Рассмотрим уравнение
Про функцию
y
Fx, y
f x ,
x
0 |
. |
|
,
удовлетворяющую уравнению в том смысле, что
F x, f x 0, x
говорят, что она неявно задается уравнением.
В некоторых случаях дифференцированием последнего функции f .
,
равенства можно найти производную
Пример
Функция |
y |
1 x |
2 |
, |
|
x 1, 1
можно задать параметрически системой уравнений
x cos t, |
|
|
|
|
|
y sin t, |
t 0, |
, |
|
|
|
|
|
|
и неявно уравнением
x |
2 |
y |
2 |
1, |
|
|
Явное дифференцирование дает
y
0
.
y |
x |
, |
|
x |
|||
1 |
|
||
|
2 |
|
В параметрическом виде
dy |
|
cos t |
|
dx |
sin t |
||
|
В неявном виде
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 x |
2 |
|
|
x |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
y |
|
1 |
1 |
||
ctg t, |
|
|
||||||
dx |
2 |
sin |
2 |
t sin t |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
. |
||
sin |
3 |
t |
|||
|
|
||||
|
|
|
.
x yy 0, y xy ;
1 y 2 yy 0, 1 |
x2 |
yy 0, x2 y2 y3 y 0, 1 y3 y 0, y |
1 |
. |
y2 |
|
|||
|
|
y3 |
15
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лектор — Моисеев А.А.
Глава V. Основные теоремы дифференциального исчисления
§ 1 Теорема Ферма
Теорема 1. Ферма
Пусть функция f определена на интервале |
a, b |
и в точке |
x0 |
a, |
b |
|||||||||||||||||
или наименьшее значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
0 |
f |
|
|
|
или |
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
a, b |
|
f |
x |
|
x |
|
|
|
|
a, |
b |
|
f |
|
x |
|
|||||
Если f в дифференцируема в точке x0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает наибольшее
f |
|
x |
. |
|
|
Доказательство
Пусть в точке x0 функция f |
достигает своего наибольшего значения. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x f |
x |
|
|
|
|
Для x x0 имеем |
f |
x |
f |
x |
0, |
x x |
|
0 |
, поэтому |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
переходом ( x x0 |
|
0 ) получаем |
f |
x |
|
|
f |
x |
0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x f |
x |
|
|
|
|
Для x x0 имеем |
f |
x |
f |
x |
0, x x |
0 |
, поэтому |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
переходом ( x x0 |
|
0 ) получаем |
f |
x |
|
|
f |
x |
0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В итоге мы приходим к выводу об обращении производной в нуль, |
f |
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
0 .
0 .
Предельным
Предельным
0 |
. |
|
Замечание
Дифференцируемость — условие теоремы. Функция может принимать наибольшее или наименьшее значение и не иметь производной. Например, такую ситуацию мы видим для f x x , x0 0 .
1
Теорема 2. Дарбу
Пусть функция f определена на промежутке и дифференцируема во всех точках этого
промежутка. В точках a, b |
производная принимает значения |
f |
|
a A, |
f |
|
b B , число |
|||
|
|
|||||||||
лежит между a, b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда найдется точка c между a, b , для которой |
f |
|
c C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
Доказательство.
Рассмотрим сначала случай, где a b , f a 0, |
f b |
0 , и найдем точку c a, b , в |
|||||||||||||||||||||||||||
которой |
f c 0 . Поскольку f a 0 , то всех точках |
x a |
, близких к a |
, выполняется |
|||||||||||||||||||||||||
неравенство f x f a . Из неравенства |
|
f b 0 |
следует неравенство |
f x f b в |
|||||||||||||||||||||||||
близких к b |
точках x b . Таким образом, |
f |
|
a |
|
, |
f |
|
b |
не являются наибольшими значениями |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
функции |
|
f |
на отрезке a, b . По теореме Вейерштрасса функция достигает своего наибольшего |
||||||||||||||||||||||||||
значения в некоторой точке c . Из сказанного выше следует, что |
c |
|
a, b |
. По теореме Ферма |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f |
|
c |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходя к общему случаю, рассмотрим функцию |
g : g |
|
x |
|
f |
|
x |
|
C x |
. По уже доказанному |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
найдется точка c между a, b , для которой |
g c 0 |
. Для функции |
f |
получаем f c C . |
Мы можем сказать, что для производной справедлива теорема о промежуточном значении. Производная не обязана быть непрерывной. Соответствующий пример будет приведен ниже.
§ 2 Теорема Ролля
Теорема 1.
Пусть функция
интервала |
a, |
|
|
Тогда |
|
f b
определена и непрерывна на отрезке |
a, b |
, дифференцируема во |
||||||
|
||||||||
, принимает одинаковые значения на концах промежутка: |
f |
|
a |
|
|
f |
||
|
|
|
|
a, b f 0 .
всех точках
|
b |
. |
|
|
Доказательство.
Может случиться, что
f
const
, тогда утверждение теоремы очевидно.
В противном случае найдется x , для которого |
f |
|
x |
|
|
f |
|
|
|
|
теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция
a f
, например, |
f |
|
x |
|
|
f |
|
a |
. По |
|
|
|
|
|
достигает в некоторой точке
своего
2
наибольшего значения. Ясно, что |
f |
f a |
f b , так что a |
условиях теоремы Ферма, из которой получаем требуемое равенство
, f
b .
Мы оказываемся в
0 .
Геометрически теорема означает, что в некоторой точке касательная к графику функции горизонтальна.
§ 3. Теорема Лагранжа
Теорема 1.
Пусть функция
интервала |
a, |
|
|
Тогда |
|
f b
определена и непрерывна на отрезке
.
a, b |
f b f |
a |
b a |
|
|
|
|
a,
b
f
, дифференцируема во всех точках
.
Доказательство.
Введем вспомогательную функцию
g x
f
x x
,
подобрав число так, чтобы |
g |
|
a |
|
g |
|
b |
|
. Нетрудно видеть, что следует положить |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f b |
f |
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция g удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Поэтому |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a, b |
|
g |
|
|
|
0 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Возвращаясь к функции f , видим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
f b f a |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|||
Геометрически теорема означает, что в некоторой точке касательная графика функции |
f |
|||||||||||||||||||
параллельна хорде, соединяющей концы графика. |
|
|
|
|
|
|
|
Запишем еще теорему Лагранжа в видоизмененных обозначениях. Если функция f непрерывна на отрезке с концами x , x x и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то найдется точка в интервале с концами x , x x , для которой
f x x f x f .
3
Заметим, что точку
можно представить в виде
Итак,
0, 1 |
f |
x x
x x
, где
f |
x |
0,
f x
1 .
x x
—
формула конечных приращений Лагранжа.
Теорема 2. О пределе производной.
Пусть функция f определена и непрерывна на промежутке a, b , дифференцируема во всех
точках интервала a, b , |
f |
|
x |
|
A . |
|
|||||
|
|
|
|
x a 0 |
|
Тогда f имеет в точке a |
правостороннюю производную |
f a A, |
f a lim |
f x |
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
f
a
0
.
Доказательство.
Возьмем произвольную последовательность
n |
n |
a, x |
|
|
|
|
n |
|
|
Получена последовательность n |
, n |
a |
||
|
|
|
n |
|
x |
|
, x |
a, |
b , x |
|
|||
|
|
|||||||
n |
n 1 |
n |
|
|
|
|
n |
|
f x f |
a |
|
f |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
. Поскольку f |
|
x |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
a . n
.
A , то
По теореме Лагранжа
f |
|
n A , |
|
|
n |
|
f xn f a |
A . |
|||||
|
xn |
a |
|
|
|||
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
f x f |
a |
A , |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
x a |
|
||||
|
|
|
|
|
x a 0 |
f
имеет правостороннюю производную
f a
A
.
Теорема 2 говорит, что для функции, имеющей производную во всех точках промежутка, производная не может иметь разрывов первого рода. Разрывы второго рода возможны.
Пример.
|
2 |
|
1 |
, x 0, |
x |
|
sin |
|
|
|
|
|||
f x |
|
|
x |
|
0, x 0.
f x 2x sin 1x cos 1x для не имеет предела в нуле. f
x 0 |
и |
f 0 lim |
f x f |
0 |
lim |
f x |
lim x sin |
1 |
0 . |
f |
x 0 |
|
x |
x |
|||||||
|
|
x 0 |
|
x 0 |
x 0 |
|
|
терпит разрыв второго рода.
4
§ 4 Теорема Коши