29. Линии напряж. Поток вектора напряж эл поля.

Для того, чтобы опис эл поле, нужно задать Е в кажд точке поля. Это можно сделать аналитич и графич с пом линий напряж или силовых линий (ли­н, провед в эл поле, для кот направл каса­т в люб точке совпад с направл вектора напряж-ти .

Т.к. касат определ 2 взаимно противополож направл, то силовой линии приписывают определ направл, отмеч его на чертеже стрелкой.

Густота силов лин отраж велич напряж-ти поля, а им, число силов лин, проходящ ч-з ед пов-ти, перпендик к силов лин, пропор­ц велич напряж-ти поля в дан месте.

Силов лин можно провести ч-з всякую точку поля. Силов линии нигде не пересек.

Для точеч заряда `E||`r и лин напряж-ти направл по радиусам, проведён из заряда. Для положит заряда (q>0) эти линии исходят из заряда и уходят в ¥ Для отриц заряда (q<0) `E направл против рад-вект`r, а лин напряж идут из ¥ и сходятся в точ нахожд заряда.

Связь между эл полем и его источн может быть выраж с пом понят потока вект на­пряж-ти.

Рассмотр в пр-ве некот эл поле и замкн пов-ть произвол формы. Разделим всю пов-ть на малые ч-ти, вектор напряж-ти эл поля не будет заметно мен. Направл элем пов-ти предст вектором нормали. Число силов лин, равных скаляр произвед

N = (`E×`n)dS_i = Ф_i - поток вектора напряж-ти.

Слож потоки ч-з все элем пов-ти и получ поток через всю пов-ть

Ф = ò (`E×`n)dS =ò (E_n ×dS, где Е_n - проекц `Е на направл нормали к площ dS, где интеграл берется по пов-ти S.

Теор Острогр-Гаусса.

1).поле созд изолир положит точеч зарядом q и что пов-ю явл сфера рад r, в центре кот располож точеч заряд. E = (1/4pe₀)(q/r³)`r,

Ф=E×4pr²= (q/4pe₀ r²) 4pr²=q/e₀. Поток не завис от разм сфе­ры.

2).Поток не завис и от формы пов-ти, окруж заряд q.

Лин напряж-ти эл поля нач и заканч только на эл зарядах. Если замкн пов-ть не охват заряда, то поток вект эл поля ч-з эту пов-ть = 0

3). Поле созд не 1 точеч зарядом, а произвол сист точеч зарядов. На­пряж-ть результир электростат поля равна вектор сумме напряж-ей электростат полей: `E = `E₁+`E<sub>2</sub> +`E₃ +…+`E<sub>n</sub> = S`E_i.

Поток напряж-ти результир поля сквозь произвол замкн пов-сть S равен

, но Ф_i=0, если i>k поэтому

поток вектора напряж-ти электростат поля в вакууме сквозь произвол замкн пов-ть равен отнош алгебр суммы зарядов, охватыв этой пов-ю, к электрич постоян. – т-ма Оетрогр-Гаусса

Для хар-ки электрич поля наряду с `Е удобно ввести ещё одну вект ве­лич `D - электрич смещением или эл индукцией. `D = ee<sub>0</sub> `E

-т-ма Остроградского-Гаусса.

Поток вектора электрич смещения сквозь произвол замкн пов-ть равен алгебр сумме электрич зарядов, охватыв той пов-ю.

30 Прим вычисл электр поля с пом т Острогр-Гаусса.

Прим 1. Р а в н о м е р н о - з а р я ж п л-т ь.

Имеется безгранич пл-ть, заряж равномер с поверхн плот­н заряда s. Найти напряж-ть Е(х), где х - расстоян до пл-ти.

Линии напряж-ти должны быть направл симметрич в обе стор от плоск ^ ей. В этом случ в кач-ве замкн пов-ти в теор О-Г удобно выбр прям цилиндр, перпендик к заряж пл-ти, огранич 2 плоск основаниями, перпендик к силов лин и располож по обе стор заряж пл-ти.

Рис. 7. Рис.8.

Поток ч-з бок пов-ть цилиндра =0 и поэтому полн по­ток сквозь цилиндр равен сумме потоков через его основания Ф =^:2ЕS.

Полн заряд, заключ внутри цилиндра равен Ss. 2ЕS =sS/e₀, откуда Е = s/2e₀. `Е = соnst по велич и по направл.

Если плотн заряда отриц, т.е. (-s), то лин напряж-ти имеют противоположе направл.

Прим 2. Определ поле между 2 пл-ми, равномер с одинак плотн заряж разноимён зарядами.

Заряж пл-ть кажд пластины создаст по обе стор от себя напря­ж-ть поля, выраж ф-лой ±s/2e₀. Внутри металлич пластин и вне конденсатора эти поля направл противополож и поэтому в сумме дают нуль. Внутри конденсат эти поля направл одинаково и, складываясь, дают у пов-ти пластин напряж-ть Е = s/e₀. В данном частн случ электрич поле од­нородно и поэтому его напряж-ть у пов-ти пластин такая же, как и в др точках поля.

Прим 3. Равномерно заряженный шар.

Рассмотр эл поле между 2 шаровыми концентрич электродами - шаровой конденсатор. Под действ взаимн притяж (-) и (+ ) заря­ды располож только на пов-ти внутр шара и на внутр пов-ти внеш

электрода. Заряды на обоих ша­р электродах будут распредел равномер, и что лин напряж-ти эл поля могут быть только радиальными прямыми. Выберем в кач-ве замкн пов-ти сферу с ра­д r, располож между электродами и имеющ общ центр с обоими элек­тродами. Ф = Е(r)4pr² = q/e₀,

откуда Е(r)=q/4pe₀r².

Напряж-ть поля между электродами за­вис от расстояния r рассматрив точки поля от центра внутр шара, но не завис вовсе от размеров внеш электрода. Роль внеш электрода могут игр различ удалён заземлён предм. Поэтому часто гов просто о поле заряж шара не указ, что им явл 2 электродом. Эл поле шара, равномер заряж по пов-ти, во внеш пр-ве совпад с полем точеч заряда.