Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

Умножение на t	2	дает равенство

	ds		2
	для дифференциалов функций
	x
	y
		z

dx	2	dy		2
t ,
t ,			и s
t

dz2

l t

.

Естественная параметризация

Пусть

	: a, b	3	— гладкий путь,
S — его длина.						; имеет множество
Функция l	непрерывно дифференцируема, строго возрастает на				a, b
значений	0, S . На отрезке 0, S определим обратную функцию l 1 , строго
возрастающую и непрерывно дифференцируемую.
Путь	~ называется естественной параметризацией кривой					. Говорят, что путь
получен переходом к естественному параметру — длине дуги.
Если параметризация использует естественный параметр, то
	s 0, S l s s.

Дифференцирование по естественному параметру традиционно обозначают точкой. Имеют место равенства

l s 1,

r s 1 .

Замечание. Часто естественным называют и параметр t , отличающийся от длины дуги постоянным слагаемым, s t t0 .

s

§ 5. Кривизна плоской кривой

10. Определение

	Пусть : 0, S	2 — плоский гладкий путь с естественной параметризацией, r —
	соответствующая вектор-функция.
	Выберем s0 0, S , рассмотрим единичный касательный вектор t		r s0	.
	Через n обозначим единичный вектор, полученный поворотом t		на угол		против
				2
	часовой стрелки.
	Предположим еще, что r дважды непрерывно дифференцируема.
	Поскольку	s r s 1, r , r 1,
	то	r , r r , r 0, r , r 0 ,
	получается, что r	ортогонален r , r коллинеарен вектору n , r k *n .

Число k * называется кривизной плоской кривой.

Кривизна k * — это мгновенная скорость вращения единичного касательного вектора t s .

8

Примеры

1) Прямолинейный путь

Здесь касательный вектор

кривизну k* 0 . 2) Окружность

радиуса R .

t

   

x x

ps,

0

2

2

y y

qs,

p

q

0

имеет координаты

p,

q

,

x R cos

s

,

R

s

y R sin

R

x sin

s

,

x

1

cos

s

,

R

R

R

s

1

s

y cos

,

y

sin

,

R

R

R

1 r 0

k*

. Путь имеет нулевую

	1	.
	R

Для произвольной кривой число

	R	1
		k *

называется радиусом кривизны.

20. Формулы для вычисления кривизны

Пусть — путь на плоскости с естественной параметризацией,

x	s ,
y	s		—
его параметрические уравнения.
Тогда					.	(1)
k * r		2		2
С другой стороны,
r k *n, k* r , n ,
r i j,	n i			j ,
k* .						(2)

Кривизной пути (кривой), отнесенного к произвольному параметру, называется кривизна эквивалентного пути, отнесенного к естественному параметру.

Пусть

	x t ,
				— путь на плоскости,
	: y t
x s ,
	— эквивалентная естественная параметризация.
:
y s
Тогда
			k* yx xy ,
	x					xs	2
			xs ,	x				xs ,
	y		ys ,	y ys				ys ,

9

y x x y yxs

xys s xys

xys s

3

3

3

3

k * x

2

y

2

3/ 2

,

yx xy s

k * s

k*

y x x y

3/ 2

3/ 2 .

x

y

2

2

2

2

Если

— график функции

f , то кривизна

k*

f x

0

3/ 2 .

f

x

1

2

0

Пример

Рассмотрим астроиду

x

y

a

.

2/3

2/3

2/3

1/3

x

1/3

y

1/3

y

0, y

y

,

x

x

2/3

y

2/3

a

2/3

1 y

2

;

x

2/3

x

2/3

1

x

4/3

1

y

4/3

y

2

y

1/3

y

0

,

3

3

y

2/3

x

2/3

y

2/3

a

2/3

3y

1/3

y

x

4/3

,

x

2/3

x

4/3

y

2/3

x

4/3

y

2/3

a

2/3

y

,

4/3

1/3

3x

y

1

1/3

k*

1/3

,

R

3 axy .

3

axy

30. Формулы Френе на плоскости

Пусть

— путь на плоскости с естественной параметризацией.

Векторы t , n образуют базис — сопровождающий базис Френе.

Имеют место формулы Френе

k * n,

t

k * t .

n

Действительно, первая формула — определение кривизны. Дифференцирование соотношения

	t , n 0
дает	t , n t , n 0, k * t ,	n 0, n k *t .

40. Приближение плоского пути прямой и окружностью

Для плоского пути

		x s ,
: 0, S	2		r i j
		y s ,

(3)

(4)

(5)

10

рассмотрим касательный путь

1	с вектор-функцией

r1

r0

t	0

s

s0

.

( r0

r s0 , t0

r s0 ).

Поскольку r1 s0 r s0 ,

r1 s0 r s0 , то в силу формулы Тейлора

1

0 .

r

s

r

s

s s

Если путь имеет ненулевую кривизну, можно рассмотреть окружность радиуса R

1

,

k *

касающуюся касательной прямой в точке M 0	s0 , с тем же направлением выпуклости,
что и . Для соответствующей вектор функции r2			справедливы равенства
r2 s0 r s0 , r2 s0 r s0 , r2 s0 r s0 , поэтому
2			0
r s r s			s s
				2

(Для определенности считаем k* 0 .

Центр окружности находится в точке с радиус-вектором

		r* r	Rn .
		0	0
Естественная параметризация	2	этой окружности дается формулами

x x * R cos

s s

0

0

,

R

s s

y y * R sin

0

0

,

R

здесь 0

подобрано так, чтобы

2

s

s

, т.е. так, что

0

0

n

cos

i

sin

0

j, t

0

sin

i

cos

0

0

0

Для пути

2

sin

s s

0

,

1

s s

x

0

x

cos

0

R

R

R

s s

1

s s

y

cos

0

y

sin

R

R

R

0 j .

0 ,

0

Следовательно,

r2 s0 r0 r s0 ,

r2 s0 t0 r s0 , ) r2 s0 k * n0 r s0 .

50. Путь на плоскости, имеющий нулевую кривизну, прямолинеен.

Действительно,

0, const, const, p, q,

x s x0 ps,y s y0 qs.

p	2	q	2

1

,

Путь на плоскости, имеющий постоянную кривизну k* R1 , является параметризацией

окружности радиуса R .

Действительно,

11

1

s sin s ,

s cos a

s s ,

,

2

2

1,

R

s cos a s ,

s sin

s s ,

s sin

s s

,

x s x

R cos

s s

,

0

0

0

R

R

,

1

s s

0

,

,

R

R

s s

s s

s cos

y s y

R sin

0

,

0

.

R

0

R

§ 6 Кривизна и кручение кривой в пространстве

10. Определение.

Пусть — гладкий путь в пространстве с естественной параметризацией, M 0

s ,

t s — единичный касательный вектор.

1) Число k

t s

называется кривизной пути.

t

Если k 0 , положим n

. Вектор n называется главной нормалью пути .

k

2) Плоскость, проходящая через точку M0 и параллельная векторам t ,

n , называется

соприкасающейся плоскостью пути . Уравнение соприкасающейся плоскости можно

записать в виде							,
			0			0
		r r , t , n
	x x		y y		z z		0 0 .
	0			0
Вектор b t n называется бинормалью.
Тройка векторов t , n, b	называется сопровождающим базисом Френе.
По определению t kn	. Далее,			t b,
	b, t 0, b,						t 0 .
Но b, t 0 , так что и b, t 0 , b коллинеарен вектору								n ,
			b n			.
3) Число называется кручением пути			в точке M0 .
Кручение — скорость вращения бинормали.
Имеют место формулы Френе
		t	kn
		n kt b
		b n

Первая и третья формулы составляют определения кривизны и кручения. Поскольку n 1 , то n n , n t b . Дифференцируя равенство

t , n 0 ,

получаем

t , n t , n 0 , k 0, k .

(1)

12

Точно так же убеждаемся в том, что .

20. Вычисление кривизны и кручения.

Для естественной параметризации

k

t

r

,

k

2

2

2

.

Для произвольной параметризации

r rs ,

rs ,

r rs

2

r r r rs

3

,

r r r r

3

r

s

3

k r

3

.

s

Получаем формулы

k

r

r

,

r

3

2

2

2

k

.

2

2

2

3/ 2

Перейдем к вычислению кручения.

Для естественной параметризации

r t ,

r t

kn,

r kn kn kn k kt b ,

r , r ,

r k ,

2

r ,

r ,

r

k

2 .

Для произвольной параметризации

r rs ,

r rs 2 rs ,

r rs 3

3rs s rs ,

r , r , r r , r ,

r s 6

k 2

r 6

r r 2

r ,

r

, r

30. Если путь проходит в плоскости

r r

2

, то t и

n

параллельны этой плоскости, b ,

b const, b 0, 0

Наоборот, если 0 , то кривая лежит в некоторой плоскости.

Доказательство.

b 0, b const b0 . Кривая лежит в плоскости r r0 , b0 0 , поскольку

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

13

	0	0					0					0
	r s r	, b			r s , b						t ,	b	0,
	0	0						s			0	0				0	0	0
	r s r	, b	const,				r			r		, b				r s	r	, b		0.

40. Пример

Винтовая линия

x a cos t,

y a sin t, z bt .

Здесь

x a sin t,

y a cos t, z b;

r

a

2

b

2

Естественная параметризация дается формулами

x a cos

s

,

y a sin

s

, z b

s

.

c

c

c

Вычислив производные

x

a

sin

s

,

y

a

cos

s

,

z

b

;

c

c

c

c

c

x

a

cos

s

, y

a

sin

s

,

z 0,

2

2

c

c

c

c

приходим к заключению, что кривизна

k

a

c

2 .

Далее,

s

s

n cos

,

sin

, 0

,

c

c

b t n, b

b

sin

s

,

b

cos

s

,

a

c

c

c

c

c

b

s

b

s

, b

b

b

cos

,

sin

, 0

n.

2

c

c

2

c

c

2

c

Получается, что кручение

b

c

2 .

c

.

14