Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

f x	0
0

Справедливость теоремы 1 следует из теоремы Ферма.

(3)

x	0

называется стационарной, если f x0 0 .

Замечания

1)	В точке экстремума функция может не быть дифференцируемой.
x0	0 — точка максимума, f							не имеет производной.
2)	Стационарная точка может не быть экстремальной. Например								f
всей прямой, но		f		0		0	.

Например для					f x x
	x		x
			3	строго возрастает на

30. Теорема 2. Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Пусть функция	f	определена и непрерывна в окрестности V0			точки
всех точках, кроме, может быть, точки x0 .
1) Пусть
		0 x x	, x	f x 0, x x		, x
		0	0		0	0

x

0

,

f

f

имеет производную во

x 0

Тогда

x0

2) Пусть

— точка строгого максимума.

0	x x	, x		f x 0, x x	, x		f x 0
	0	0		0	0

Тогда x0 — точка строгого минимума.

Доказательство (для минимума)

В условиях теоремы

f

строго убывает на x0

,

x0 ,

x x0 , x0

x , x

, x

x

, x

f

x

f

x

возрастает на

0

0

0

0

0 .

Получается, что

x

x

, x

x x

выполняется неравенство

0

0

0

строгого минимума.

f

fx

x f

x0

x0

,

,

x0

f

строго

— точка

40. Теорема 3. Достаточные условия экстремума в терминах второй производной

Пусть функция f определена и дифференцируема в окрестности V0 точки x0 , имеет вторую производную в точке x0 .

5

Пусть выполнено необходимое условие экстремума.

Тогда
если	f x0			0 , то	x0	— точка строгого минимума,
если	f		x0	0 , то	x0	— точка строгого максимума.

f x
0

0

.

Доказательство

Пусть

f

x

0

. Тогда для некоторого 0

неравенство

f

0

x

x

x

,

x

, x x

. Следовательно,

f

x

0

при

x

0

0

0

x

x

, x

,

x0

— точка строгого минимума по теореме 2.

0

0

x x0 x0

0

,

выполняется при всех

x0 ,

f x 0

при

Замечание

Если f		x0	0 , в точке	x0	функция					f
экстремума вовсе. Так, функция						f		x

может иметь максимум, минимум или не иметь

x	3	не имеет в нуле экстремума,	f		x		x	4	имеет

минимум, а

f x x4

— максимум.

§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции

Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке

Пусть функция		f определена и непрерывна на отрезке a, b , имеет производную во всех точках
интервала	a,	b	.

По II теореме Вейерштрасса функция f достигает наименьшего и наибольшего значений. Такие значения функция может принимать на одном из концов отрезка или во внутренней точке. Если наименьшее или наибольшее значение функция принимает во внутренней точке, то эта точка является стационарной. Мы получаем список "подозрительных точек" , включающий в себя концевые точки a, b и внутренние стационарные точки. Следует вычислить значения функции во всех точках списка, выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Решение вопроса существования и поиска наименьшего и наибольшего значений функции на промежутках других типов требует более детального исследования функции.

Примеры

1)	f

x sin	3	x cos	3	x,

x 0,

/

2

.

6

Производная f

x 3sin x cos x cos x sin x

обращается в 0 в точке

. "Подозрительный

4

список" состоит из 3 точек 0,

,

. Заметив, что f 0

f / 2 1 , а

f / 4 1/

2 ,

4

2

приходим к выводу, что наибольшее значение 1

функция принимает в точках 0,

, а

2

наименьшее значение 1/

2

— в точке

.

4

2) Среди прямоугольников заданной площади S

найдем прямоугольник наименьшего

периметра.

Если

x,

y — длины сторон прямоугольника, то xy S ,

p x y —полупериметр. Заметив,

что y

S

, получаем представление полупериметра в виде функции p x S , x 0,

x

x

Производная p

1

S

отрицательна на 0,

S и положительна на

S , , функция

x

2

убывает на 0,

S

и возрастает на

S , ; в точке

S достигается наименьшее значение.

Наименьшим периметром обладает квадрат.

§ 5. Выпуклые функции

10. Определение

f — функция на промежутке

.

Функция

f

называется выпуклой (выпуклой вниз), если выполняется неравенство Йенсена

1

2

t

1

tx

2

t

1

tf

2 .

x

, x

0, 1

f

1 t

x

1

f

x

x

Функция

f

называется строго выпуклой, если

1

2

1

2

t

t

1

2

t

1

tf

2 .

x , x

x

x

0, 1

f

1

x

tx

1

f

x

x

Функция

f

называется вогнутой (выпуклой вверх), если

1

2

t

t

1

2

1

tf

2

x , x

0, 1

f

1

x

tx

1 t

f

x

x

Предложение 1

f выпукла f

вогнута

(1)

(2)

20. Геометрический смысл выпуклости

7

Положим

y1

f x1 ,

y2

f

x2 .

Точка

N

x,

y

,

M

2

x 1 t x

tx

,

1

2

1 t y

ty

,

y

1

2

N

лежит на отрезке с концами

M

1

x

,

y

,

M

x , y

2

, а точка

M

1

1

2

2

M x,

f

x

— на графике

M

1

функции. Неравенство (1) можно

сейчас записать в виде

f

x

y

.

Последнее означает, что график располагается ниже любой своей хорды.

30. Непрерывность выпуклой функции

Предложение 2. Полезное неравенство

Пусть f — выпуклая функция на промежутке

,

x1, x2

,

x3

,

x1 x2 x3 .

Тогда

f

x

f x

f x f

x

f

x

f

x

2

1

3

1

3

2

x

x

x

x

x

x

2

1

3

1

3

2

Доказательство

Заметим, что

x

1 t

x

tx

, где

2

1

3

t

x

x

,

1 t

x

x

.

2

1

3

2

x

x

x

x

3

1

3

1

По неравенству Йенсена

2

1

tf

3 ,

f

x

1 t

f

x

x

т.е.

f

x2 f x1 t f

x3 f

x1

x

x

f

x3 f

x1 ,

2

1

x

x

3

1

(3)

(4)

(5)

8

	f x2	f x3 1 t f x1 f x3		x	x	f x1	f x3	.
				3	2
				x	x
				3	1

Из (5), (6) получается (3).

Теорема 1. Непрерывность выпуклой функции

Пусть

f

— выпуклая функция на промежутке

a,

b .

Тогда

f

непрерывна на интервале a,

b .

Доказательство

Пусть

x

a, b

.

0

Подберем

x

, x

2

a, b

так, чтобы x1

x0

x2 .

1

Если

x

x

,

x

, то

0

2

A

f x

f x

f

x f

x

f x

f

x

B

0

1

0

2

0

x

x

x x

x

x

0

1

0

2

0

A x x

f

x f

x

B x x

0

0

0

По теореме о милиционерах

f x f x0

0

x x0 0

Аналогично устанавливаем, что

f

x

f x0

,

x x 0

0

так что

f x f x0 ,

x x0

f непрерывна в точке x0 .

Замечание. На концах промежутка непрерывность может нарушаться. Например, функция

	0, x 0, 1 ,
f :	f x
	1, x 0, x 1

является выпуклой.

(6)

9

40. Условия выпуклости в терминах производных

Теорема1

Пусть	f	— дифференцируемая функция на промежутке .
Тогда	f	является выпуклой в том и только в том случае, если	f		возрастает.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f — выпуклая функция. Выберем x1, x2 ,

x1 x2 .

Для произвольного

x

x

, x

2

справедливо "полезное" неравенство

1

f x f

x

f

x

f

x

1

2

x x

x

x

1

2

Предельный переход при x x1 0

дает

x1

f

x

f

x

f

2

1

,

x

x

2

1

а при x x2 0 —

f x

f

x

x2 .

2

1

f

x

x

2

1

Из (8), (9) следует неравенство

f

1

2

,

x

f

x

f

возрастает.

2) Достаточность.

Пусть x1 x2 ,	t		0, 1	x	1 t		x	tx		x	, x	. Тогда
			,				1	2		1	2

1 t f x1 tf x2 f x 1 t f x1 f x t

1 t f x1 x tf x2 x 1 t t x2 x1

1 t t x2 x1 f f 0

f x2 f x

f 1 t t x2 x1 f

(здесь x1 , x , x, x2 )

(7)

(8)

(9)

10

Замечания

1) В теореме 2 предполагается дифференцируемость. Однако, из "полезного" неравенства

вытекает монотонность отношения	f x
		x
производные во всех точках, причем	f		x

производные могут быть бесконечными.

f x0

x
0			. Выпуклая функция имеет односторонние
f			x	. На концах промежутка односторонние

2) Строгая выпуклость равносильна строгому возрастанию.

Теорема 3.

Пусть f дважды дифференцируема на .

Тогда

f выпукла

f 0

Доказательство.

f

выпукла

f

возрастает

f

0

.

50. Условия выпуклости в терминах касательных Теорема 4.

Пусть	f	дифференцируема на .
Тогда	f	выпукла в том и только в том случае, если ее график лежит выше любой своей

касательной

Доказательство

1) Необходимость

Пусть x0 . Касательная — это график линейной функции

l x f x			f	x		x x
0					0			0
(касательной функции). Нужно показать, что
x	f		x		l		x	.
Для x x0 было получено неравенство
f x0	f x f x0								,
			x x0

из которого следует, что

11

Аналогично для

x

x0

f

		f x			f x
						0
получается
x		f x	f			x		,
		0
0		x		x
		0
		f x			f x
						0

f x0

f x0 f x0

x x0

x	x
0
x x
	0





l

f

l

x

x0

x

.

.

f

x

,

2) Достаточность

Пусть x1 x2 , тогда

f x		f	x
2			1

и

f x		f x	2
1

f x1

f x2

x	x
2	1

x	x
1	2

, f x1

f x
2

f x2 f x1

x2 x1
f x	f	x
2		1
x	x
2	1

,

так что

f x
1

f

x	2

.

f

возрастает, f — выпуклая функция.

60. Точки перегиба

Определение

Пусть f дифференцируема на

x0 называется точкой перегиба,

	,	0				.
a, b		x			a, b

если она отделяет участок выпуклости от участка вогнутости:

0

f

выпукла на

x	, x
0	0

и вогнута на

x	,
0

x
0

или

f

вогнута на

x	, x
0	0

и выпукла на

x	,
0

x0

.

Теорема 5

Пусть

f

дважды дифференцируема на

Тогда

1) Необходимое условие перегиба.

Если x0 — точка перегиба, то

a,

b	,

f

x	a,
0

x0 0 .

b

.

12

2) Достаточное условие перегиба.

Если	f		меняет знак при переходе через точку	x0	, то	x0	— точка перегиба.

70. Три неравенства

1) Предложение 3. Неравенство Йенсена (для нескольких точек).

Пусть	f	– выпуклая функция на ;	x1, x2 ,	, xn , 1, 2 ,	, n 0, 1 2	n	1.
Тогда
		f 1x1	n xn 1 f x1		n f xn .

(10)

Доказательство (по индукции).

Базу индукции обеспечивает определение выпуклой функции.

Проведем индукционный переход. Предположим, что неравенство справедливо для

Пусть x1, x2 ,

, xn , xn 1 ,

1, 2 ,

, n , n 1 0,

1 2

n n 1 1 .

n

точек.

Положим t 1

f x f
	1
f x
1	1

2

x1

n xn

n
		, 1
f x
	n		n
	x
n 1		n 1

	1	,
	t

,

f t

, n

x 1

n
t	,

t xn

x

1

x
1	1
	f	x
1		1

n

xn	. Получаем неравенства
		f x		f x	n 1	.
	n	n	n 1

Предложение 4 Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим

Пусть

Тогда

x	,
1

, xn

0 .

x			x		n x
1				n
		n			1

xn

.

(11)

Доказательство.

Применим неравенство Йенсена к логарифмической функции

f : f x ln x .

1

1

Поскольку f

x x

,

f

x x2

0 , то функция вогнута.

x1

xn

ln x1

ln xn

x , x ,

, x 0 ln

ln n x x

n

1

2

2

n

n

1

13

x					0	x			x	n	n x
	, x	,	, x			1
				2
1	2							n			1

Предложение 5. Неравенство Гельдера

Пусть a ,

, a ; b ,

, b 0;

p, q 0,

1

1

1.

1

n 1

n

p

q

Тогда

1/ p

1/ q

n

n

n

ak bk

p

q

.

ak

bk

k 1

k 1

k 1

xn

.

(12)

Доказательство

Применим неравенство Йенсена к степенной функции

f : f x x p

с

p

1

.

Поскольку		f		x		px		p1		,
Пусть	x1, x2 ,			,	xn		0		1,

Пологая здесь

f	x p
	,	,
2		n

	p 1		x p 2				0	, то функция выпукла.
0, 1			2					n		1, тогда
		n				p		n
											,
	k xk						k xk
									p
	k 1							k 1
									1/ p
	n	x					n	x
	k							p
			k		k k
	k 1				k 1

xk ak bk1 qb

q

n

k

bk

,

b bkq ,

b

k 1

получим

b

1/ p

1/ p

p1

1/ p

1/ p

1/q

n

n

q

n

n

n

n

k

p

p 1q

p

p

p

p

1/ q

p

q

a b

a

b

b

a

b

a

a

b

k

k

b

k

k

k

k

k

k

k 1

k 1

k 1

k 1

k 1

k 1

Упражнения

1) Произведение выпуклой функции на положительное число — выпуклая функция.

Произведение выпуклой функции на отрицательное число — вогнутая функция.

14