового простору. Для анізотропного середовища лінійний закон фільтрації має складніший вигляд, ніж формула (3.18), оскільки вектори швидкості фільтрації і градієнта тиску не збігаються за напрямом (див. гл. 7). Для ізотропного неоднорідного пласта можна брати k = k (y, x, z).

3.3 Залежності параметрів флюїдів і пористого середовища від тиску

Для вивчення фільтрації необхідно задати основні властивості флюїду, характеристики пористого середовища і термобаричні умови, за яких відбувається фільтрація.

Фільтраційні властивості флюїду в першу чергу характеризуються динамічним коефіцієнтом в’язкості μ, який у загальному випадку має бути заданим як функція тиску p і температури флюїду T, тобто μ = μ (p, T). Крім цього мають бути визначені властивості, які характеризують стисливість флюїду і задаються рівнянням стану. Основними параметрами, що визначають фізичний стан флюїду, є тиск p, абсолютна температура T і густина ρ (або питомий об’єм), тобто рівняння стану дає залежність густини від тиску і температури, а саме ρ = ρ (p, T).

У разі фільтрації флюїду має місце зниження тиску, бо фільтрація проходить у бік меншого тиску. Процес зниження тиску під час руху флюїдів називають дроселюванням (або м’яттям). Під час дроселювання температура флюїду може підвищуватись, знижуватись або залишатися без зміни. Під час фільтрації флюїду зміна температури незначна, причому флюїд контактує з великою масою пористого середовища, між ними відбувається постійний теплообмін. Тому процес фільтрації розглядають як ізотермічний процес (T = const). При цьому приймають, що температура флюїду дорівнює пластовій температурі, тобто температурі пласта на глибині його залягання в надрах Землі. І лише в окремих випадках враховують зміну температури внаслідок дроселювання чи в разі запомповування в пласт гарячих теплоносіїв (див. гл. 14).

Таким чином, необхідно задати залежності μ = μ (p) і ρ = ρ (p). Нагадаємо, що рідини, густина яких є функцією тільки тиску, називаються баротропними.

В’язкість рідин і газів. В’язкість краплинних рідин (за тисків вище тиску насичення газом) дещо залежить від тиску, звичайно збільшуючись під час зростання тиску, що може бути враховано експоненціальною залежністю в разі значних змін тиску (до 100 МПа)

(3.20)

або у вужчих інтервалах зміни тиску її наближеним аналогом (лінійним рівнянням, одержаним після розкладання в ряд експоненціальної функції та утримування перших двох членів розкладу)

, (3.21)

де μ₀ – динамічний коефіцієнт в’язкості за тиску p₀; a_μ – коефіцієнт, що залежить від складу рідин (п’єзокоефіцієнт в’язкості), значина якого для олив змінюється в інтервалі (0,002 – 0,003) МПа^-1.

У разі зміни тиску, що може спостерігатись на практиці (до 30 МПа), зміною в’язкості рідини від тиску можна нехтувати (похибка не перевищує 2-3 %).

В’язкість газів також мало залежить від тиску, тому її здебільшого вважають постійною і не залежною від тиску (μ = const).

Рівняння стану рідини. Його легко отримати із закону Гука для рідин у разі всесторонього стиснення

(3.22)

або

, (3.23)

де V – початковий об’єм рідини; ΔV – зміна об’єму рідини внаслідок зміни тиску Δp; β_р – коефіцієнт об’ємного стиснення рідини або коефіцієнт об’ємної пружності рідини (– модуль об’ємної пружності рідини). Коефіцієнт об’ємної пружності для нафти β_н = (70 - 30) 10^-10 Па^-1, для пластової води β_в = (2,7 - 5) 10^-10 Па^-1, причому їх приймають незалежними від тиску та температури.

Об’єм однорідної рідини можна записати через її масу M, тобто Звідсивідтак

(3.24)

або

. (3.25)

Проінтегруємо це рівняння від зафіксованих значин p₀ і ρ₀ до біжучих значин p і ρ, тобто

, (3.26)

звідки отримуємо

(3.27)

або в кінцевому підсумку маємо рівняння стану рідини:

, (3.28)

де ₀ – густина рідини за тиску р₀.

Розклавши функцію у ряд Тейлора і обмежившись першими двома членами ряду, дістанемо наближену лінійну залeжність стану рідини:

. (3.29)

Так, якщо β_p = 3·10^-9 Па^-1, р – р₀ = 10 МПа, то β_p(p – p₀)=3·10^-2, а отже похибка лінійного наближення не виходить за межі 0,03. За такої зміни тиску густина рідини змінюється лише на 3%.

Рівняння стану газу. У підземній гідрогазомеханіці природний вуглеводневий газ розглядають і як ідеальний (відсутні сили взаємодії між молекулами, а їхній об’єм дорівнює нулю), і як реальний. З фізики відомо рівняння стану ідеального газу Клапейрона - Менделєєва

, (3.30)

або

, (3.31)

де R_m – універсальна газова стала (R_m = 8,314 Дж/(моль·К)); m_г – молярна маса газу; – газова стала (для повітряR = 287,2 Дж/(кг·К), для метану R = 518 Дж/(кг·К)); M – маса газу.

Для реального газу необхідно врахувати сили взаємодії між молекулами. У практиці видобування газу часто користуються узагальненим рівнянням Клапейрона - Менделєєва

, (3.32)

де z_г – коефіцієнт стисливості (надстисливості) газу, що характеризує ступінь відхилення поведінки реального газу від закону ідеального газу, причому z_г = z_г(p,T).

Коефіцієнт стисливості вибирають за експериментальними даними (таблиці або графіки Д. Брауна) залежно, звичайно, від зведеного тиску p_зв і зведеної температури T_зв. Останні являють собою безрозмірні величини – відношення дійсних тиску p і температури Т відповідно до критичних (псевдокритичних) тиску р_кр і температури T_кр, тобто Для суміші газів критичні (псевдо- або середньокритичні) значини обчислюють за правилом адитивності (від лат. аdditivus – придатковий, пов’язаний з додаванням), тобто як суму добутку молярних концентраційy_i компонентів у суміші на властивості цих компонентів:

,

де n – кількість компонентів у суміші.

Записавши рівняння (3.32) у вигляді

, (3.33)

дістаємо рівняння стану реального газу – залежність для розрахунку одного з параметрів газу (p, V, T, z_г) залежно від відомих вхідних їх значин (p₀, V₀, T₀, z_г0):

, (3.34)

або за постійних M і R

. (3.35)

Оскільки то можнарівняння стану реального газу також записати:

(3.36)

або

. (3.37)

Звідси за z_г = z_г0 = 1 дістаємо в іншій формі рівняння стану ідеального газу Клапейрона - Менделєєва, а за постійної температури (T = const) – рівняння стану ідеального газу Бойля - Маріотта:

. (3.38)

З наведених рівнянь випливає, що густина газу значно (в десятки разів) змінюється залежно від величини тиску.

Зміна властивостей пористого середовища. Основними фільтраційно-ємнісними характеристиками пористого середовища є пористість і проникність. Для встановлення впливу тиску на пористість розглянемо елемент пористого середовища (рис. 3.2). Зверху і знизу (згідно з принципом рівності дії та протидії) він знаходиться під впливом гірничого, або геостатичного тиску p_гірн , тобто тиску, зумовленого масою залеглих зверху порід, а також тектонічними силами та термічними зусиллями, що виникають внаслідок дії тепла земних надр. Вздовж горизонталі (в умовах об’ємного стиснення) діє горизонтальний тиск p_гор, відношення якого до гірничого тиску p_гірн дорівнює коефіцієнту бокового розпору, причому значина останнього звичайно не перевищує одиниці. У порах елемента пласта, насиченого рідиною (газом), діє поровий тиск p. Тоді так званий ефективний тиск на скелет породи (по контакту між зернами) або середню нормальну напругу можна записати:

(3.39)

Під час розробки покладу поровий тиск p зменшується, а ефективний тиск p_еф відповідно зростає. Внаслідок зменшення порового тиску p зростають зусилля, що стискують кожне із зерен породи, і пружно розширюються зерна породи, а як наслідок, зменшується об’єм пор. Збільшення ефективного тиску p_еф зумовлює додаткову деформацію зерен, що викликає зменшення пористості внаслідок ущільнення та упакування зерен, а також перегрупування зерен, руйнування цементувальної речовини і самих зерен.

Залежності коефіцієнтів пористості та проникності для широкого діапазону зміни ефективного тиску p_еф є нелінійними. Процеси деформації можуть бути оборотними (наприклад, пружне розширння зерен) і необоротними. Звичайно беруть p_гірн = const, а коефіцієнт пористості – лінійно залежним тільки від тиску р, тобто m = m(р). Тоді стисливість породи характеризують законом Гука так:

, (3.40)

звідки після інтегрування отримуємо лінійну залежність коефіцієнта пористості від тиску

, (3.41)

де β_c – коефіцієнт об’ємної пружності пласта, β_c = (0,3 - 2) 10^-10 Па^-1; V – об’єм елемента пласта; dV_п – зміна об’єму пор внаслідок зміни тиску dp; – зміна коефіцієнта пористості;m, m₀ – коефіцієнти пористості пласта відповідно за тисків p і p₀. Нехай β_c = 10^-10 Па^-1, p – p₀ = -10 МПа, тоді β_c (p – p₀) = -10^-3, m₀ ‑ m = 10^-3, тобто змінюється тільки тисячна частка значини коефіцієнта пористості.

Експериментально встановлено, що за великих змін тиску залежність коефіцієнта пористості від тиску необхідно характеризувати експоненціальним рівнянням:

, (3.42)

де a_m – експериментальний коефіцієнт (п’єзокоефіцієнт пористості).

Розглянуті деформації викликають також зміну проникності, причому відносно в більшій мірі, ніж пористості. Згідно з експериментальними даними залежність коефіцієнта проникності пористого середовища від тиску описують рівняннями лінійним за малої зміни тиску

(3.43)

і експоненціальним за великої зміни тиску

, (3.44)

де k, k₀ – коефіцієнти проникності відповідно за тисків p і p₀; a_k – експеримен­тальний коефіцієнт (п’єзокоефіцієнт проникності).

Коефіцієнт a_k має порядок від 10^-9 до 10^-10 Па^-1. За різниці тисків p – p₀ = 30 МПа відношення k/k₀ = 1,03 – 1,003, тобто зміна коефіцієнта проникності не перевищує 3%.

Необхідно зазначити, що оскільки зміна як пористості, так і проникності пористих пластів від тиску практично невелика, то нею в більшості випадків нехтують, особливо зміною проникності.

Таким чином, невідомими в задачах ізотермічної фільтрації є тиск p, швидкість фільтрації (точніше три скалярні складовіv_х, v_у, v_z), густина ρ, динамічний коефіцієнт в’язкості μ, коефіцієнт пористості m і коефіцієнт проникності k, тобто вісім скалярних величин. Для їх визначення маємо також вісім рівнянь, а саме: рівняння нерозривності потоку, три рівняння руху і чотири залежності μ (p), ρ (p), m (p) і k (p), тобто система рівнянь є замкнутою, значить має розв’язок.

Якщо фільтрація неізотермічна (див. гл. 14), коли температури флюїдів і пористого середовища змінюються, то до цих рівнянь треба приєднати ще два рівняння, які містять ці дві температури (рівняння балансу енергії та рівняння теплообміну).

Для розв’язування інших задач фільтрації, наприклад з фазовими переходами, вводяться додаткові співвідношення, що замикають систему рівнянь (див. гл. 12).