Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

70. Логарифмическая функция

Экспоненциальная функция непрерывна и строго возрастает на значений есть промежуток. Поскольку

,

. Множество ее

e	x	0,
		x

e	x

x

,

то множеством значений является множество	0, положительных чисел. Функция, обратная
к экспоненциальной, называется логарифмической,
g : g y ln y, y 0, .
Справедливы равенства
g f x x, ln e		x	x,	x , ,
f g y y, e	ln y		y,	y 0, .
Логарифмическая функция непрерывны и строго возрастает на					0,		, множество значений —
.

Обратная функция к показательной с основанием	a	называется логарифмической функцией по
основанию a .

80. Степенная функция с произвольным вещественным показателем.

f

:

f

Функция непрерывна, возрастает, если

x 0

e	ln x	, x 0,

, убывает, если



.

0

, множество значений —

0,

Если 0 , степенную функцию доопределяют соотношением

f

0

0

.

§ 10. Тригонометрические функции

0	cos x, sin x			— координаты точки	B , в которую переходит точка
1 .
угол	x	вокруг начала координат.

20. Предложение 1

A 1, 0

при повороте на

cos x	sin x	1 при x		0,
	x

2

 

.

(1)

19

Действительно, из рисунка видно, что площади

S1, S2 , S3 треугольника OAB , сектора OAB

и

треугольника OAC связаны неравенствами

S1 S2

S3 .

Поскольку

S1

1

sin x, S2

1

x,

S3

1

tg x

,

2

2

2

то

sin x x tg x .

Делением на sin x 0

получаем

1

x

1

sin x

cos x

и, наконец,

cos x

sin x

1 .

x

A

B

O

30. Предложение 2

x

sin x

x

.

(2)

Действительно, для x 0							0,
			неравенство очевидно, для x						неравенство непосредственно
								2
				, 0		обеспечивается четностью функций в нашем неравенстве. Если
следует из (1), для x
			2
же	x	, неравенство становится очевидным, поскольку					sin x 1			.
	2									2

30. Непрерывность

Непрерывность синуса следует из оценки

					x x0		x x0
	sin x sin x			2 sin		cos					x x		0 .
	0			2		2					0		x x0

Поскольку

cos x sin		x ,
	2

20

то непрерывность косинуса следует из теоремы о непрерывности композиции.

	tg x	sin x	, тангенс непрерывен во всех точках, где косинус отличен от нуля, т.е. во всех точках
		cos x

своей области определения.

§ 11. Замечательные пределы

I замечательный предел

	lim	sin x	1 .
		x
	x 0

(1)

Доказательство

В предыдущем параграфе получено неравенство

	cos x	sin x	1 .
		x

По непрерывности

cos x cos 0 1	,
x 0

по теореме о милиционерах

	sin x	1 .
	x
		x 0

Следствия

1. lim	tg x	1.
	x
x 0
2. lim	1 cos x
	x	2
x 0
3. lim	tg x sin x
		x	3
x 0

Действительно,

1 2

.

1 2

.

	tg x		1			sin x			1 1 1,
	x		cos x				x
									x 0
1 cos x 2sin				2			x		2	x		2		x2	,
							2 x 0			2				2

21

tg x sin x tg x 1 cos x		x	2		x	3
	x
x0		2			2

II замечательный предел

lim 1 x	1	x	e
x0

Доказательство

По определению

			1	n
				e .
	1
			n	n

1) Покажем, что

				1 x 1 x	e
					x 0
Для	x		0, 1	подберем n так, чтобы

	n	1	n 1,
		x
	1		x	1
	n 1			n

(2)

(3)

(4)

(5)

Теперь

an

где an	e, bn	e .
	n	n

		1		n
				1 x	1
1						x
		n 1

1 1n

n1

bn

,

(6)

Возьмем произвольное 0

. Подберем номер

N

так, чтобы

				n N	a	e ,	b e
					n		n
	Положим	1	. Пусть x 0,	, подберем номер n так, чтобы выполнялись неравенства
		N 1
	(5). Тогда справедливы неравенства (6) и
				n 1	1	N 1,	n N ,

(7)

поэтому выполняются неравенства (7). Из (6), (7) получаем

e 1 x 1x e .

22

Соотношение (4) доказано. 2) Покажем, что

1 x
1	x

e x0

.

(8)

Возьмем произвольную последовательность

,

xn 1,

0 , xn

xn

n 1

yn xn 0

,

yn 0 . Тогда

n

1

1

1

1

y

y

1 x

n 1 y

n

n

1

x

y

n

n

1

y

1

n

Положим z

yn

0, z

0 . Заметим, что

1

1 yn

1

1,

n

y

n

1

n

z

y

y

n

n

n

n

1 x

1

n 1 z

1

z

n

1

1 z

1

z

n

1 z

x

n

n

n

n

n

Имеет место соотношение (8).

0	, положим
n

		1	y
			n
n	.
yn

поэтому можем написать

e 1 e .

Следствия

1.

lim

ln 1 x

1,

lim

log

a

1 x

x0

x

x0

x

e

x

1

a

x

1

2.

lim

1,

lim

ln a ;

x0

x

x0

x

1 x

1

3.

lim

.

x 0

x

1 ln a

;

Доказательство.

Применим теорему о пределе композиции. Если	f x A , а x t
	x x	t t
	0	0
F t f t A при выполнении одного из дополнительных условий:
t t
0

x0

, то

t x0 при t t0 ,

f непрерывна в точке x0 .

Если взаимно однозначно отображает некоторую окрестность точки

и t t	x	, 1 x 1 x	t	0	, то соотношения
0	0	0
t t0		x x0

t	0

на окрестность точки x0

23

f x A,	F t A
x x	t t
0	0

равносильны.

В такой ситуации можно писать

				lim f
lim f		x				t
x x				t t
0				0

1) Поскольку

1 x	1	x	e ,
			x 0

.

то с учетом непрерывности логарифма приходим к выводу

1	ln 1	x ln 1 x	1	x
x

ln e x 0

1

.

2) В доказанном соотношении выполним замену переменной, полагая

x

ln 1			e	t	1
	t	1
e							t 0

3)

1 x		1 e	ln 1 x

e	t	1.
			t		e	t	1
1,				1,				1
		t
e			1 t 0				t	t 0

	ln 1 x	x
1
	x 0	x 0

.

24

Глава IV. Основные понятия дифференциального исчисления

§ 1 Понятие производной

10. Определение

Пусть функция f определена в окрестности точки				x0 .
Производной функции f	в точке	x0 называется число
		f x0 lim	f	x f x0

x x0	x x0

в случае существования предела.

Формулу (1) можно преобразовать к виду

		x0	lim	f x	h f x			f x	, h
f				0	0		lim	0	.
					h			h
			h 0				h 0

Используются и другие обозначения:

	y	f x , y	f x x f x , y	f x	dy	lim	y
					dx		x
						x 0

(1)

.

Примеры

1)					C		,	f			0			0, f		0				.
	f		x						x			, h				x			0
2)	f x x , f x0 , h													x0 h x0					h,				f x0 ,	h	1, f x0	1.
																							h
3)	f		x		x	3	,
f 2, h 2 h										3	2		3	12h 6h			2		3		,	f 2, h		12 6h h		2	12,
																		h					h
																											h 0

f

2

12

.

20. Односторонние производные

		f		x	lim		f x f x0			.	(2)
				0	x x0 0				x x0
Предложение
f		x0				,				x0	.
				f x0				f	x0 f
											1

Пример

,

,

f

x

x

f

0

1

производная не существует.

30. Теорема 1

Пусть

f

имеет конечную производную в точке

x0 .

Тогда

f

непрерывна в точке x0 .

Доказательство.

f x0 , h

f x , h

x0

0

0

h

f

0 .

h

h 0

§ 2. Дифференцируемые функции

Определение

Пусть

f

определена в окрестности точки

x0 .

f называется дифференцируемой в точке

x0 , если существует такое число A

f x ,

h A h h ,

0

где h h , т.е.

h

0.

h

h 0

Линейная функция

df x

: df

x

h A h

0

0

называется дифференциалом функции f в точке x0 .

Приращение дифференцируемой функции записывается в виде

f

0

df

0

,

.

x

, h

x

, h

h

h

h

Если A 0 , то df x0 — главная часть приращения.

Пример

f x x3 , x0 2 .

f 2, h 12h 6h2 h3 12h h ,

df 2, h 12h .

, что

(1)

(2)

2

Положим

h

,

h 0,

h

h

0,

h 0.

Для приращения получим представление

f

x

, h df

x

, h

h h,

0

0

0 0,

непрерывна в нуле.

Теорема 1.

Пусть f определена в окрестности точки

x0 .

Тогда дифференцируемость функции

f

в точке x0

равносильна существованию конечной

производной

f

x

A

f

x

.

0 . При этом

0

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция

f

дифференцируема. Тогда

f x0 , h A h h ,

f

x

, h

A

h

A 0 A ,

0

h

h

h 0

функция f имеет производную

f

x0

A .

Достаточность. Приращение можно записать в виде

f

0

f

0

h

,

x

, h

x

h

где

h f x0 , h f x0 h ,

при этом получается, что

h

f x , h

x0 f

x0

f

x0

0, h h ,

0

f

h

h

h 0

функция

f

дифференцируема.

В "традиционных обозначениях"

y f x , y f x x f x , y f x x x , dy f x x f x dx — дифференциал.

(3)

3

§ 3. Дифференцирование суммы, произведения, частного

Теорема 1. Дифференцирование суммы

Пусть	f , g	— функции, заданные в некоторой окрестности точки
точке;	F	f g .
Тогда функция F			дифференцируема в точке x0 ,
			F x0 f x0 g x0 ,
			dF x0 df x0 dg x0 .

x	0

и дифференцируемые в этой

(1)

(2)

Доказательство

Функция

F

F x F x			f x f	x			g x g x			f x
0				0			0
x x			x x				x x		0	0
0			0				0		x x

дифференцируема, производная вычисляется по формуле (1).

g x
0

.

Теорема 2. Дифференцирование произведения

Пусть f , g

— функции, заданные в некоторой окрестности точки

x0

точке; G

f g .

Тогда функция G

дифференцируема в точке

x0

,

G

0

f

0

0

f

0

g

0

,

x

x

g

x

x

x

dG x

df

x

g x

f x

dg x

0

0

0

0

0

и дифференцируемые в этой

(3)

. (4)

Доказательство

G x G x

f x g x f x

0

g x

f x g x

f x

g x f

x

0

0

0

0

f x f

x

g x f x g

x g x

0

0

0

G x G x

f

x f

x

g x

f x

g x g x

0

0

0

x x

x x

0

x x

0

0

0

Заметив, что функция

g , будучи дифференцируемой, непрерывна, g x

x x0

выводу

G x G x0

f

x0 g x0

f x0 g x0 .

x x0

x x0

g x f x	0	g x	0

.

g x0 , приходим к

Функция G дифференцируема, производная вычисляется по формуле (3).

4