Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

2) Сумма двух выпуклых функций — выпуклая функция.

3) Если

F f

, а

— выпуклая,

f

— выпуклая, возрастающая, то

F

— выпуклая.

4) Если

f

строго возрастает и выпукла, то

g

f	1

вогнута.

5) Выпуклая функция, отличная от постоянной, не может достигать наибольшего значения во внутренней точке промежутка.

§ 6. Асимптоты графика функции

Определение.

Прямая l называется асимптотой графика бесконечность по , бесконечно мало,



, если расстояние от точки, уходящей на

M , l 0

M

M

Предложение 1.

Если	f x	, то прямая
		x a 0

l : x a

— вертикальная асимптота графика

функции

f

.

Предложение 2.

Пусть

f

— определена и непрерывна на

a,

.

Прямая

если

f

l:

x

yb

b

x

— горизонтальная асимптота графика

.

функции

f

в том и только в том случае,

Предложение 3.

Пусть f

Прямая

если

— определена и непрерывна на a, .
l : y kx b	— наклонная асимптота графика		функции f в том и только в том случае,
	k lim	f x
		x
	x
	b lim	f x kx
	x

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть прямая l : y kx b — наклонная асимптота, тогда

f x kx b

0 x

,

15

fx k b

xx

0 x

,

	f x	k
	x

0 x

,

2) Достаточность. Если

наклонная асимптота.

	f x kx	b .
		x
b lim	f x kx , то	f x kx b	0	, прямая	l : y kx b —
x			x

Замечание

Горизонтальная асимптота — частный случай наклонной. Асимптота единственна. Если мы нашли горизонтальную асимптоту, то искать наклонную не следует.

16

Примеры.

1)	f x
2)	f x
3)	f x

	y x	1
		2

Поскольку

	x		1	,		x 0				— вертикальная асимптота, y x																								— наклонная асимптота.
			x
	x 1					4
						, x			1		— вертикальная асимптота,																					y 1			— горизонтальная асимптота.
			1
	x
		x2 x 1
						f x												1			1							1			1			1					1				1
														x	1				x		x	2	x 1					2			x			x	2						2			2
									x																													8x				x
					x				1		1					3					1					x			1				3				1			.
																	2						2
											2x				8x														2			8x
																					x																x
	— наклонная асимптота.
	f x									1						3				1				~		3	0 , то график приближается к асимптоте сверху.
					x					2						8x
												x								x					8x

§ 7. Построение графика функции

I. Область определения.

Четность. Периодичность. Непрерывность.

Пределы. Асимптоты.

II. Производная.

Монотонность. Экстремумы.

III. Вторая производная.

Выпуклость. Перегибы.

Пример

f

f x		x 1
	x

x	3	x	2	x 3

1 1

xx

,

f x	x 2
	(x 3)	2/3	1/3
			x

			2
	f		x (x 3)5/3 x4/3		,

17

Глава VII. Элементы дифференциальной геометрии

§ 1. Дифференцирование вектор-функций

10. Понятие вектор-функции. Координатные функции.

Если каждому t

по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор r t

говорят, что на промежутке	определена вектор-функция	r .
Если r — вектор-функция на промежутке , то при каждом t			вектор r t можно
разложить по базису i , j , k	и записать его в виде
	r t t i t j t k .

Функции , , называются координатными функциями вектор-функции r .

, то

20. Предел и непрерывность вектор-функции.

Определение
Вектор-функция	r	имеет предел a при t t0 , если
		0 0 0 t t0					r t a ,
т.е. если
			r t a		0 .
				t t
					0
Предложение 1.
Пусть r — вектор функция с координатными функциями										, , , a
координатами ax , ay , az .
Тогда
						a			,
				t
					t t		x
						0
		r t a				a				,
				t				y
		t t				t t
			0				0
				t		a		z
					t t0
Определение.
Вектор-функция	r	называется непрерывной в точке t0					, если
		r t r t0 .
			t t
			0

— вектор с

Предложение 2.

Для непрерывности вектор-функции необходима и достаточна непрерывность ее координатных функций.

Предложение 3.

Пусть r1, r2 — вектор-функции, — числовая функция. Тогда

1)

1

2) Если вектор-функции

lim r

t

r

t lim r

t lim r

t ,

t t

1

2

t t

1

t t

2

0

0

0

lim t r t lim t lim r

t ,

t t

1

t t

t

t

1

0

0

0

1

1

2

2

lim

r

t

, r

t

lim r

t

,

lim r

t

,

t t

0

t t

0

t t

0

lim r

t

r

t

lim r

t lim r

t

t t

1

2

t t

1

t t

2

0

0

0

r1, r2

и функция

непрерывны, то непрерывны и функции

r1 r2 , r1 ,

r1 ,

r2 ,

r1 r2 .

30. Производная вектор-функции

Определение

Предел

r t		lim	r t r t		0
	0		t t
		0
		t t		0

называется производной вектор-функции

r

в точке

t	0

.

Вектор-функция, имеющая производную называется дифференцируемой. Линейная функция

dr t	0	: dr t	0	t r t	0	t

называется дифференциалом.

Приращение дифференцируемой функции записывается в виде

								r t t r t r t t t
Предложение 4.
Если вектор-функции				r1	,	r2		и функция	дифференцируемы, то дифференцируемы и
r r		, r ,	r , r			,	r r
функции 1	2	1	1	2			1	2 , при этом

r1 r2 r1 r2 ,

r1 r1 r1 ,

r1 , r2 r1 , r2 r1 , r2 ,

r1 r r1 r r1 r2

40. Дифференцирование сложной функции
Если функции r , дифференцируемы, то	r	дифференцируема,
u r u u

50. Теорема Лагранжа

Теорема 1.

Пусть вектор-функция r

дифференцируема на отрезке

Тогда найдется a, b , такое что

r b r a r b

a,

a

b

.

.

2

Доказательство.

Положим	p r			b		r		a		.
Неравенство очевидно, если p 0 .
В случае	p 0		положим
										: t r t
По теореме Лагранжа
										a, b b a
т.е.							p			p, p r , p b
									2
Деление на		p 0				дает требуемое неравенство.

, p . a r



b

a	,
p b a

.

60. Формула Тейлора Теорема 2.

	Если вектор-функция r				имеет в точке
	r t r t		r t		t t			1	r
		0		0		0		2!

t	0

t	0

производные до

n -го порядка включительно, то

t t0

2

1

r

n

t0

t t0

n

t t0

n

.

n!

§ 2 Путь в пространстве и на плоскости

10. Введение системы координат в геометрическом пространстве приводит к

представлению геометрического пространства в виде совокупности																																									3	упорядоченных
троек вещественных чисел. Плоскость представляется совокупностью																																										2	упорядоченных
пар вещественных чисел.
Для вычисления расстояния между точками M1 x1 , y1 ,																												z1 ,				M 2 x2 ,								y2 ,		z2 имеем формулу
M			,	M						x			x					2		y						y			2	z								z	2
		1				2						2					1							2			1								2			1
С каждой точкой M связывают ее радиус-вектор																							r OM							. Отметим, что
M , M			2	M M							2	r					r			, где r OM													1	,				r OM			2	.
	1								1							2			1							1												2
Важнейшими свойствами расстояния являются
1) положительность																						2																		;
		1			2												1									0										1		M	2
		M	,	M						0;							M		,	M												M
2) симметрия
				M1 , M 2 M 2 , M1 0 ;
3) неравенство треугольника				1						2							1				3									3							2 .
				M			,		M							M		,		M								M			, M
20. Путь в пространстве (на плоскости) — это непрерывное отображение
										: a, b											3					2

отрезка в пространство (на плоскость).
Отображение называется непрерывным в точке t0	, если

0 0 t a, b t t0 t , t0 .

3

Пусть t a, b , M

t ,

M x, y,

z . Определим на отрезке a, b функции

, ,

,

полагая

t

x,

t

y,

t

z

. Эти функции называются координатными функциями

отображения .

Наоборот, имея функции , ,

, можно построить соответствующий путь .

Предложение 1.

Для непрерывности отображения

координатных функций , ,

.

необходима и достаточна непрерывность

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть

непрерывно Непрерывность , ,

следует из неравенства

0

0

0

0

t t

t t

2

t t

2

t t

2 .

2) Достаточность. Пусть

, ,

непрерывны в точке

t

0

a, b

.

Возьмем произвольное

0

, подберем такое

0 , что

t t0

t t0

,

t t0

,

t t0

.

3

3

3

Если

t t

0

, то

t

t0

t

t0

t

t0

.

t ,

t0 t t0

2

2

2

С путем

свяжем вектор-функцию, которая имеет те же координатные функции , , ,

что и путь

. Непрерывность

и соответствующей вектор-функции равносильны.

30. Пусть

—

:

a, b

3

некоторый путь.

Образ

a, b

называется носителем пути.

Точки

A

b

,

B

b

называются началом и концом пути.

Если начало и конец совпадают (

b

b

), путь называется замкнутым.

Если

инъективно, путь называется простым.

Если

— замкнутый путь и

1

2

,

1

2

1

2

t

t

t

t

t , t

a, b

называется простым замкнутым путем.

Если

:

a, b

3

— путь, то путь

,

a b

: a, b

3

называется встречным.

Пути : a,

b

3

, :

a, b

3

называются эквивалентными, если существует такая

непрерывная и строго возрастающая биекция :

a, b

a, b , что

.

Совокупность эквивалентных путей называется кривой.

Впрочем, иногда кривой называют просто носитель пути.

Имея пути 1

: a, b

3 , 2

: b, c

3 , для которых 1 b 2 b , можно построить их

произведение (соединение)

4

С функцией

f

на отрезке

: a,a, b

					1	t , t a, b ,
c		,
	3		t			t , t b, c .
					2
и ее графиком				связывают путь

: x t,

y f t .

§ 3 Гладкий путь

Определение

Путь	называется гладким, если его координатные функции		, ,				непрерывно
						) и
дифференцируемы (имеют непрерывные производные , ,

t

2

t

2

t

2

t

0

,

т.е. непрерывно дифференцируема соответствующая вектор-функция r

и r

обращается в нуль.

Для гладких путей эквивалентность понимают в гладком смысле:

t 0 .

,

непрерывно дифференцируема, t

Пусть

— гладкий путь, r

— соответствующая вектор функция.

Возьмем t0

a,

b , положим M 0 t0

.

Вектор

a r

t

0

называется касательным вектором пути .

Прямая l0 , проходящая через точку

M0

, имеющая направляющий вектор

a

0

называется касательной прямой пути

Пусть t t0

,

M

t

, l

— прямая, проходящая через точки M0 ,

M

r t r t

t0 0

(

;

t t

0

0

0

t t

	нигде не

r		0 ,
	t

	для t , близких к t0					имеем M M0 ).	r t r t
	Прямая l имеет направляющий вектор a t								0		a0 .
							t t
											0
								0			t t
	Для угла			t	между прямыми l, l0 (и векторами a, a0 ) имеем
						cos t 1, t 0 .
						t t	t t
						0		0
	Считая, что угол					выполняет роль расстояния между прямыми, мы скажем, что l t
											t t
											0

Касательная l0 — предельное положение секущей l .

Параметрические уравнения касательной можно записать в векторной r r0 r t0 h

l0

.

и координатной

x x0 t0 h,
	t0 h,
y y0		h
	t0 h,
z z0

формах.

5

§ 4 Длина пути Определение

Пусть : a, b

3

2

— путь в пространстве (на плоскости).

Совокупность точек : a t0 t1

tn

b называется разбиением отрезка a, b ;

k

t

k 1

, t

k — отрезки разбиения, tk

tk tk 1 — длины этих отрезков, max tk

—

k

ранг (мелкость) разбиения.

Положим M k tk

(для k 0, 1,

, n ), рассмотрим ломаную

с вершинами в точках

n

Mk

. Эта ломаная имеет длину S M k 1M k .

k 1

Если длины ломаных, соответствующих всевозможным разбиениям, образуют

ограниченное множество, то путь	называется спрямляемым. Верхняя грань
множества называется длиной пути,
	S sup S .

Неспрямляемому пути можно приписать длину .

S

этого

Упражнение

Эквивалентные пути, встречные пути имеют одинаковыe длины.

Теорема 1.

Гладкий путь спрямляем.

Доказательство.

Пусть	— гладкий путь, r
непрерывна на отрезке		a,

— соответствующая вектор-функция. Тогда функция	r
b
. По теореме Вейерштрасса она ограничена, положим

		t .
M max r
	t
По теореме Лагранжа
		t , t
Если	— некоторое разбиение,
		n
		S r tk r
		k 1

a, b	r t		r t		M t		t		.
то длина соответствующей ломаной
	n				n
tk 1 M tk tk 1 M tk M b a .
	k 1				k 1

Видим, что путь спрямляем и его длина

S M

Пусть

: a, b	3

S — его длина.

		b a	.

— гладкий путь,

Для a a	b	b обозначим через a b		часть пути , соответствующую
1	1	1	1
параметрическому отрезку a1 , b1 , a1b1				| a1 , b1 , а через La1b1 — длину этой части.

Полученная "функция отрезка" аддитивна:

La1b1 Lb1c1 La1c1 .

6

Теперь рассмотрим функцию l на отрезке a, b :

l t La,t — длина пути a t

Теорема 2.

Функция l непрерывно дифференцируема,

l r .

Пройденный путь имеет скорость своей производной.

| a, t

.

Доказательство.

Пусть t0 a,

b

. Возьмем произвольное t t0 ,

b

. Положим

u .

M t max r

u t , t

0

Непрерывность

r

влечет соотношение

r

t0 .

M t

t t 0

0

В теореме 1 установлена оценка

0

0 .

l

M

t t

l

t

t

t

С другой стороны, длина t

t

не может быть меньше длины прямолинейного отрезка с

0

концами

t

0

,

t

;

l t l t

0

r t

r t

0

Таким образом,

r t r t

0

l t l t

0

M

t

.

t t

0

t t

0

Поскольку

r t

r t

0

r

t0 , то по теореме о милиционерах

t

t

0

t t0

l t l t0

t0

,

l

t

r t

.

0

0

t t0

r

t

t0 0

t0 .

Аналогично устанавливается, что l t0

r

Пример.

Для параметризации окружности

x R cos t,

R sin t

y

имеем t R sin t, t R cos t,

r t

R . По теореме 2

l t R, l t R t .

Длина окружности оказывается равной

.

l

2

2 R

Установленное в теореме 2 равенство

t l t r t

в координатах примет вид

t l 2 t 2 t 2 t 2 t .

7