Билет 16.

Вопрос 1.

Кинематика твёрдого тела. Углы Эйлера. Поступательное, плоское и вращательное движения тела.

Кинематика твердого тела

(Абсолютно) твердое тело – это система материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными, то есть все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат жестко связанной с телом

Задача кинематики твердого тела – дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения , определить положение , скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.

Углы Эйлера

Число степеней свободы – это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.

Для того, что однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (X,Y,Z). Две : 3+3-1=5 степеней. В этом случае координаты точекX₁,Y₁,Z₁иX₂,Y₂,Z₂не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

L²=(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²+(Z₂-Z₁)², ГдеL– расстояние между точками

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3=6 степеней свободы.

Зададим три различные декартовы системы координат:

1.Лабораторная X Y Z

2.СистемаX₀,Y₀,Z₀, начало которой связано с некоторой точкойОтвердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системыX Y Z, т.е. она движется поступательно.

3.Система x y z, начало которой находится в той же точкеО, что и началоx₀ y₀ z₀, а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы твердого тела будут соответствовать три координаты точки О(вX Y Z) и три углаφ, ψ, Θ, однозначно определяющие положение системыx y zотносительноx₀ y₀ z₀-углы Эйлера

φ– угол собственного вращения (поворот вокруг осиZ),

ψ– угол прецессии (поворот вокругZ₀с сохранением углаΘмежду осямиZ₀иZ),

Θ– угол нутации (отклонение тела от осиZ₀)

Поступательное движение

Поступательное движение – это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе (движение кабинок «колеса обозрения»).

Допустим, закон движения точкиАзадан в виде

Тогда закон движения точки В будет иметь вид

Где r_AB– вектор проведенный от точкиАк точкеВ

Скорость точки АV_A=dr_A/dt

Скорость точки ВV_B=dr_B/dt=V_A,т.к.r_AB=const

Ускорение: a_A=dV_A/dt=dV_B/dt=a_B

Вращательное движение

Вращательное движение – этотакое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.

Угловая скорость:

Вектор элементарного углового перемещения Δφнаправлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скоростиω=dφ/dtопределяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.

Вектор скорости V_A:V_A=ω×r_A (формула Эйлера)

V_A= ω r_A*sinα=ωρ

Ускорение точки А:

a_A=d ω/dt×r_A+ ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×V_A

 - угловое ускорение тела

a_A=a_+a_n- все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения

a_=×r_A=*ρ*- тангенциальное ускорение (- единичный вектор в направленииV_A).

a_n= ω× V_A= ω×( ω× r_A)= ω²n– центростремительное ускорение (n– единичный вектор в направлении к оси вращения)

Плоское движение

Плоское движение – это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.

Скорость любой точки Атела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точкиО, принятой заполюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.

Радиус-вектор точки А:

r_A=r₀+r` , r`- вектор, проведенный из полюса в точкуА.

Скорость точки А:

V_A= dr_A/dt= dr₀/dt+ dr`/dt=V<sub>0</sub>+ ω× r`

Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системеX Y Zравна нулю – для этой точки

V₀= -ω×r`

Причем точка может находиться и вне тела.

Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М- мгновенной оси вращения.

Ускорение точки А:

a_A=dV_A/dt=dV₀/dt+dω/dt×r`+ω× dr`/dt=a₀+a_+a_n

a_=×r`

a_n= ω× dr`/dt=ω×(ω×r`)=ω*(ω*r`)-r`(ω*ω)=- ω²*r`

((ω*r`)=0, т.к. ωr`)