- •Вопрос 2.
- •Билет 15.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 16.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 17.
- •Вопрос 1.
- •Билет 18.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 19. Вопрос 1. Связь момента импульса твёрдоготела с угловой скоростью еговращения. Тензор инерции. Главные и центральные оси инерции. Оси свободного вращения.
- •Вопрос 2. Колебания системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания(моды). Нормальные частоты. Примеры.
- •Билет 20. Вопрос 1. Закон сохранения момента импульса системы тел и его связь с изотропностью пространства. Примеры.
- •Вопрос 2. Уравнение бегущей монохроматической волны. Частота, период колебаний, фазоваяскорость, лдолина волны, волновое число. Волновой вектор. Уравнение бегущих цилиндрической и сферичческой волн.
- •Билет 21.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 22.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 23.
- •Вопрос 1.
- •Билет 24.
- •Вопрос 1.
- •Билет 25.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 26.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
Вопрос 2.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Процесс установления колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные кривые. Резонанс.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз.вынужденными.
mx``=-Dx-x`+F0cost
x``+2x`+02x=(F0/m)cost
Процесс установления колебаний
Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Он происходит потому, что с течением времени затухнут собственные колебания. Время установления колебаний определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия силы - = 1/. Даже если начальных колебаний не было, то все равно время установления будет тем же.
a) малые частоты: 0, 0А=(F0/m)sint, A(t)=( F0/m 02)sint =( F0/k) sint
б) большие частоты:0, Ä(F0/m)sint, А=(F0/m2)sin(t-)
в) резонанс:0: Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью перепишем уравнение в комплексном виде:
(12.29)
а его частное решение будем искать в виде
(t)=A. (12.30)
Реальная часть этого решения будет решением уравнения (12.27)(вместов 12.29.cos wt) Подставляя (12.30)в (12.29),получаем
Из условия стационарности решения (независимости его от времени) следует, что =, откуда
Aесть комплексное число, которое удобно представить в экспоненциальном видеA=x+iY=Ao.Тогда модульАбудетAо=, а его фазаtg=Y/X..Получаем
, tg= (2)/(02-2).
АЧХ и ФЧХ. Резонанс.
АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.
ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: 0
А=А0sin(0t+)
Ä+02A=0
2Á=(F0/m)sin0t
A=(F0/2m0)sin(t-/2)
A0=F0/2m0=( F0/m02)*(0/2)=(F0/k)*Q
tg = (2)/(02-2)
(0-)/ 1
(02-2)2 = (0-)2*(0+)2 ; 0+ ≈ 2ω ; 4γ2ω2 ≈ 4γ2ω02
– Формула Лоренца
∆ω = 2δ=ω0/Q- ширина резонансной кривой.
— дектремент затухания.
(ω02-2)1/2.
Билет 17.
Вопрос 1.
Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.В этом случае тело имеет три степени свободы – начала систем XYZ и x0 y0 z0 , введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:=(t),=(t),=(t).
Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некотjрый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Cледствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени общем случае меняется. Г М положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x0 y0 z0 ) – это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называютнеподвижным аксоидом. Г М положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, – это тоже коническая поверхность – подвижный аксоид. Линейная скорость произвольной точки твердого тела вокруг мгновенной оси:v=r, где r – радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x0 y0 z0 ), совмещенного с точкой закрепления.
Эти уравнения наз. уравнениями Эйлера. В ряде случаев движение с одной закр. точкой можно представить как суперпозицию 2-х вращений вокруг пересекающихся осей, угловые скорости складываются векторно.
Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно точки S: M=mglsin. Изменение момента импульса L определяется выражением: dL=Mdt. При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью. Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие>>и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа.
dL=L sindt, dL=L dt M= dL=L.
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.
mglsin=Jz sin =mgl/Jz