Приложение а Обработка данных в двумерном лазерном триангуляторе

Формулы для обработки данных рассматриваемой АС подробно описаны в [5]. Для численного восстановления контролируемые поверхности представим формулой следующего вида:

,

(А.1)

где ,,‑ цилиндрические координаты,‑ функция номинального профиля,‑ функция отклонения от номинальной формы. Величиныиотсчитываются в направлении.Система координат,,, жестко связана с контролируемой поверхностью.

Вычисление искомых координат контролируемой поверхности производится из формул для определения координат освещенной точки контролируемой поверхности на каждом шаге сканирования. Они выражают собой законы геометрической оптики для отражения света: первый ‑ прямолинейность распространения световых лучей, второй ‑ равенство угла падения углу отражения и третий ‑ то, что падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности в точке падения луча лежат в одной плоскости:

,,

(А.2)

где, только в пределах этих двух формул, квадратными скобками обозначено векторное произведение, круглыми скобками – скалярное произведение; в знаменателе обозначен модуль векторов, то есть, их длина.

Из системы уравнений (А.2) получаем дифференциальное уравнение:

,

(А.3)

где   является функцией переменных:,,,,;

‑ смещение источника излучения в направлении осиOZ;

‑ поворот контролируемой детали вокруг осиOZ.

Функция в правой части уравнения имеет вид:

,

(А.4)

где

,,,;

(А.5)

,и‑ координаты освещенной точки контролируемой поверхности в цилиндрической системе координат, жестко связанной с оптико-механическим блоком (XYZна рисунке 2).

При этом уравнения связи между двумя названными системами координат имеют вид:

,,,

(А.6)

Отметим, что . Величиныи, а также тесно связанная с последней‑ это измеряемые параметры. Они ‑ функции переменныхи, задаваемые дискретными отсчетами в процессе сканирования, а также неизвестной переменной. Величиныиназовем «параметрами настройки» [18], они задаются оператором вручную и в цикле измерения остаются постоянными.

Функция вида является частным решением уравнения (А.3) при каком-нибудь постоянномz  и при граничном условии

,

(А.7)

где обозначает конкретный радиальный профиль, на котором рассматриваются эти условия. Из сетки таких профилей можно получить изображение всей контролируемой поверхности. Важно отметить, что при получении радиального профиля используются данные, собранные только с него самого.

Граничное условие (А.7), при малых отклонениях от своей средней величины вдоль восстанавливаемого профиля поверхности, позволяет получить аналитическое решение при замене нелинейного дифференциального уравнения (А.3) упрощенным дифференциальным уравнением, полученным путем его линеаризации в окрестности средних интегральных, по этому профилю, величин,и.

Из (А.3) получаем дифференциальное уравнение следующего вида:

,

(А.8)

где ,иозначают частные производные функции, взятые при,и;

,и‑ средние интегральные величины,ипо радиальному профилю. Точнее, в рамках используемой модели, это величины, которые бы имели место при идеальной круглости контролируемой детали. В расчетах мы их заменяем на средние интегральные величины. Они должны быть рассчитаны по тому радиальному профилю, по которому решается (А.8).

Считаем, что в (А.8) приращения переменных ,инезависимы, а также, что зависимостьюот других переменных можно пренебречь. Приращениеравно нулю для заданного радиального профиля. Поэтому производные в ряде Тейлора в (А.8) записаны как частные, а два последних слагаемых отсутствуют.

Еще одно упрощение, сделанное при переходе от (А.3) к (А.8) – это замена сомножителя в правой части (А.3) на. Для заданного радиального профиля, по которому решается (А.8), это величина постоянная. Она записана в левой части (А.8) для удобства дальнейших преобразований этого уравнения.

Подставим в уравнение (А.3) вместо изначенияии приравняем нулю его правую часть. Тогда для нахождения, нужного нам для дальнейших расчетов, получим уравнение:

.

(А.9)

Это уравнение имеет аналитическое решение, однако оно довольно громоздко, и в программе оно решается численно.

Запишем (А.8) в виде:

,

(А.10)

где

	,,,
	, ,,.

Уравнение (А.10) решается при граничном условии

,

(А.11)

где обозначает конкретный радиальный профиль.

Для каждого имеется свое уравнение (А.10), отличающееся только значениями коэффициентов,,.

С целью аппроксимации, либо фильтрации измерительной информации функцию

(А.12)

удобно представить в виде разложения в ряд Фурье. В этом случае решение дифференциального уравнения (А.10) можно получить в общей форме через соответствующие коэффициенты разложения. Для данных в цифровой форме при этом наиболее подходит дискретное преобразование Фурье [7]. Напишем, как выглядит решение уравнения (А.10), полученное с помощью этого преобразования. В пределах обсуждения этого преобразования индексы при переменных показывают номер гармоники спектра, или порядковый номер отсчета точек профиля.

Пусть функция задана своими дискретными отсчетамис равномерным шагом по радиальному профилю;;;. Тогда она однозначно представима в виде конечного ряда Фурье в виде:

,

(А.13)

где ,‑ целая часть. Коэффициенты этого ряда Фурье вычисляются по формулам:

,,

(А.14)

где .

Тогда искомый радиальный профиль представлен дискретными отсчетами высоты вточках при тех же значениях, что и:

(А.15)

где .

Таким образом, найдена алгебраическая связь между параметрами гармоники Фурье-спектра функций (А.12) и соответствующей гармоники (то есть, с тем же числом волн на оборот поверхности) Фурье-спектра профиля высот контролируемой поверхности.

Выражения (А.4) – (А.6), (А.9), (А.10), (А.12) – (А.15) представляют собой функцию преобразования автоматизированной системы.