16.5 Усталена фільтрація газу в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах

У чисто тріщинному пласті усталена фільтрація газу описується диференціальним рівнянням (див. підрозд. 16.2)

, (16.57)

тобто описується таким же рівнянням (16.29) для рідини.

У разі фільтрації газу перепади тиску часто невеликі, тому припускаємо лінійну залежність коефіцієнта проникності від тиску (16.21). Тоді функція Лейбензона набуває для ідеального газу і деформівного колектора вигляду:

_(16.58)

Беручи в рівнянні (16.58) р = р_к і р = р_с, відповідно знаходимо Р_к і Р_с та, підставляючи їх у формулу масового дебіту свердловини (16.35), одержуємо формулу масового дебіту ідеального газу

(16.59)

і формулу об’ємного дебіту газу зведеного до атмосферного тиску, перетворивши формулу (16.59),

. (16.60)

Із формули (16.60) за _к = 0 одержуємо формулу дебіту газу в недеформівному пласті в разі припливу за законом Дарсі (див. підрозд. 8.3). Позначаємо цей дебіт через . Беремо відношення

. (16.61)

За _к = 210^-7 Па^-1, р_к = 10 МПа, р_с = 7 МПа маємо , тобто дебіт у деформівному пласті менший на 28 %.

16.6 Неусталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах

Неусталена фільтрація описується системою рівнянь руху (16.23) і нерозривності потоку (16.24) або об’єднаною системою рівнянь (16.27). Запишемо останню для рідини:

(16.62)

Оскільки розв’язки цієї системи надзвичайно складні, то її по-різному спрощують.

Наприклад, покладемо ;;;,і = 1, 2. Тоді систему рівнянь (16.62) записуємо так:

(16.63)

де ;і = 1, 2. Тут і– коефіцієнти пружної ємності нафтонасичених тріщин і пористих блоків.

Розділимо рівняння системи (16.63) на і введемо нові позначення:

;;;, (16.64)

де κ – коефіцієнт п’єзопровідності середовища (тріщин і блоків);  – час запізнення перерозподілу тиску між порами і тріщинами.

Тоді одержимо:

(16.65)

Із рівнянь (16.65) виходить, що за  = 0 доданок , що характеризує швидкість перетікання рідини, є нескінченним, тиски у тріщинах і блоках – однаковими, а середовище веде себе як однорідне.

А за  =  доданок дорівнює нулю, система розділяється на два незалежних рівняння фільтрації – у тріщинах і в блоках, тобто блоки виявляються ізольованими, непроникними й середовище веде себе як чисто тріщинувате (обидва рівняння системи стають ідентичними).

Параметр  можна також записати:

, (16.66)

де – коефіцієнт п’єзопровідності блоків.

Із виразу (16.66) випливає, що великі значини часу запізнення  відповідають малим значинам п’єзопровідності блоків ₂ і великим розмірам блоків l, а все це ускладнює перетікання рідини. За малих значин  рідина швидко перетікає, а за великих – повільно. Параметр  називають часом запізнення, а його величина характеризує відставання процесу перерозподілу тиску в тріщинувато-пористому середовищі порівняно з пористим, яке характеризується коефіцієнтом п’єзопровідності .

Звідси зрозуміло, що значини часу запізнення  у проміжку , коли, відповідають тріщинувато-пористому середовищу.

Оскільки часто ,, то можна припустити, щот₁ = 0, k₂ = 0. Це означає, що нафта знаходиться (“зберігається”) тільки в блоках, а переміщається тільки тріщинами. Тоді ,і можна нехтувати доданкамиі. Система набуває вигляду:

(16.67)

Із системи (16.67) можна виключити один із тисків. Визначаючи із першого рівняння тиск р₂ і підставляючи знайдений вираз у друге рівняння, маємо:

. (16.68)

Якщо , що відповідає безперешкодному обміну рідини між блоками та тріщинами, то рівняння (16.68) переходить у відоме нам рівняння пружного режиму (див. підрозд. 9.1) з коефіцієнтом п’єзопровідності, який характеризується коефіцієнтом проникності тріщин і коефіцієнтом пружної ємності блоків, тобто середовище веде себе як однорідне.

Розглянемо плоско-радіальну фільтрацію пружної рідини до свердловини радіуса r_с, розміщеної в безмежному пласті, з постійним дебітом Q.

У циліндричних координатах рівняння (16.68) можна записати так:

. (16.69)

Беремо граничні та початкову умови:

. (16.70)

Розв’язок цього рівняння одержують з використанням перетворення Лапласа.

Задача може бути сформульована і для тиску р₂ в пористих блоках. Тоді умова на стінці свердловини набуває вигляду:

. (16.71)

Графічне представлення таких розв’язків показано на рис. 16.4, де показано розподіл безрозмірного тиску в тріщинах (див. рис. 16.4, а) і в пористих блоках (див. рис. 16.4, б). Тут безрозмірні тиски

;, (16.72)

а безрозмірна радіальна координата

. (16.73)

Лінії побудовано для різних значин відношення . Із графіків видно, що перерозподіл тиску в блоках відбувається значно повільніше, ніж у тріщинах. Закривііпрактично збігаються, тобто заможна користуватися рівняннями для фільтрації у звичайному пористому середовищі.

Час запізнення  можна визначити за даними гідродинамічного дослідження свердловини на неусталених режимах. Крива відновлення тиску в координатах прямує до асимптоти, що характеризує пористий пласт (рис. 16.5), де.

Тріщинувато-пористий колектор являє собою здвоєне середовище, що охоплює тріщини та блоки. Фрагментарно процес витіснення нафти водою можна описати так. Вода, що нагнітається в пласт, завдяки гідродинамічним силам (створеному градієнту тиску) проникає в тріщини і порові блоки пропорційно коефіцієнтам проникностей тріщин і пор. У колекторах з високою поровою проникністю частка води, що надходить у тріщини, відносно невелика. У колекторах з низькою та середньою поровою проникністю (за В. Д. Вікторіним і М. О. Ликовим коефіцієнти проникностей відповідно менше 0,01 мкм² і в межах 0,01-0,1 мкм²), де тріщинна проникність вища від порової, найбільший об’єм води надходить у систему тріщин. Першочергове, випереджаюче витіснення нафти має місце з більш високопроникного середовища. На рис. 16.6 зображено схему витіснення нафти водою із тріщинувато-пористого пласта, коли проникність тріщин менша, однакова і значно більша від проникності пористих блоків. Коли проникність тріщин менша чи рівна поровій, то пласт розглядається як однорідне пористе середовище.

У випадку більшої проникності тріщин, ніж проникність пор, по тріщинах має місце проривання води, а малопроникні блоки, насичені нафтою, оточуються водою. Оточення водою може бути або з усіх боків, або часткове по поверхнях блоків, які паралельні напряму (лінії) витіснення.

Витіснення нафти водою з кожного окремо взятого блока може відбуватися за рахунок гідродинамічних, пружних, гравітаційних і капілярних сил.

Гідродинамічні сили пов’язані зі створеним перепадом тиску між зонами нагнітання та відбирання. Оскільки проникність матриці вважається дуже малою, то гідродинамічними силами нехтують.

У разі сумісного руху двох незмішуваних рідин змінюються фільтраційні опори, що викликає перерозподіл тиску в порах і тріщинах та перетікання рідини між ними завдяки пружним силам. Вище показано (див. підрозд. 16.6), що ці процеси досить швидко відбуваються. Тому цими силами також нехтують у разі розрахунку звичайного заводнення, але враховують у разі розрахунку циклічного (періодичного) заводнення. Гравітаційні сили можуть відігравати значну роль тоді, коли висота блоків велика.

На сьогодні в основному припускають, що вилучення нафти з пористих блоків відбувається лише за рахунок капілярного просочування. Вода як змочувальна фаза всмоктується завдяки капілярним силам, а нафта виходить через великі пори. Оскільки процеси перерозподілу рідини, викликані капілярними силами, відбуваються значно повільніше, ніж перерозподіл тиску за рахунок стисливості, то обмежуються дослідженням витіснення нестисливих рідин у нестисливому пористому середовищі.

Уздовж напряму витіснення вода переміщається тріщинами з більшою швидкістю, ніж вона переміщається порами. Із тріщин вона безперервно всмоктується в блоки, що знижує швидкість руху води в тріщинах. Така взаємна зумовленість процесів витіснення нафти і з тріщин, і з блоків вимагає їх сумісного розгляду.

Отже, в разі витіснення нафти водою із тріщинувато-пористого пласта необхідно виділяти два середовища (тріщини та блоки) і дві фази (нафта й вода). Тобто, під час аналітичного дослідження необхідно записати чотири рівняння руху (для двох фаз у двох середовищах), чотири рівняння нерозривності потоку, тобто вісім рівнянь замість чотирьох рівнянь у разі однофазного руху (див. підрозд. 16.2), а також ввести функцію, що враховує капілярний обмін рідинами між блоками та тріщинами. Для складання таких рівнянь найбільш вдалим вважається континуальний підхід Г. І. Баренблатта (різні середовища “вкладено” одне в одне). Для цього виведені у підрозд. 16.2 і 12.1 рівняння узагальнюються на двофазний рух у тріщинах і порах.

Покладемо, що внаслідок малості коефіцієнта проникності пористих блоків k₂ швидкості фільтрації v₂₁ = 0, v₂₂ = 0, а коефіцієнт тріщинуватості т₁ = 0, де перший індекс позначає середовище (1 – тріщини; 2 – пори), а другий – фазу (1 – вода; 2 – нафта). Тоді система рівнянь для одновимірного руху суміші нестисливих рідин набуває вигляду:

; (16.74)

; (16.75)

; (16.76)

; (16.77)

, (16.78)

де v₁₁, v₁₂ – швидкості фільтрації в тріщинах відповідно води та нафти; s₁, s₂ – водонасиченість у тріщинах і блоках; ,– відносні коефіцієнти тріщинної проникності для води й нафти;k₁ – коефіцієнт тріщинної проникності; р₁₁, р₁₂ – тиски в тріщинах відповідно у воді та в нафті; т₂ – коефіцієнт пористості блоків; q – інтенсивність (функція) перетікання рідини; ₁, ₂ – динамічні коефіцієнти в’язкості води та нафти.

Тиски в обох фазах припускають однаковими, тобто впливом капілярних сил безпосередньо на фільтрацію нехтують. Їхню дію враховують тільки через функцію обміну рідинами між середовищами.

Функцію перетікання рідини можна обгрунтувати так. Нехай один торець (поверхня) блока відкритий і торкається води, а решта поверхні непроникна для рідини. Вода під дією капілярних сил всмоктується в блок, а нафта рухається в протилежному напрямку. Цей процес називають протиплинним капілярним просочуванням. Підкреслимо, що капілярне просочування можливе тільки тоді, коли порода гідрофільна. Процес просочування можна описати рівнянням для насиченості із моделі Раппопорта – Ліса (див. підрозд. 12.4), коли взяти, що сумарна швидкість потоку дорівнює нулю (швидкості води та нафти однакові і протилежно напрямлені). Із розв’язку цього рівняння випливає, що швидкість просочування води спочатку описується рівнянням

, (16.79)

а після підходу фронту витіснення до закритого кінця – рівнянням

, (16.80)

де ₀ і ₀ – коефіцієнти; t – час просочування.

Із рівнянь (16.79) і (16.80) виходить, що просочування залежить від часу перебування даного блока в обводненій зоні. Оскільки витіснення починається з границі пласта х = 0, то перші блоки, які знаходяться біля входу в пласт, будуть насичені водою більше, ніж віддалені від входу. Нехай фронт витіснення в тріщинах підійшов до даного блока через час , то інтенсивність перетікання буде функцією від часу.

Щоб перейти від швидкості просочування v₁ до інтенсивності перетікання в одиниці об’єму середовища з подвійною пористістю, треба швидкість просочуванняv₁ помножити на питому поверхню пористих блоків і на деякий коефіцієнт, що характеризує форму цих блоків. Виходячи з рівнянь (16.79) і (16.80), зручну апроксимацію для за всіх_п можна записати так (Е. В. Скворцов і Е. А. Авакян):

, (16.81)

де а і в – постійні.

З міркувань розмірностей і фізики процесу просочування можна встановити:

; (16.82)

, (16.83)

де s_но – початкова нафтонасиченість блока; _б – кінцевий коефіцієнт нафтовилучення із блока за його капілярного просочування; – експериментальна функція;k₂ – коефіцієнт проникності блоків;  – поверхневий натяг на межі нафта-вода;  – кут змочування порід пласта водою; l₁ – довжина грані кубічного блока.

Розв’язуючи систему (16.74) – (16.78), можна знайти закон руху фронту витіснення, насиченість блоків.

Експериментами встановлено існування критичної швидкості витіснення, тобто швидкості, за якої границя поділу вода-нафта і в тріщині, і в блоку рухається з однаковою швидкістю. Якщо швидкість витіснення менша за критичну, вся нафта вилучається з блоків до початку водного періоду, тому нафтовилучення не залежить від швидкості витіснення і близьке до повного нафтовилучення.

Якщо швидкість витіснення більша за критичну, то вода швидко проривається по тріщині, а процес просочування блоків ще не закінчився. Тоді чим більша швидкість витіснення, тим менше безводне нафтовилучення. У водний період відбирання нафтовилучення із блоків залежить від часу просочування, тобто від тривалості часу контактування блока з водою.

Зрозуміло, що критична швидкість тим більша, чим інтенсивніше йде просочування, тобто чим більші капілярні сили.

Теоретично та експериментально встановлено, що просочування закінчується після досягнення певної водонасиченості блоків (кінцевого нафтовилучення). Нафтовилучення із пористих блоків порівняно невелике і становить 0,2-0,3, а коефіцієнт витіснення нафти з тріщин сягає 0,8-0,85. Зміна водонасиченості блоків відбувається практично протягом певного часу t. За цей час вода у тріщинах відійде на відстань х_зкп (див. рис. 16.6), яка визначає розмір зони капілярного просочування. Ця зона за аналогією з випадком витіснення в однорідному середовищі (див. розд. 11) дістала назву стабілізованої. Всередині цієї зони фактично здійснюється весь процес просочування блоків. Теоретичний аналіз показує, що стабілізована зона утворюється за час (2…3)в, тобто у 2-3 рази повільніше, ніж просочування одного блока. Ю. П. Желтов показав, що розмір стабілізованої зони визначається за формулою

, (16.84)

де Q – витрата води; F – площа поперечного перерізу пласта.

Із формули (16.84) видно, що за великих швидкостей руху розмір зони капілярного просочування може значно перевищувати розміри покладу, так що незабаром після початку заводнення вода підійде до видобувних свердловин, а це призведе до відбирання разом з нафтою великих об’ємів води. Відбирання нафти закінчується з приходом тилу стабілізованої зони.

Процес капілярного просочування ускладнюється через наявність ще двох причин, які на сьогодні поки що теоретично не враховуються.

Перш за все, за наявності хоч би двох систем макро- і мікротріщин пласт розсічений макротріщинами на макроблоки, які у свою чергу мікротріщинами розсічені на мікроблоки. Є підстави вважати, що заповнені нафтою мікротріщини служать екранами, які перешкоджають протіканню процесу капілярного просочування в усьому об’ємі матричної породи. Рідина, що фільтрується по макротріщинах, вступає в контакт з мікроблоками, розміщеними на поверхні макроблоків. Ці мікроблоки охоплюються процесом капілярного просочування. У внутрішніх мікроблоках просочування не відбувається, воно стає можливим тільки тоді, коли вода підійде по мікротріщинах. У такому випадку безводний період скорочується, а водний – значно розтягується, при цьому процес подальшого відбирання нафти може стати нерентабельним.

По-друге, швидкість капілярного просочування сама по собі невелика і може значно зменшуватися через погіршення проникності на поверхні блоків, яке може мати місце внаслідок замулювання пор колоїдними частинками, що містяться в нагнітальній воді.

Такі складні процеси витіснення потребують подальшого вивчення. Перспективи пов’язують з розв’язування системи рівнянь числовими методами з використанням ЕОМ.