Приложение б Преобразование пучка света в оптической системе в приближении геометрической оптики

Эти расчеты приогодны для проектирования источника излучения в рассматриваемой АС, при условии, что используется некогерентный или слабокогерентный свет.

В расчетах используем приближение тонких пучков [24], как это обычно принято в триангуляции. Это означает, что, их поперечная ширина не учитывается. В этом случае, во первых, ход пучка света полностью описывается его центральным, главным лучом. Этот луч совпадает с направлением распространения пучка света. А во вторых, преобразование этого пучка света в линзах описывается известной формулой Ньютона для тонкой линзы:

,

(Б.1)

где ‑ расстояние от точки предмета до линзы, точнее, до ее передней главной плоскости;

‑ расстояние от линзы до точки изображения;

‑ переднее фокусное расстояние линзы. Знаки указанных величин определяются по правилам, указанным ниже в этом приложении.

Отметим, что главный луч нашего пучка света не совпадает, в общем случае, с главной оптической осью оптической приемной системы. Это различие как раз и служит информационным сигналом в триангуляторе.

Для расчета воспользуемся известным способом описания хода и преобразования лучей с помощью матриц, впервые предложенным Гауссом. Этот способ пригоден для параксиальных лучей. При выводе расчетных формул следуем [25]. Ход лучей рассмотрим в одном главном сечении, то есть, в плоскости, проходящем через главную оптическую ось. При расчете, как это принято в геометрической оптике, полагаем, что главная оптическая ось идет слева направо. Так же идут и лучи света. Точнее, так направлена продольная, вдоль главной оптической оси, составляющая луча, если луч считать вектором, равным векторной сумме его продольной и поперечной составляющих. Расстояние от точки, через которую проходит луч, до главной оптической оси, обозначим как . Если точка находится выше главной оптической оси, то, если ниже – то. Введем условно положительное направление поперек главной оптической оси. Для определенности, направим его вверх на рисунке хода лучей. Если поперечная состав­ляющая луча направлена вверх, то считаем, что угол наклона луча положительный, если вниз – отрицательный, вне зависимости от того, как луч располагается по отношению к главной оптической оси. Обозначим этот угол как. Значения этой величины в приведенных ниже формулах должны быть подставлены в радианах.

Пучок света, излучаемый лазером, фокусируется на контролируемую поверхность объекта. Оптическое изображение пятна на контролируемой поверхности строится объективом оптической системы в плоскости фотоприемника.

Заметим, что в оптической схеме рассматриваемого источника излучения изображение тела свечения лазера формировалось на расстоянии от фокусирующей линзы, равном фокусному расстоянию этой линзы. При этом, как известно из геометрической оптики, поперечное линейное увеличение равно отношению фокусных расстояний этой линзы и коллимирующего объектива. В данной схеме фокусное расстояние фокусирующей линзы (в нашем случае это цилиндрическая линза) на порядок больше фокусного расстояния коллиматора, объединенного с лазерным диодом в единый серийный модуль. Поэтому пятно получается увеличенным, по отношению к исходному размеру тела свечения лазерного диода.

Однако для одномодовый лазерный диод имеет размеры тела свечения лишь ненамного превосходящие длину волны света, то есть, не более 10 мкм. К тому же используемый в работе лазерный модуль имеет коллиматор, исправляющий астигматизм, присущий лазерному диоду. Кроме того, в модуле использован современный лазерный диод, у которого астигматизм значительно меньше, чем у лазерных диодов, выпускавшихся ранее, он сравним с длиной волны света. Таким образом, для расчета поперечной ширины фокального пятна в данном случае следует применять формулы волновой гауссовой оптики (см. приложение В). Согласно этим формулам, поперечная ширина пучка лазера изменяется как квадратный корень отношения фокусных расстояний фокусирующей линзы и коллиматора. Поэтому поперечная ширина пучка на контролируемой поверхности получается меньше, чем в геометрооптическом приближении. Эксперимент показал, что картина в нашем случае соответствует волновой гауссовой оптике. В этом несложно убедиться самостоятельно, поставив видеокамеру без объектива в фокус источника излучения, конечно, с соответствующим светофильтром, чтобы не испортить видеокамеру.

Изображение пятна света на контролируемой поверхности, получаемое оптической схемой источника излучения, затем преобразуется оптической приемной системой. В согласии с ходом световых лучей, пятно света на контролируемой поверхности находится в пространстве предметов, а фотоприемник – в пространстве изображений освещенного участка контролируемой поверхности. При этом точки предмета и изображения не являются, в общем случае, сопряженными. Точнее, их юстируют для достижения оптического сопряжения для середины рабочего диапазона триангулятора, соответствующего некой «нулевой», базовой высоты точек профиля светового сечения, которое дает фокусирующая цилиндрическая линза на контролируемой поверхности. Для нахождения координаты точки падения пучка света на фотоприемнике воспользуемся выражением, связывающим параметры падающего и отраженного лучей в двух произвольных поперечных сечениях [21].

Приведем вывод этого выражения.

Матричная формула преобразования луча записывается в общем виде так:

.

(Б.2)

В (Б.2) и далее, в этом приложении, штрихом обозначены параметры луча после преобразования. В настоящей диссертации мы используем матрицу преобразования луча линзой.

Преобразование луча в линзе представлено как последовательность трех преобразований: прохождения луча в пространстве от исходной точки до линзы, преломление линзой, прохождение луча от линзы дальше, до конечной точки (см. [25]). Матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих его последовательных преобразований, взятых в обратном порядке:

,

(Б.3)

где ‑ расстояние от начальной точки до линзы;

‑ расстояние от конечной точки до линзы;

‑ заднее фокусное расстояние линзы.

Отметим, что в параксиальном приближении практически выполняются упрощенные формулы, связывающие линейные и угловые величины, подобные следующим:

, .

Символы иобозначают названные величины только в пределах данного приложения. Отсчет положительных величиниидет в направлении луча света вдоль главной оптической оси (см. рисунок Б.1), в соответствии с принятым правилом знаков лучевой оптики. При этом за начало отсчета принимаются главные плоскости линзы – передняя‑ для, и задняя‑ для. У тонкой линзы плоскостиипрактически совпадают. Помимо указанных выше правил, принимается, что переднее фокусное расстояние собирающей линзы отрицательно, а заднее – положительно. Наконец, укажем, что если среда вокруг линзы однородна, то по законам лучевой оптики.

	‑ главная оптическая ось;,‑ главные плоскости линзы, соответственно, передняя и задняя (изображены совпадающими); знак «минус» показывает направление отсчета отрицательных величин Рисунок Б.1 – К выводу матрицы преобразования лучей

После перемножения матриц в (Б.3) получаем:

.

(Б.4)

Подставляя (Б.4) в (Б.2), получаем для следующее выражение:

.

(Б.5)

В данном случае описывает отклонение точки падения луча от точки пересечения фотоприемника главной оптической осью в сторону, перпендикулярную этой оптической оси, то есть, согласно нашей оптической схеме, отклонение пучка света на фотоприемнике от базового положения этого пучка на этом фотоприемнике.

Формула (Б.5) дает нам функцию преобразования триангулятора. Остается только учесть, что высота освещенной точки на контролируемой поверхности связана ссоотношением

,

(Б.6)

где ‑ угол между главной оптической осью источника излучения и главной оптической осью оптической приемной системы.

Мы видим, что, когда точки на контролируемой поверхности и на фотоприемнике являются оптически сопряженными, то есть, когда иудовлетворяют (Б.1), второе слагаемое в (Б.5) равно нулю. В пределах рабочего диапазона триангулятора относительное изменениене превосходит 0,1. При этом вторым слагаемым в (Б.5) можно пренебречь, и считать, что функция преобразования триангулятора линейна.

Итак, расчетные формулы позволяют получить значение величины поперечной ширины пучка света на ПЗС фотоприемнике в рассматриваемой АС. Это важный параметр, определяющий пределы рабочего диапазона первичного измерительного преобразователя ДЛТ.

Отметим, что полученные формулы можно использовать и для проектирования обычного триангулятора, при некоторой несложной доработке. Они позволяют получить функцию преобразования обычного триангулятора.