Билет 21.

Вопрос 1.

Уравнение движения ценра масс и уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс при плоском движении твёрдого тела. Примеры.

НЭТУ.

Вопрос 2.

Волновое уравнение и его решение. Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне. Скорость волны.

Волновое уравнение.

S(t,r)=S₀sin(t–);²S/t²=–²S; 

²S/x²+²S/y²+²S/z²=–S(k_x²+ k_y²+k_z²)=–Sk²

²S/(t²c²)=²S/x²+²S/y²+²S/z²

²S/t²=S/c², где S – оператор Лапласа. c=/k

Волновому уравнению также удовлетворяет уравнение любого импульса.

S=S(t–/c)

Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне.

1) Поперечные волны:

Пусть натяжение в струне Т. При малых деформациях изменением натяжения можно пренебречь. Пусть (х) - угол между силой Т и горизонталью, p – линейная плотность струны.

dx T(x+dx)



T(x)

Из закона Ньютона для элемента (x,x+dx):

dx²S/t²=T(sin_x+dx - sin_x )=T(tg_x+dx – tg_x)=T((x+dx)–(x))=T, где  – линейная плотность,  , S(t,x)=S(t–(x/c)).

2) Продольные волны в твёрдом теле:

(рисунок)

=dx’/dx, (>0 – сжатие,<0 – растяжение).

dm=dx, ( – площадь), dm(²S/t²)=F=F(x+x)–F(x)=E 

mdx(²S/t²)=E  (²S/t²)=(E/)(²S/x²)  c²=E/

Билет 22.

Вопрос 1.

Гироскопы. Прецессия гироскопа. Гироскопические силы. Потяние о нутационнм движении гироскопа.

Гироскоп– массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии.

Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то L=Jw=const и направление оси симметрии остаётся неизменным.

Прецессия гироскопа.(к оси гир. приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления).

Ось гироскопа перемещается не в направлении сил, а перпендикулярно к ней.

Элементарная теория гир.(мгн. угловая скорость вращения и мом. импульса направлены вдоль оси симметрии, >>).

Мом. импульса: L=J_z(J_z– мом. ин. относительно оси симметрии)

Рассмотрим гир, у которого точка опоры S не совпадает с центром масс О.

Мом силы тяжести: M=mglsin, где- угол между вертикалью и осью симметрии.

dL=M*dt, при этом и ось и L прецессируют вокруг вертикали с угл скоростью .

dL=L sin  dt dL= xL dt M=xL

Для силы тяжести:

mgl sin=J_zw sin

угл скорость прецессии =mgl/ J_zw.

Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол , то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими колебаниями вершины гироскопа – нутациями. Вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гороскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутации. Вершина конуса нутации, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутации совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутации определяется выражением

w_нут=L/J_sJ_zw/J_s

где J_zи J_s- моменты инерции гироскопа относительно его оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии,w- угловая скорость вращения вокруг оси симметрии.

Раскрутим гироскоп вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью . Момент импульса L получит при этом приращениеdL, которое должно быть обеспечено моментом сил М, приложенных к оси гироскопа. Момент М, в свою очередь, создан парой силF+F`, возникающих при вынужденном поаороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютора ось действует на раму с силами Ф + Ф`. Эти силы называются гироскопическими, они создают гироскопический момент М` . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса.

Гироскопический момент нетрудно рассчитать. Положим, согласно элементарной теории, что

L=Jw

Где J – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, а w- угловая скорость собственного вращения. Тогда момент внешних сил, действующих на ось, будет равен

M=xL=x(Jw)

Где – угловая скорость вынужденного поворота ( иногда говорят: вынужденной прецессии).Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент

M`=-M= (Jw)x

Направление гироскопических сил можно найти легко найти с помощью правилa, сформулированного Н.Е.Жуковским гироскопические силы стремятся совместить момент импульсаLгироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота.