Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Лектор — Моисеев А.А.

Глава II. Предел функции

§ 1. Понятие предела функции

10. Предельная точка.

Пусть E

, a

. Точка a

называется предельной для множества

E

, если

0 x E 0 x a .

На языке окрестностей это означает, что любая окрестность V	точки a	содержит точки
множества E , отличные от a .

Если V — окрестность точки a , то	V V \	a
		называют проколотой окрестностью. Теперь
можно сказать, что a — предельная точка для E , если для любой окрестности V			точки a
проколотая окрестность V пересекается с		E , V E .

20. Определение. Предел функции

Пусть E , a — предельная точка для множества

E

;

f

— функция, определенная на

E

.

1) Определение на языке
Число A называется пределом функции				f	в точке a (или при
для любого 0	можно указать такое		0 , что неравенство
всякий раз, когда	x E и	0 x a		:

0 x E 0 x a f

x a ) вдоль множества E f x A выполняется

x A .

, если

2) Определение на языке окрестностей
Число A называется пределом функции f в точке a , если для любой окрестности					V	точки A
существует окрестность U точки a , для которой справедливо включение f						V .
				U E
3) Определение на языке последовательностей
Число	A называется пределом функции f в точке a , если для любой последовательности
xn ,	xn E, xn a, xn a справедливо соотношение	f xn	A .
	n		n
Если A — предел функции f в точке a , то пишут f x			A, A lim	f x .
	x a,x E		x a,x E

1

Как правило, мы будем рассматривать ситуацию, где функция определена, по крайней мере, в

некоторой проколотой окрестности точки	a . В такой обстановке указание множества	E
становится необязательным, мы пишем просто lim f x .
	x a

Пример

Для существования предела функция вовсе не обязана быть определенной в точке

этой точке функция определена, то значение

f a

не влияет на предел.

a

. Если же в

Если

f x 1

при

x

3

, а

f

3

2

, то

lim f x 1 x 3

f

3

.

Существование и значение предела полностью определяется поведением функции в любой проколотой окрестности точки a . Если функции f , g совпадают в некоторой проколотой окрестности U точки a , то они имеют или не имеют предела одновременно, в случае существования пределы между собой равны.

Лекция 8 05.10.2016

30. Теорема 1. Равносильность определений.

Определения

A lim f x x a

1), 2), 3) равносильны. Если	A lim f x
	x a

и в смысле других определений.

в смысле одного из определений, то

Доказательство

Сначала сравним определения 1), 2).

Пусть	A lim f x								в смысле 1). Возьмем произвольную окрестность V		точки A . Найдется такое
			x a
0	, что		V	A			V			. По определению 1) существует такое 0 , что
										x E, x a, x a f x A .
Полагая		U V				a			, можно переписать предыдущее соотношение в виде
f U E V A V . Таким образом, A lim f x в смысле 2).
										x a
Наоборот, пусть						A lim f x в смысле 2). Возьмем произвольное 0					и положим V V A .
									x a

По определению 2) найдется окрестность U точки a , для которой

f U E V . Подберем

0 , для которого V a U . Теперь

x E 0 x a f x A ,

A lim f x в смысле 1). Установлена равносильность определений 1), 2).

x a

2

Докажем равносильность определений 1), 3).

Пусть	A lim f x	в смысле 1).
	x a

и убедимся в том, что	f xn
	n

Возьмем произвольную последовательность

xn , xn a, xn a

n

A .

Возьмем произвольное 0 . По определению 1) найдется такое 0		, что
	x E 0 x a f x A .
По определению предела последовательности найдется номер N , для которого
	n N xn a .
Видим, что при n N выполняется соотношение f xn A . Итак,		f xn A .
		n
A lim f x в смысле 3).
x	a
Пусть	A lim f x в смысле 3). Допустим, A не является пределом в смысле 1). Тогда
	x a
	0 0 x E 0 x a f x A .

В качестве

0

последовательно возьмем числа

	1	,	n 1, 2,
	n

и найдем точки

xn E 0 xn

a

1

,

f

xn A . Тем самым мы получаем последовательность xn .

n

Неравенство

x a

1

означает, что x

a , а неравенство f x

A

говорит, что A не

n

n

n

n

n

является пределом для

f

x

n , вопреки предположению. Полученное противоречие заставляет

нас признать, что A lim f x в смысле 1).

x a

§ 2 Различные предельные конструкции

10. Односторонние пределы

1) Пусть f определена на некотором интервале a 0 ,

a .

Число A называется левосторонним пределом функции

f в точке a

( A f a 0 , A lim

f x , f x A ), если

x a 0

x a 0

0 0 x a x a f x A .

3

2) Пусть f определена на некотором интервале a, a 0		.
Число A называется правосторонним пределом функции		f	в точке a
( a f a 0 , A lim	f x , f x A ), если
x a 0	x a 0
0 0 x a x a			f x A

.

Определения односторонних пределов можно дать и в терминах окрестностей или последовательностей.

Предложение

Функция f определена в проколотой окрестности точки a .

Тогда функция имеет предел в точке a	в том и только в том случае, если существуют и равны
между собой односторонние пределы	f		a 0			f		a 0	. В случае существования предела
f a 0				f a 0 lim f x .
								x a

20. Бесконечные пределы

В определении предела число

f x x a

A можно заменить на , ,0 0 0 x a



. Например,

f x

.

30. Пределы на бесконечности

Бесконечности могут выполнять и роль точки, в которой вычисляется предел. Например,

f x 0 0 x

x f

x

.

§ 3 Простейшие свойства предела функции

0	a ,	f		x		A	при
1 . Если функция постоянна в некоторой проколотой окрестности точки
то f x A .
x a
20. Предел единствен.

30. Если функция имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности.

x V

,

§ 4. Предел и арифметические операции

Теорема 1

Пусть функции f , g определены в проколотой окрестности E точки a .

4

f x x a

Определим функции

F : F x f

G : G x f

H : H x

A,

x

x f

g x B . x a

g x , x E;

g x , x E;

x / g x , x E.

(В последнем случае предполагаем, что g x 0 при

Тогда функции F, G, H тоже имеют пределы,

x E

).

(последнее при условии

B

F

0

x A B, G x AB, H x A / B
x a	x a	x a

).

Доказательство

Докажем , например, последнее утверждение.
Возьмем произвольную последовательность xn , xn E, xn
предела функции на языке последовательностей

f xn A, g xn B .
n	n

По теореме о пределе отношения последовательностей

H xn

предела функции H x	A	.
x a B

a, xn	a . По определению
	n

	A	. Опять по определению
n B

§ 5. Предел и неравенства

Теорема 1

Пусть функции

f ,

g

определены в проколотой окрестности

E

точки

a

.

1) Стабилизация неравенств

Пусть

f x A,	g x B, A B .
x a	x a
Тогда

U x U f x g x

5

2) Предельный переход в неравенстве.

Пусть

x E	f x g x ,
f x A, g x B .
x a	x a
Тогда
	A B .

Замечание. Можно ослабить условие и потребовать выполнения неравенства некоторой проколотой окрестности точки a .

3) Теорема о полицейских.

Если

x E

f

x

h

x

g

x

,

f x A,

g x A

,

x a

x a

то

h x A .

x a

f x g x

в

Доказательство

A B

A B

1) Рассмотрим окрестности VA ,

и VB

, точек A и B

2

2

соответственно. На основании определения предела мы можем найти такую окрестность U

точки

a

, что при

x U справедливы включения

f x VA и g x VB . U — искомая окрестность.

(Поскольку из f x VA следует, что

f x

A B

, а g x

VB влечет g x

A B

, то

2

).

2

f

x

g

x

2) Утверждение о предельном переходе в неравенстве доказывается, как и в случае последовательностей, методом от противного.

Допустив, что имеет место неравенство A B , мы придем к противоречащему условию выводу о

том, что в пределах некоторой проколотой окрестности точки a									выполняется неравенство
f		x		g		x	.
3) Возьмем произвольную последовательность xn , xn								a, xn	a .
									n

6

По определению предела на языке последовательностей получаем соотношения

f x	A,
n	n

g x
n	n

A

, а по условию

f x

n

h x

n

g x

n

, n 1, 2,

По теореме о

полицейских для последовательностей

h x
n	n

A

. Пользуясь опять определением на языке

последовательностей, делаем вывод, что

h x x a

A

.

§ 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

10. Определение

Функция называется бесконечно малой при

x a , если

x x a

0

.

20. Теорема 1.

1)Сумма бесконечно малых является бесконечно малой.

2)Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является бесконечно малой.

30. Теорема 2. Определение предела в терминах бесконечно малых

f x A f A б.м. x a

40. Бесконечно большие функции

Функция	f	называется бесконечно большой (
		0 0 0

fx

xa

), x a

если

f x

.

Теорема 3.

	б.м.	f	1	б.б.

§ 7. Предел монотонной функции

Определение

Пусть

f

— функция, определенная на промежутке

.

1) Функция	f	называется возрастающей (строго возрастающей), если
		x, y x y	f x f y f x f
2) Функция	f	называется убывающей (строго убывающей), если
		x, y x y	f x f y f x f

y

y

.

.

3) Функция называется (строго) монотонной, если она (строго) возрастает или (строго) убывает

7

Теорема 1.

Пусть f — монотонная функция на интервале			a, b .
Тогда существуют односторонние пределы	f		a 0		,	f

b 0

, может быть, бесконечные.

Доказательство.

Для определенности рассмотрим возрастающую функцию.

1) Пусть f

ограничена сверху. Положим M sup f

a, b

и покажем, что

f x

Возьмем произвольное 0

. Найдется такой

x

a, b

, что

f

x

M

.

0

0

Положим

b x0 . Теперь,

x

b , b

имеет место неравенство

x b

f x f

x0 b ,

M f

x M . Видим, что

f x

M .

x b 0

2) В случае неограниченности

f x

.

x b 0

Действительно,

0 x

f

x

. Далее,

x

x

, b

f

x

f

x

.

0

0

0

0

x b 0

x0

M .

, поэтому

§ 8. Критерий Коши существования предела

Теорема 1.

Для существования конечного предела

0 0 0 x

lim f x
x x0
x	, x
0

необходимо и достаточно условие Коши

x0				.
		f x	f x

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть f x A .

x x

0

Возьмем произвольное 0 . Найдется такое 0

, что

0

f

x

A

.

0 x x

2

Для любых x , x , удовлетворяющих условиям

0

x x0

, x x0

получается неравенство

f x f x

f x A f x A

f x A

f x A

.

2

2

2) Достаточность. Возьмем произвольное 0

и подберем 0

, о котором идет речь в

условии Коши.

8

Для произвольной последовательности xn

, для которой

xn x0

и

xn x0 , найдется такой

n 1

номер N , что

n N 0 x

x

.

n

0

Получается, что

n, m N

f

xn f xm

.

Последовательность f

фундаментальная, следовательно, она сходится. Осталось

xn

n 1

убедиться в том, что все такие последовательности имеют один и тот же предел. Пусть

последовательности x

, x имеют предел

x

0

и состоят из членов, отличных от x

0

. Построим

n

n

, x2n

xn x0

,

xn x0 , поэтому

последовательность xn , полагая x2n 1 xn

xn . Тогда

n

существует

A lim n

f

xn

. По теореме о пределе подпоследовательности

f x	,
n

f

x
n	n

A

.

§ 9. Сравнение функций (бесконечно малых)

10. Определение

Пусть функции , определены в некоторой проколотой окрестности точки обращается в 0 ни в одной точке.

x	0

,

не

1) Говорят что ,

одного порядка при

x x0

, если

		x	A 0, .
		x
			0
			x x
Для бесконечно малых функций	,	в этом случае говорят, что функция и				одного порядка
малости.
2) , эквивалентны при x x0 , x			x , если
		x x
		0
		x		1.
		x
				0
				x x
Замечание. В условиях пункта 1)	x	A x .
		x x
		0
3) Функция называется бесконечно малой по сравнению с , x					x ( есть o-
					x x0

малое от

), если

x 0 .

x x x0

9

Для бесконечно малых функций ,	в этом случае говорят, что функция	имеет более высокий
порядок малости, чем .

В смысле принятого определения запись 1

означает бесконечную малость функции .

4)					ограничено в некоторой проколотой окрестности точки			x0 .
	, если
	0
	x x
Примеры. x 2x		2	~	x,	x	2	x .
			x 0				x 0

20. Определение

1)Если

2)Если

x	~
	x x
	0

x ~

x x0

A x
	k
A x x	k
0

, то говорят, что

, то

имеет k

имеет k -й порядок относительно

-й порядок малости, функция A x x0

.

k

называется

главной частью б.м.

	x ~	A	имеет k
		xk
	x x0

	. (Для случая x роль основной б.м. выполняет функция				1	, функция
					x
	-й порядок малости, имеет	A		своей главной частью).
		x	k

30. Теорема 1

При вычислении пределов сомножители

Пусть x

~

1 x , x

~ 1 x .

x x

x x

0

0

Тогда

1) Если

1 x

A

, то

x

A .

x x x0

x x x0

1

2) Если

1

x 1 x

A

, то

x x

x x

0

x

x

3)

~

1

.

x

x

0

x x

1

4)

x x

~ 1 x 1 x .

x x

0

можно заменять на эквивалентные.

A . x x0

Доказательство.

1)

	x			x x		x	A11
	x		1	x	1	x
					x		0
			1	1			x x

A

.

10