Билет 18.

Вопрос 1.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры вычисления осевых моментов инерции.

Уравнение моментов. Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения для i-й материальной точки массы m, в лабораторной системе координат имеет вид:

где F. —сумма всех внешних сил, действующих на i-юматериальную точку, f —сила, действующая на i-юматериальную точку со стороны j-й материальной точки, т.е. внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то есть векторы и коллинеарны.

Умножим обе части уравнения движения (В.6) векторно на радиус-век­тор

С учетом того, что

(так kак ,то), после суммирования по всем точкам системы получим

Величина^—импульс i-йматериаль-

ной точки) называется моментом импульсасистемы относительно некото­рой неподвижной точки, выбранной за начало координат;

момент внешних силотносительно той же точки; величинаявляется моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:

Заметим, что для центральных сил .Тогда с

учетом введенных выше обозначений уравнение (В.8) записывается в

следующем виде:

(B10)

Это уравнение называется уравнением моментов.

Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, то

М —проекцииLи М на осьг.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси zс угловой скоростью w скорость каждой материальной точки т, тела будет равна

где l —ее расстояние до оси z.Проекции моментов импульса

на ось zдля этих точек будут равныТак какw одинакова для всех точек твердого тела, то момент импульса всего тела относительно оси zравен

Величину (B13)

называют моментом инерции тела относительно закрепленной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси.

получаем основное уравнение вращатель­ного движениятела вокруг закрепленной осиz:

При непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда (В. 13)приводится к следующему виду:

Если удалось определить момент инерции jo относительно некоторой оси, проходящей через центр масс —точку с радиусом-вектором

(m—масса точки тела,r—ее радиус-вектор), то в

соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнерамомент инерции тела / относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находя­щейся на расстоянииаот нее, равен

(В. 17) гдет —масса тела.

ТеоремаГюнгенса-Штейнера. Вычисление мо­ментов инерции относительно оси во многих случаях облегчаеттеорема Гюйгенса, связывающая моменты инерции относительно двух параллель­ных осей, одна- из которых проходит через центр масс тела. ОсьАоВопусть будет осью, проходя­щей через центр масс. Радиус-вектор точки с массойmотсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикуляр­ной оси, обозначим R„а от осиАВ, параллельной осиАоВо,но не проходя­щей через центр масс, r. Проведем от осиАоВо косиАВ вэтой плос­кости вектора. Пусть Jо —момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,a J —относительно осиАВ,не проходящей через центр масс. По определению моментов инер­ции имеем

(32.11)

Видно, что r= -a+R;и, следовательно,Поэтому получаем

(32.12)

Учтем, что =0 по определению оси, проходящей через центр масс, а =m—масса тела.

Поэтому (32.12) принимает вид

Моменты инерции параллелепипеда со сторонами а, b и с относительно его главных осей.Выберем оси системы координат(х, у, z)совпадающими с главными центральными осями. Начало системы координат совпадает с центром параллелепипеда. Для определения мо­мента инерции относительно осиОхпредставим параллелепипед как совокупность тонких прямоу­гольных пластинок массойdm = dyи

толщиной dy.Момент инерции каждой такой

пластинки относительно оси Ох в соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнера равен

Момент инерции всего параллелепипеда по­лучим, интегрируя по всему объему Аналогично вычисляются моменты инерции относительно осей у и х: