Лекция 16 Потенциал поля. Условие потенциальности.

Определение. Поле, заданное на множестве, называется потенциальным, если существует скалярная поле, заданное на, дифференцируемое, такое, что.

То есть, если , то,,.

Теорема. Условие потенциальности.

Пусть задано непрерывное на векторное поле, тогда эквивалентны следующие утверждения:

1) - потенциально

2) , где- замкнутая, кусочно-гладкая.

3) , где- кусочно-гладкие, соединяющиеи- то есть криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути.

4) Если - односвязно,- непрерывно-дифференцируемое, то.

Доказывать будем по такой цепочке: .

Доказательство.

Нам дано

- все те же рассуждения можно провести и в обратную сторону.

.

Нам дано, что поле- потенциально, следовательно,,. Нужно доказать, что интеграл поот него не зависит, а зависит только от начального и конечного положения точек.

Введем параметризацию :,,, где.

- что и требовалось доказать.

Т.к. у нас значение интеграла не зависит от пути, тогда обозначим через. – Нам надо доказать, что это и есть потенциал.

Нам надо доказать, что , а остальное аналогично.

Т.к. А – внутренняя точка, значит найдется шар, который целиком лежит в этой области, значит мы можем приблизиться к этой точке по отрезку прямой, параллельной оси (см. рис). Получаем:

.

- что и требовалось доказать.

- потенциально, следовательно,. Нам надо доказать, что.

Так как - непрерывно дифференцируемо, а его компоненты – частные производные поля, то полеимеет непрерывные вторые частные производные, значит справедлива теорема о равенстве смешанных производных:. Если мы рассмотрим выражение для.

Нам дано, что на некотором множестве- односвязном.

Мы хотим доказать, что какой бы замкнутый контур мы не взяли в этом множестве, интеграл по этому контуру будет равен нулю. Какой бы контур мы не взяли, мы его можем стянуть в точку, находясь на этой поверхности.

Рассмотрим в качестве - поверхность, которая получается при стягивании контура в точку, тогда на.

Применим формулу Стокса.

Доказано полностью.

Если мы рассмотрим кольцо на плоскости, то это множество на плоскости односвязным не будет. А если мы возьмем в пространстве шар с вырезанным внутри шариком, то это множество будет уже односвязным. Если мы возьмем в этом диаметральном сечении контур, охватывающий этот шарик, мы не можем его стянуть в плоскости, но мы можем его стянуть по полусфере.

Обратим внимание, что эта теорема верна, если поле потенциально на всем односвязном множестве . Могут попадаться случаи, когда потенциальность нарушается, например, в начале координат, тогда мы рассматриваем все пространстве без начала координат. И путь, который мы выбираем при доказательствене должен проходить через начало координат. В общем случае, нужно следить за тем, чтобы не выходить за пределы того множества, в котором поле потенциально (см.рис).