Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

Доказательство.

x x x

y y y

x y

x y	x
8) x y	x

x y x y y

y

Доказательство. x x y y x y y , x y x y

Аналогично,

y

x

x x y .

y x y

Предложение

Множество E	Ограничено в том и только в том случае, если
	M x E x M .

Действительно, ограниченность по определению означает, что

m, M x E m x M .

Предположив ограниченность множества E , положим M1 max m , M . Тогда

x E x M M M1; x m, x m m M1.

Поэтому	x E	x M	1 .

Наоборот, если

x E

x M

, то x E M x M .

§ 7. Геометрическая интерпретация

Множество изображается направленной прямой (осью) с отмеченными точками 0, 1.

11

§ 8. Натуральные числа

10. Определение.

Множество X

, X

называется индуктивным, еслиx x X x 1 X

Определение.

Множество

натуральных чисел — наименьшее индуктивное множество, содержащее

1

.

20. Принцип математической индукции

	E , 1 E		E
	n n E n	1 E

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Предложение 1

Пусть

Тогда

a	,
1

, an

0 .

						a1	an
	n a		a	n				(1)
	1						n

Равенство имеет место в том и только в том случае, если все числа равны между собой.

Начнем с доказательства вспомогательного утверждения.

Предложение 2

Пусть b1, ,bn 0, b1	bn 1.
Тогда

b1

bn

n .

Равенство имеет место в том и только в том случае, если все числа равны между собой.

(2)

Доказательство

Если все числа равны между собой, т.е. b1 что bn 1 1, bn 1.

bn

1

, утверждение очевидно. Будем считать,

База индукции. b1 1, b2 1, 1 b1 b2 1 0 ,	b2 b1 1 b1b2 0 , b1 b2 1 b1b2 2 .
Индукционный переход

12

Предположим справедливость неравенства для

b1,

,bn 1,bnbn 1

. Получим неравенство b1

n bn

чисел и применим его к числам

1 bnbn 1 n . Сложив его с неравенством

b b		b b
n	n 1	n n 1

1, получим требуемое.

Для доказательства неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положим

			a
	bk		k	.
			n a
				a
			1	n

По доказанному b1

bn

n , т.е.

a	a	n,	a		a	n a
1	n		1		n
n a	a			n		1
1	n

30. Свойства натуральных чисел.

1)

m, n

m n, mn .

an

.

2) 1 — наименьшее натуральное число.
Действительно, луч 1, содержит 1		и является индуктивным, поэтому
n	n 1.
3) n	n 1 n 1 .

1,

,

4)n n, n 1 .

5)Всякое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент.

6) Всякое ограниченное сверху множество натуральных чисел имеет наибольший элемент.

7) Принцип Архимеда

0

не ограничено

сверху

.

В частности, — неограниченное множество.

Доказательство. Допустим противное, положим M sup n M . В таком случае

			,
	n 1	M
что противоречит определению M .

. Тогда найдется такое

n

, что

Следствия.

13

1)

0 n

	1
	n

.

2)

n

	0 x	1
		n

x

0

.

§ 8. Целые числа

0

— множество целых чисел, элементы множества называются целыми

числами.

1) В множестве целых чисел выполнимы операции сложения, умножения, перехода к противоположному.

2)	n

n,

n 1

.

3) Всякое ограниченное сверху множество целых чисел имеет наибольший элемент.

Всякое ограниченное снизу множество целых чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство. Пусть E	ограничено сверху. Положим M sup E . Теперь
x E x M 1. Найденное число x — наибольшее в E (если в E найдется число
y M и y x 1 в противоречие со свойством 2).

y

x

, то

4) Пусть

Тогда	k

0, x k

. x k

1

.

Доказательство. По принципу Архимеда найдется

n

n

x

. Среди таких чисел выберем

наименьшее число m	и положим k m 1	, тогда k x k
Понятно, что число k	единственно, промежутки k, k 1

все множество вещественных чисел.
Особый интерес проведенное построение имеет при	1 .

1 .

не пересекаются и покрывают

x

!k Z

k

x k

1

.

Найденное целое число часть числа x .

k

называется целой частью числа

x

, k x ; x x x — дробная

§ 9. Рациональные числа

					m
10.	x	| m	n	x		—
					n
множество рациональных чисел.

14

20 Теорема

Множество рациональных чисел всюду плотно в чисел содержит рациональные числа,

,

, Всякий интервал в множестве вещественных

			.
q	q	,

Доказательство. Положим 0

. По принципу Архимеда n

	k	k		k 1	.
		n		n

1n . Далее,

Полагая

m k

1

, получаем искомое число

	q	m
		n

(

q ,

	q	k		1		1
		n		n		n

).

30.

Каждое вещественное число с любой степенью точности можно приблизить рациональным числом. Приближение можно построить с помощью десятичных дробей. Ограничимся

рассмотрением чисел

x 0, 1 . Среди дробей 0.1, 0.2,

, 0.9

выберем наибольшую 0.1

,

меньшую

x

, положим

x1

0.1

. Среди дробей

0. 0, 0. 1,
1	1

0.19

выберем наибольшую

0.	2
1

, меньшую

x

, положим

x2

0.	2
1

. Продолжая этот процесс получим

последовательность

x	0.	2
n	1

	n

десятичных приближений вещественного числа

x

, при

всяком

n

справедливо неравенство

0 x x		1
			n
n		10

. Вещественное число оказалось

представленным бесконечной десятичной дробью. Между вещественными числами и бесконечными десятичными дробями установлено взаимно однозначное соответствие.

§ 10. Мощность множества

10. Определение

Пусть X , Y — множества.

Если существует биекция

f : X Y

то мы скажем, что эти множества равномощны (имеют одинаковую мощность) и напишем

card X cardY	(	X	Y , X

Если существует инъекция

f : X Y

~ Y

)

то мы скажем, что эти мощность множества X не превосходит мощности множества Y ,

15

X Y .

Любые два множества сравнимы по мощности. Если

X , Y

X

Y

.

X

Y

X Y

X

Y

При этом запись

означает, что

и

— множества, то

.

X Y

или

20. Теорема 1. (теорема Шредера-Бернштейна)

Если

X

Y

и

X Y

, то

X

Y

.

Теорему примем без доказательства.

30. Теорема 2. (теорема Кантора).

Пусть X

Тогда

— некоторое множество,	P		X	— множество подмножеств множества X ,
		Y P				X			Y X	.

P X X .

Доказательство.

Допустим,

f : X P X

Рассмотрим множество

X	0	x X

Поскольку

f

— сюръекция, то

x X	f
0

Принадлежит ли x0 множеству X 0 ?

— сюръекция.

| x f		x	.

	0	X	0 .
	x

Предположение x0 X		0 приводит к выводу о том, что				x f	x	X	0	. Получается
						0	0
противоречие, которое заставляет нас отвергнуть предположение.
Но и предположение	x	X	0	f	x
	0				0 ведет к противоречию, поскольку влечет за собой условие

x0 X 0 .

Сказанное означает, что отвергнуть мы должны условие сюръективности отображения f .

16

Т.2 показывает, что не существует множества наибольшей мощности, Множество подмножеств множества X , имеет большую мощность, чем множество X ,

P X

Мощность множества

P X

P X

обозначают через

2

X
X	.

.

40. Конечные множества

Множество

n	k	| k n 1, 2,	, n

называется отрезком натурального ряда.

Если

X ~

n

, то множество X называется конечным.

Можно показать, что различные отрезки натурального ряда

X ~	n , то n называется числом элементов множества	X
определено однозначно.

не равномощны между собой. Если

,	X	n	. Число элементов

Пустое множество

конечно,

X

0

.

Предложение

X

конечно

X

не равномощно своей правильной части.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Так, множество	натуральных чисел, бесконечно, функция
	f : n n 1
является биекцией	на его правильную часть \ 1 .

50. Счетные множества

Определение

Множество X называется счетным, если X ~ .

Если множество X счетно, то пишут X 0 (алеф- 0 ).

Если	X		, множество	X	называется не более чем счетным.
		0
Если	X 0 , множество X				называется несчетным.

17

Если множество	X	бесконечно, то для любого натурального n можно найти n различных
элементов x1, x2	,	, xn множества X , существует последовательность с попарно различными

членами, состоящая из элементов множества X . Таким образом, всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество. Счетное множество — наименьшее среди бесконечных множеств.

Предложение

~

Доказательство

.

Биекцию

f :

можно определить формулами

f		n				2n 1			для n 0	,
	f		n				2n	для n 0 .

Предложение

Объединение конечного числа счетных множеств счетно.

Предложение

2	~

Доказательство

Нумерацию элементов

2

можно провести по следующей схеме

1	3		6	10
1, 1	1, 2		1, 3	1, 4
2	5		9
2, 1	2, 2		2, 3
4	8
3, 1	3,	2
7
4, 1

Предложение

Множество рациональных чисел счетно.

18

Доказательство

Каждое

q

единственным образом представляется несократимой дробью

	q	m	, m	, n
		n

.

Тем самым построено взаимно однозначное отображение в

. Получаем неравенство

Поскольку еще

	,

, то

						2	.
				, множество рациональных чисел счетно.

60. Мощность континуума
Предложение
				~ P	.
Доказательство.
1) Поставив каждому x	в соответствие подмножество					, x
чисел, мы получаем инъекцию		P		. Таким образом,
				P	P

множества рациональных

2) Для того чтобы убедиться в справедливости противоположного неравенства, следует взаимно

однозначно отобразить	P		в .

Пусть

Y

, положим

	a		1, n Y ,
	n
			0, n Y ,

а в качестве

y

f

Y

возьмем вещественное число

y 0. 1 2 3

Проведенное построение дает право сказать, что

P

.

(

y			a		a
			1		2
	n		10		10	2

).

Определение

Если X ~ P

~ , то X

имеет мощность континуума,

X
	2	0

c

.

Замечание

Невырожденный промежуток имеет ту же мощность, что и все множество вещественных чисел. Например, биекцию

19

f :

1, 1

можно определить формулой

f x	x
		.
	1 x

20