Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

4)

x x
	x	x
1	1

			x
			x
		1

x
	x
1

1 1 x x0

1

.

40. Теорема 2. Условие эквивалентности.

~







Доказательство.

	~		1		1 0

0

.

50. Таблица эквивалентных б.м.

lim

sin x

1

sin x ~

x

x 0

x

0

x

lim

tg x

1

tg x ~

x

x 0

x 0

x

lim

1 cos x

1

1 cos x ~

1

x

2

2

x 0

x

2

x 0 2

ln 1 x

~

x

lim

ln 1 x

1

x 0

x 0

x

lim

log

a

x

1

log

1 x

~

x

a

x 0

x

ln a

x

0 ln a

e

x

1

e

x

1 ~

x

lim

1

x 0

x 0

x

a

x

1

a

x

1 ~ x ln a

lim

ln a

x 0

x 0

x

1 x

1

lim

1 x

1

~ x

x 0

x 0

x

60. Операции с "

".

1) Если 1, 2

одного порядка, то

2

.

1

2) .

Равенство следует понимать как утверждение:

sin x

x x

x 0

tg x

x x

x 0

cos x

1

1

x

2

x

2

x 0

2

ln 1 x

x x

x 0

log

1 x

x

x

a

x

0 ln a

e

x

1 x x

x 0

a

x

1 x ln a x

x 0

1 x

1 x x

x 0

11

													Если						1		и 2					, то 1 2			.
3)										,															.
4) Если , , то																					.
Действительно,															0 0 0 .
Примеры.					x	3	x				2	,			x	2		x , поэтому x									3	x , иными словами x		2
						x 0												x 0										x0				x 0

Отметим, что в последнем "равенстве" нельзя менять местами левую и правую части.

70. Пример

x

.

	e	x	1 x	3	1 3x
lim
x0			x

ex 1 x x ;

1 x 1 12 x x ;

ex 1 x 1 32 x x ;

31 3x 1 x x ;

ex 1 x 31 3x 12 x x ~ 12 x

Ответ.

1 2

.

80. Замечание. В проведенных построениях можно отказаться от условия необращения функции

в нуль.

Новые определения

0, ;

~ 1, .

12

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Лектор — Моисеев А.А.

Глава III. Непрерывные функции

§ 1. Понятие непрерывной функции

10. Определение 1

Пусть f	— функция, определенная на множестве E
Функция	f называется непрерывной в точке x0 , если

,

x0

E

.

0 0 x E	x x0	f x f x0 .
Непрерывность означает, что малым изменениям		x отвечают малые изменения значения
функции.

Чаще всего в качестве E рассматривается промежуток.

Определение 2

Функция f	называется непрерывной в точке	x0	, если для любой окрестности V
можно указать окрестность U точки x0 , для которой				f	U E		V	.

точки

f	x	0

Определение 3

Функция

Обычно

f

x0

называется непрерывной в точке

x0

, если

x	x E x x f x					f x
n n 1	n	n	n	0	n	n	0

— предельная точка множества E . Для такого случая приведем еще

Определение 4

Функция

f

называется непрерывной в точке

lim	f
x x
0
Определения 1–4 равносильны.

x0

, если

x f x0

.

20. Одностороння непрерывность

Определение.

1) Пусть f — функция, определенная по крайней мере на промежутке x0 0 , x0 .

1

Функция

f

2) Функция

называется непрерывной в точке		x0
	f x
	0
f	называется непрерывной в точке
	f x
	0

слева, если

f	x0	0 .
x0	справа, если
f	0	0	.
	x

Предложение

Пусть f — функция, определенная в окрестности точки x0 .

Для непрерывности функции	f в точке x0	необходима и достаточна ее непрерывность в этой
точке слева и справа.
30. Приращение функции

Определение.

Пусть f	— функция, определенная в окрестности точки							x0 .
Определим функцию		f		x	, полагая
				0
					f x	h	f x h	f x
					0		0	0
для тех	h , для которых x0 h лежит в множестве определения функции.

Функция	f		x	называется приращением функции
			0

некоторой окрестности нуля.

f

в точке

x	0

. Приращение определяется в

Теорема 1.

Для непрерывности функции необходима и достаточна бесконечная малость ее приращения.

f

непрерывна в точке x0

приращение бесконечно мало,

Замечания. 1) Бывает удобным вместо

h использовать символ

x :

0

0

0 .

f

x

x

f

x x

f

x

2) Можно рассматривать приращение в форме

f

x

x

f

x

f

0

f

x	0

x	h 0
0	h 0

.

.

§ 2. Точки разрыва

Определение 1.

Пусть f — функция, определенная на множестве E , x0 — предельная точка E .

2

x0	называется точкой разрыва, если
x0	оказывается точкой разрыва, если

пределом для функции

f .

f

f

не является непрерывной в этой точке.

не определена в этой точке или

f x0

не служит

Определение 2. Классификация точек разрыва

Пусть

1)

x0

x0	— точка разрыва функции

— называется точкой разрыва

f .

I рода, если функция имеет конечные односторонние

пределы

f

x

0

,

f

x

0

.

0

0

Если при этом

f

x

0

f

x

0

, x0 — называется точкой устранимого разрыва.

0

0

Если же

f x0 0 f x0

0 ,

x0 — называется точкой скачка, число f x0 0 f x0 0

называется величиной скачка.

2) Другие случаи относят к разрывам II рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, x0

называется точкой бесконечного

разрыва.

Примеры

В точке устранимого разрыв функция имеет конечный предел

A lim f x . Разрыв обусловлен

x x

0

тем, что функция не определена или плохо определена в точке x0 . Полагая

f x , x x ,

0

f x

x x ,

A,

0

мы получим непрерывную функцию. Говорят, что

f

получена из f устранением разрыва.

Функция

f

:

f x

sin x

, x 0 имеет устранимый разрыв в нуле. Полагая

f 0

1

, мы

x

получаем непрерывную функцию.

1, x 0,

Функция

f

:

имеет в нуле скачок величины 2.

f x sgn x 0, x 0,

1, x 0

Функция

f

:

f x

1

, x

0

имеет в нуле бесконечный разрыв.

x

3

Функция

f

:

пределов.

	f x sin	1	,
		x

x 0

имеет в нуле разрыв II рода, функция не имеет односторонних

§ 3. Локальные свойства непрерывных функций

Свойство непрерывности функции точке окрестности этой точки. Если функции f

они одновременно непрерывны или нет. локальным свойством.

x0	полностью определяется ее поведением в любой
и	g совпадают в некоторой окрестности точки x0 , то

Имея в виду этот факт, непрерывность в точке называют

10. Теорема 1. Локальная ограниченность непрерывной функции

Пусть f	непрерывна в точке x0 .
Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки, найдется такая окрестность U
x0 , что	f		U	— ограниченное множество,

точки

		M 0 x U					f
Действительно,	M 0 M f	x		M	,	M ,	M
		0

определению непрерывности найдется окрестность U

x M .

— окрестность точки точки x0 , для которой

f

f

x0U

; по

M ,

M

.

20. Теорема 2. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Пусть

f , g

непрерывны в точке

Определим функции

x	0

F

G

H

.

		f	g : F x		f x g x ,
		f g : G x		f	x g x ,
		f	: H x	f	x	.
		g		g	x

В последнем случае предполагаем, что g x0 0 .

Тогда функции

F, G, H

непрерывны в точке

x	0

.

Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.

Теорема следует из соответствующей теоремы о пределах.

30. Теорема 3. Стабилизация неравенств.

Пусть f , g непрерывны в точке x0 и f x0 g x0 .

4

Тогда неравенство справедливо в некоторой окрестности точки

x	0

,

U

— окрестность точки

x	0

x U

f

x

g

x

.

Следствие

Пусть f

Тогда

1)Если

2)Если

f f

непрерывна в точке

x0 .

x0		A , то			f x A					в некоторой окрестности точки
	x		0	, то	f		x		0	в некоторой окрестности точки
	0

x
x	0

0

.

;

40. Теорема 4. Непрерывность композиции.

Пусть f определена в окрестности U

точки

x0

и непрерывна в этой точке;

g

определена в

окрестности V

точки

y

0

f

x

f

U

V

0 и непрерывна в этой точке. Предположим, что

имеет смысл композиция

F g

f : F

x

g

f

x

, x U

.

Тогда функция

F непрерывна в точке x0 .

, т.е.

Доказательство.

				, xn
Возьмем произвольную последовательность xn
			n1
непрерывности
y	n	f x	f x
		n	n	0
а
		g yn	g y0
			n
Но
g yn g f xn F xn , g y0
так что
		F x	F x
		n	n	0

F непрерывна в точке x0 .

U , x
	n	n
y0	,

.

g f x0

.

x0	. Тогда по определению

F x0 ,

5

Предел композиции

Пусть

F f

,

f

x A, t
x x	t t
0	0

x0

.

Без дополнительных условий утверждение F t A оказывается ложным.

t t0

Однако, если выполнено одно из дополнительных условий

1) в некоторой проколотой окрестности точки t0 выполнено неравенство t

x0

,

2) f

то

непрерывна в точке

x0

,

F t A. t t0

Если — биекция окрестности U

точки t0 на окрестность V точки

x0 ,

t

0

x

,

0

непрерывна в точке t0 ,

1

непрерывна в точке x0 , то соотношения

f x A и

F t A

x x

t t

0

0

равносильны.

Именно на последнее замечание ссылаются при выполнении замены переменной.

Мы хотим вычислить предел lim

f x . Полагаем

x

t

, приходим к выражению

x x

0

lim f

t

lim F t .

t t

t t

0

0

Вычислив этот предел, мы находим и lim

f x . Если функция F не имеет предела, то и

f

не

x x

0

имеет предела.

Пример. Скоро мы установим, что lim f x lim		ln 1 x	1. Положим x t et 1 0 .
x 0	x 0	x	t 0

t

Можем утверждать, что lim f t 1 . Но

f t

ln 1 e

t

1

. Следовательно,

e

1

x 0

t

e

t

1

lim

et 1

1.

t 0

t

§ 4 Открытые и замкнутые множества. Компакты

10. Определение 1.

Пусть

E	, x
	0

.

1) x0 называется внутренней точкой множества E , если

6

0 x0 ,

x0 E ;

2)

x0

называется внешней точкой множества

E , если

0

0

;

0

x

, x

E

3)

x0

называется граничной точкой множества

E , если она не является ни внутренней, ни

внешней.

Пример. E 1, 3 , 2 — внутренняя точка, 0, 4 — внешние точки, 1, 3 — граничные точки.

x0

— внутренняя точка множества E

E

— окрестность точки x0 . Внутренние точки входят в

множество. Внешние точки множества E

— это внутренние точки дополнения

\ E .

x0

— граничная точка множества E

0 x0 , x0 E , x0 , x0

\ E .

20. Определение 2.

Пусть

E

.

1)Множество

2)Множество

E

E

называется открытым, если оно состоит из внутренних точек.

называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Примеры. Интервал — открытое множество, отрезок — замкнутое множество, полуинтервал не является ни открытым, ни замкнутым.

Множество Int E , состоящее из всех внутренних точек множества E	, называется его
внутренностью. Это наибольшее открытое подмножество множества	E .

Множество E , полученное из E присоединением всех граничных точек, называется его замыканием. Замыкание — наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множества.

Точки замыкания E называются точками прикосновения множества E .

Предложение

Множество E является замкнутым в том и только в том случае, если оно содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей.

Доказательство.

1) Пусть

точки x0

точка,

x0

E замкнуто, x			— последовательность,	x E , x		x		. Тогда любая окрестность
n		n 1		n	n n		0
содержит члены последовательности, пересекается с					E	x0	— внутренняя или граничная
E .

7

2) Пусть

точку

x0

E

.

содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей. Возьмем граничную

n xn			1	, x0		1	E .
	x0		n
						n

Получаем последовательность

замкнутое множество.

x
n	n 1

, для которой

xn

E

,

xn

n

x0

. По условию

x	E
0

.

E

—

30. Определение 3.

Пусть

K

.

Множество K называется компактом, если всякая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу K .

Теорема 1

Для того, чтобы множество K ограниченным и замкнутым.

было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть K	— компакт. Если							K	не является ограниченным, то оно содержит
бесконечно большую последовательность, которая не имеет сходящихся
подпоследовательностей.
Возьмем последовательность		x		,	x	K	,	xn	x0 . По условию эта последовательность имеет
		n			n
									n
подпоследовательность x	y		K			. По теореме о пределе подпоследовательности y				x ,
nk	k	0							0	0

так что x0 K , K — замкнуто.

2) Достаточность. Пусть K ограничено и замкнуто. Возьмем произвольную последовательность

x		элементов множества	K . последовательность x		ограничена, по принципу выбора
n	n 1		n	n 1
Больцано-Вейерштрасса она имеет сходящуюся подпоследовательность xn						, xn	x0	. По
					k	k	k

критерию замкнутости x0 K .

Пример. Отрезок

a, b

— компакт.

§ 5. Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке

Теорема 1.

Непрерывный образ компакта есть компакт.

Пусть f — непрерывная функция на компакте K .

8