12. Гармонич колеб и его хар-ки.

В периодич проц измен к-л велич повтор ч-з соверш определ вр–период. Матем функц f(t) явл периодич с периодом Т, если для люб мом врем выполн рав-во: F(t + T) = f(t). (1)

Движ такого рода, когда тело поочередно многокр смещ то в одну то в др стор, наз. колебат движ или колебанием.

Колеб наз своб (или собств), если они соверш за счет первонач сообщ энергии при послед отсутствии внеш воздейств на колеб сист.

Грмонич колеб представл собой периодич проц, в кот изменен к-л велич происх по з-ну синуса или косинуса.

Мат точка А движ по окруж рад R c угл скор . Смещ ее вдоль оси Ох будет определ проекц рад на ось Ох

Рис

R_x(t) = R cos ( t +  ). (2)

Эта ф-ла опис колеб движ проекц тА вдоль оси Ох ок тО, кот наз. «положением равновесия». Период изменения проекции: Т=2t -фаза колеб. Она определ сост колеб сист в люб мом врем. При t = 0 ₀ – нач фаза.

Скор точки, соверш гармонич движ

V = dx/dt = Acos t =A sin(t +  /2). (3)

Колеб движ соверш с ускор W:

W =d²x/dt² =dV/dt=²Acos(t + /2)= -²x. (4).

Дифференц ур-е гармонич колеб: d²x/dt² + ²x = 0.

В кач-ве прим гарм колеб рассмотр движ матем маятника, т.е. небольш тела, подвеш на нерастяж и невесом нити и пренебр раз-ми тела.

Рис.

Если отклонить тело от полож равновес и отпустить, оно нач соверш колеб движ. На тело действ сила тяж и сила натяж нити. Составляющая силы тяж mgsin, направл вдоль касат к траект, мен велич скор тела. Маятник движ вниз с нарастающ скор.

В полож равновес касат ускор W_ =0, однако скор тела не равна нулю, и оно по инерции движ дальше, подним вверх. Слева от полож равновес тангенц составляющая силы тяж направл против скор, следов, движ маятн замедл. В мом остановки скор V = 0, a ускор W_ = max и маятник нач двиг направо в стор полож равновес.

Матем маятник колебл с частотой g/l, а его период Т = 2  g/l  l/g  f(m) !  g !

Аналогич рассматр колеб пружин маятн и получ:

X(t) = A sin(k/m t + ₀) ,

а период T = 2 = 2m/k, где к – жесткость.

Полная механическая энергия колеблющегося тела

Е = Е_п + Е_к = (m/2) ²A²(cos²t + sin²t) = m²A²²/2

не измен с теч врем и равна ее запасу, сообщен телу в нач мом врем, при вывед его из полож равновес. В проц колеб происх только превращ видов энергии из кинетич в потенц и обратно с частотой, вдвое большей частоты колеб.

В реал своб затухающ колеб их энергия, как и амплитуда, с теч врем непрер уменьш, расход на преодол сил тяж.

13 Энергия колебл. тела.Собств колеб Земли.

При гармонич колеб происх взаимн превращ кинетич энергии колебл тела Е_к и потенц энергии Е_п, обусловл действ квазиупругой силы. Полн энергия: Е = Е_к + Е_п, но Е_k=mV²/2= (m/2)²A²cos²t, Е_п = (m/2)²A²sin²t.

Полн мех энергия колебл тела Е = Е_п + Е_к =

(m/2) ²A²(cos²t + sin²t) = m²A²²/2

не измен с теч врем и равна ее запасу, сообщенному телу в нач момент врем, при выведении его из положения равновес. В проц колеб происх только превращ видов энергии из кинетич в потенц и обратно с частотой, вдвое большей частоты колеб, Е ~² и Е ~ А². (Е = кХ²/2, Т = 2 m/k).

В реальн своб затух колеб их энергия, как и амплитуда, с теч врем непрер уменьш, расходуясь на преодол сил тяж.

Стальной шар разм-м с Землю будет иметь период собств основн колеб около 1 часа.

По хар-ру деформаций среды и смещ в ней частиц собств колеб подраздел на радиальные и сфероидальные, с одной стороны, и на крутильные или тороидальные – с др стороны. При радиал деформац ч-цы смещ по радиусу, а при сфероидальных – по сферическим поверхностям.

К наст врем зафиксир около тысячи собств частот Земли с периодами от 35 до 55 мин., кот явл интегральными хар-ми планеты и наряду с ее массой и моментом инерции использ для изуч распредел плотности в недрах Земли, модулей сжатия и сдвига, а также гравитац поля.

Важные сведения о неупругих св-вах глуб частей Земли получ из наблюд затухания собств колеб.

Результатом сложения гармон. колеб. Явл биения и фигуры Лиссажу.