§8. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Ðассматриваются различные варианты взаимного расположения прямых, устанавливаются признаки, по которым можно различать эти варианты, указаны свойства важного в стереометрии отношения между прямыми — параллельности.

Как известно из планиметрии, на плоскости две

прямые могут совпадать, пересекаться или же быть параллельными. Иллюстрациями этого могут служить траектории движения двух пароходов (рис. 142). Переход

от плоскости к пространству увеличивает количество вариантов взаимного расположения двух прямых. Например, попробуйте представить траектории движения двух самолетов, летящих на разных высотах, и один из них движется с севера на юг, а второй — с запада на восток (рис. 143). Как они расположены? Яркой иллюстрацией возможностей взаимного расположения прямых является расположение поперечных рей на корабельных мачтах

(рис. 144) и т. п.

Классификация взаимного расположения двух прямых в пространстве и рассмотрение способов установления этого расположения является главной целью данного параграфа.

Рассматривая прямые в пространстве как геометрические образы траекторий прямолинейного движения, мы можем описать

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

149

возможные варианты взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Прямые могут совпадать. Для этого достаточно, чтобы они имели две общие точки (аксиома С4).

Прямые могут пересекаться, то есть иметь только одну общую точку. Такие прямые определяют единственную плоскость, которой они принадлежат (теорема 2 §7). И в каждой плоскости через произвольную точку можно провести бесконечное множество пересекающихся прямых.

Прямые могут не иметь общих точек.

Однако назвать их параллельными (как в планиметрии) можно не всегда. Рассмотрение траекторий полета самолетов, как и многих других подобных примеров (разме-

щение тоннелей метро, линий перекрещивающихся электропередач и т. п.) наводит на мысль, что речь идет о двух принципиально различных способах расположения прямых.

Отличие между этими способами заключается в том, что для одних непересекающихся

прямых существует плоскость, в которой они лежат (рис. 145, а), а для других — такой плоскости не существует (рис. 145, б).

Прежде всего дадим определение параллельности прямых.

Две прямые пространства называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Таким образом, параллельность прямых а и b в пространстве сводится к их параллельности в некоторой плоскости. Сохраняется и обозначение параллельности: а || b .

Параллельный — от греческого παραλληλοζ , (раrаllelos) — идущий рядом.

Существование параллельных прямых не вызывает сомнений. В каждой плоскости можно провести бесконечное множество

пар параллельных прямых.

Теперь охарактеризуем другой способ расположения непересекающихся прямых в пространстве.

150	Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые пространства, не лежащие в одной плоскости, на-

зываются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые а и b обозначаются так: а · b.

! В дальнейшем, говоря, что «фигуры не лежат в одной плоскости», мы будем понимать под этим, что не существует такой плоскости, в которой находятся данные фигуры (точки, прямые и др.).

Понятно, что скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Иначе они совпадают, если общих точек по крайней мере две, пересекаются в случае одной общей точки. А это означает, что прямые лежат в одной плоскости.

В первую очередь необходимо доказать, что скрещивающиеся прямые существуют (иллюстрации, какие мы привели выше, не могут заменить математического доказательства). Пусть четыре точки А,

В, С, D не лежат в одной плоскости (рис. 146). Их существование является следствием того, что за пре- делами каждой плоскости существуют точки пространства. Отсюда вытекает, что прямые АВ и СD являются скрещивающимися. Иначе они, как и точки А, В, С, D, принадлежащие им, находятся в одной плоскости.

Проведенные рассуждения можно подытожить следующим образом.

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых).

Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они — скрещивающиеся.

Следовательно, прямые в пространстве могут:

1) совпадать, если они имеют по крайней мере две общие точки;

2) пересекаться, если они имеют только одну общую точку; 3) быть параллельными, если они не имеют общих точек

и лежат в одной плоскости; 4) быть скрещивающимися, если они не лежат в одной

плоскости.

Подобная классификация основывается на установлении количества общих точек у прямых, хотя прямые, не имеющие общих точек, пришлось разделить на два класса по другому признаку — принадлежности одной плоскости.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

151

!Понятие параллельности прямых переносится и на от-

резки и лучи: параллельными считают два отрезка, луча, лежащие на параллельных прямых. Аналогич-

ные договоренности касаются и скрещивающихся отрезков, лучей.

Пример 1. На рис. 147 параллелограммы АBСD и АBC1D1 лежат в разных плоскостях. Установить взаимное расположение прямых, определяемых вершинами этих параллелограммов.

 Нахождение взаимного расположения двух прямых, определяемых вершинами каждого из параллело-

граммов, не вызывает трудностей. Это чисто планиметрическая задача. На основе приведенного признака скре-

щивающихся прямых можно утверждать, что скрещивающимися являют-

ся, например, прямые D1C и ВD, D1C

и АВ, D1C и AD, C1D и АС (сколько еще таких пар?).

Есть ли среди указанных прямых параллельные прямые, кроме лежащих в плоскости одного из параллелограммов? Естественно ожидать, что параллельными являются прямые DС и D1C1, С1C и D1D. Обоснование этого предположения требует, как и в планиметрии, соответствующих признаков.

Признаком параллельности прямых в пространстве может служить следующее утверждение, аналог которого хорошо известен из планиметрии.

Теорема 2 (признак параллельности прямых).

Если две прямые пространства параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство приведенного признака параллельности прямых будет приведено позже. Его применение немедленно решает вопрос о параллельности прямых DС и D1C1 из примера 1. Ведь DС || АВ и D1C1 || АВ. Поэтому, по приведенному признаку, DС || D1C1. Из параллельности прямых DС и D1C1 вытекает, что точки D, С, С1, D1 лежат в одной плоскости. А это позволяет завершить рассмотрение всех случаев из примера 1. Например, прямые DD1 и СC1 — параллельны, так как четырехугольник DD1C1C —

152	Параллельность прямых и плоскостей

параллелограмм (DС || D1C1, DС = АВ = D1C1). Но тогда прямые СD1 и DC1 (они содержат диагонали параллелограмма) пересекаются. На этом завершается рассмотрение взаимного размещения всех пар прямых, которые определяются вершинами параллелограммов, изображенных на рис. 147.

По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости. Единственная ли такая плоскость? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 3 (о единственности плоскости, содержащей параллельные прямые).

Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

 Существование такой плоскости вытекает из определения параллельности прямых. Если бы существовали две различные плоскости, проходящие через данные параллельные прямые, то это означало бы, что через одну из параллельных прямых и через точку второй прямой проходят две различные плоскости, а это противоречит теореме 1 §7.

Понятно, что теоремой 3 можно воспользоваться для задания плоскости с помощью двух параллельных прямых.

Пример 2. На рис. 148 точки D, E, F, G — середины соответственно ребер AS, SC, BC, AB тетраэдра ABCS.

1) Установить взаимное расположение прямых AS и GE, DE и GF,

DG и EF.

2) Найти периметр четырехугольника DEFG, если BS = 8 см,

AC = 16 см.

 1) Прямые AS и GE — скрещивающиеся, по признаку скрещивающихся прямых (теорема 1), поскольку точки

A, S, E, G не лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то и точки A,

B, C, S должны были лежать в одной

плоскости, ведь точка B принадлежит

прямой AG, а точка С — прямой SЕ. Прямые DE и GF — параллельны,

по признаку параллельности прямых (теорема 2). Действительно, отрезки

DE и GF параллельны отрезку AC, как средние линии треуголь-

Взаимное расположение двух прямых в пространстве	153
ников ASC и ABC. Аналогично устанавливается параллельность
прямых DG и EF.
2) Из параллельности отрезков DG и EF, DE и GF вытекает, что

четырехугольник DEFG – параллелограмм. Длины его сторон можно найти, пользуясь тем, что его стороны — средние линии соответс-

твующих треугольников. Имеем:	DG = 1 SB = 4 (см),	DE =	1	AC =
	2		2
= 8 (см). Искомый периметр равен 2DE + 2DG = 16 + 8		= 24 (см).
Ответ. 1) AS · GE, DE || GF,	DG || EF; 2) 24 см.

Следующая задача интересна тем, что она позволяет представить конкретную плоскость в виде совокупности параллельных прямых, удовлетворяющих определенному условию. Это понадобится при решении многих задач стереометрии.

Задача 1. Прямые а и b пересекаются. Доказать, что все прямые, параллельные прямой а и пересекающие прямую b, вместе с прямой а образуют плоскость.

 Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Они однозначно определяют плоскость α, содержащую их (рис. 149, а). Через

произвольную точку В прямой b, отличную от А, можно провести прямую с, параллельную прямой а (рис. 149, б). Понятно, что

все эти прямые вместе с прямой а образуют плоскость α.

Каждая прямая с, параллельная прямой а и пересекающая прямую b, принадле-

жит плоскости α. Действительно, через параллельные прямые а и с можно провести

единственную плоскость β, по теореме 3. Тогда плоскости α и β содержат прямую а и точку В, не лежащую на этой прямой. Поэтому плоскости α и β совпадают.

Приведенный выше признак параллельности пря- мых (теорема 2) требует обоснования. Это и будет сделано дальше. Кроме того, рассмотрим полезные свойства, связанные с параллельностью прямых,

наличие которых подсказано геометрией плоскости. Но сначала приведем ещё один признак скрещивающихся прямых, более удобный в некоторых случаях.

154	Параллельность прямых и плоскостей

Теорема 4 (второй признак скрещивающихся прямых).

Прямые а и b скрещивающиеся, если существует плоскость, содержащая прямую а и пересекающая прямую b в точке, не принадлежащей прямой а.

Пусть точки А и В лежат на прямой

аи прямая b пересекает соответствующую плоскость в точке С (рис. 150). Тогда другая точка D прямой b и точки А, В, С не лежат в одной плоскости, поскольку в таком случае это была бы плоскость АВС и прямая b принадлежала бы ей, а не пересекала. Поэтому прямые АВ и СD, то есть a и b, — скрещивающиеся. ■

Теперь перейдем к рассмотрению утверждений, касающихся параллельных прямых.

Теорема 5 (существование и единственность прямой, параллельной данной).

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

 Пусть даны прямая а и точка В, не лежащая на этой прямой. Тогда существует единственная плоскость α, которой принадлежат эти прямая и точка (теорема 1 §7). Из планиметрии известно, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной (рис. 151).

Любая прямая, проходящая через точку В и пересекающая плоскость α, скрещивается с прямой а (рис. 152), по теореме 4. Поэтому существует лишь одна прямая, параллельная данной и проходящая через точку, не лежащую на ней. ■

Изпланиметрииизвестно,чтоеслиоднаиздвухпараллельных прямых на плоскости пересекает некоторую прямую, то и вторая

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

155

прямая пересекает эту прямую. В пространстве это не всегда так (приведите примеры!). Аналогом указанного свойства параллельных прямых на плоскости можно считать следующую теорему.

Теорема 6 (опересеченииплоскостипараллельнымипрямыми).

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

 Пусть прямые a и b параллельны, и точка А является точкой пересечения прямой а с плоскостью α. Тогда плоскость β, в которой лежат параллельные прямые,

пересекает плоскость α по прямой с, проходящей через точку А (рис. 153). Поскольку прямая с лежит в плоскости β и пересекает прямую а в точке А, то и параллельную ей

прямую b она пересечет в некоторой точке В. Точка В и является искомой точкой пере-

сечения прямой b с плоскостью α, так как

В с, а с α. ■

Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы доказать признак параллельности прямых, сформулированный в теореме 2.

Дано: а1 || a3, а2 || a3. Доказать: а1 || a2.

 Необходимо доказать, что прямые а1 и а2 не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. Прямые а1 и а2 не имеют общих точек, иначе через одну точку проходили бы две прямые, параллельные прямой а3, что противоречит теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной (теорема 5).

Проведем через прямую а1 и произвольнуюточкуМпрямойа2 плоскостьα(рис.154). Прямая а2 не может пересекать плоскость

α, ибо в этом случае, согласно теореме 6, ее пересекали бы параллельная ей прямая а3 и параллельная прямой а3 прямая а1. Од-

нако прямая а1 лежит в плоскости α. Следовательно, прямая а2 имеет, кроме точки М, другие общие точки с плоскостью α, а потому, согласно аксиоме С1, она принадлежит

156	Параллельность прямых и плоскостей

плоскости α. Таким образом, прямые а1 и а2 лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то есть они параллельны. ■

Рассмотренный признак параллельности прямых одновременно является и свойством отношения параллельности, которое обычно называют транзитивностью этого отношения.

Транзитивность — от латинского transeo – перехожу, transitus — переход, прохождение.

Пример 3. На рис. 155 изображен прямоугольный параллелепипед АBCDA1B1C1D1, точки О, О1 — центры граней АВСD и А1B1C1D1, K — середина ребра АВ. Установить взаимное расположение прямых: 1) АВ и D1C1; 2) АD1 и ВC1; 3) АA1 и ОO1; 4) АD1

и KC1; 5) АD и KC1.

 Установление взаимного расположения прямых будет состоять из формулировки гипотезы об их расположении, на основе

анализа рисунка, и ее обоснования с помощью определений, свойств и признаков.

1) Прямые АВ и D1C1 — параллельны, по признаку параллельности прямых (теорема 2), поскольку АВ || DС и D1C1 || DС (грани па-

раллелепипеда — прямоугольники!).

2) Прямые АD1 и ВC1 — параллельны. Это вытекает из того, что четырехугольник АD1С1В является параллелограммом. Действительно, по доказанному в 1), АВ || D1C1. Кроме того, АВ = D1C1, так как АВ = DС, D1C1 = DС (противоположные стороны прямоугольника равны!).

3) Прямые АА1 и ОО1 — параллельны, так как, применив предыдущие рассуждения, можно доказать, что четырехугольник АА1С1С является параллелограммом. Точки О, О1 — середины противоположных сторон параллелограмма. Поэтому прямая, проходящая через них, параллельна сторонам АА1 и СС1.

4) Прямые АD1 и KC1 пересекаются. В самом деле, четырехугольник АD1C1K яв-

ляется трапецией с основаниями АKи D1C1

(рис. 156), поскольку АK || D1C1, АK ≠ D1C1.

А в трапеции прямые, содержащие боковые стороны АD1 и KC1, пересекаются.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

157

5) Прямые АD и KC1 — скрещивающиеся, по признаку скрещивающихся прямых (теорема 1), поскольку точки А, D, С1, K не лежат в одной плоскости. ■

Ответ. 1) АВ || D1C1; 2) АD1 || ВC1; 3) АА1 || ОО1; 4) АD1 × KC1; 5) AD · KC1.

Задачи на построение в курсе планиметрии занимает важное место. Это объясняется в первую очередь их прикладной направленностью. С помощью рисунков на листе бумаги можно достаточно точно отобразить отношения между геометрическими объектами. Поэтому плоские фигуры иногда просто отождествляют с их изображениями, как и построение на рисунках с построениями на абстрактных фигурах геометрии.

Не менее важную роль рисунки фигур играют в стереометрии, хотя, конечно, они не могут адекватно отображать все их свойства, отношения между их элементами. Поэтому нельзя полностью отождествлять пространственные фигуры с их изображениями,

и решение задач на построение в стереометрии сводится

к доказательству возможности построения, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы.

Отметим еще, что стремление построить рисунки, более полно отображающие свойства пространственных фигур, требует уточнения самого понятия изображения, разработки правил построения на изображениях, о чем будет идти речь дальше.

Решение задач на построение в стереометрии связано с доказательством определенных утверждений, в частности таких, в которых плоскости определяются с помощью прямых, удовлетворяющих определенным условиям. Примером такого утверждения является задача 1. Рассмотрим ей аналогичную.

Задача 2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Доказать, что все прямые, параллельные прямой a и пересекающие прямую b, лежат в одной плоскости и даже образуют эту плоскость.

 Пусть данные прямые a и b — скрещивающиеся. Проведем через произвольную точку В прямой b прямую а1,

параллельную а (рис. 157). Согласно теореме 5, это построение выполняется

однозначно. Прямые а1 и b пересекаются (почему?). Поэтому они однозначно определяют плоскость β, содержащую их (теорема 2 §7).

158	Параллельность прямых и плоскостей

Проведем в плоскости β через произвольную точку М прямой b, отличную от В, прямую l, параллельную прямой а1. Эта прямая, согласно признаку параллельности прямых (теорема 2), параллельна прямой а. Поскольку через данную точку пространства можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, то множество всех прямых, параллельных прямой a и пересекающих прямую b, лежит вплоскостиβидажеобразуетее,посколькучерезпроизвольнуюточку А плоскости β проходит прямая l, пересекающая b и параллельная а1 (а потому и а) или совпадающая с ней. ■

 Контрольные вопросы

1.На рис. 158, а)–г) изображены два параллелограмма, лежащие в различных плоскостях, и прямые а, b. Как расположены прямые а и b на каждом из рисунков?

2.На рис. 159, а)–г) изображены точки А, В, С, D, не лежащие

водной плоскости, точки М, K — середины соответствующих отрезков, на которых они лежат. Как расположены прямые АС и MK на каждом из рисунков?

3.Всегда ли можно провести плоскость через четыре точки?

4.Существуют ли две прямые в пространстве, через которые нельзя провести плоскость?

5.Могут ли две параллельные прямые пространства не лежать

водной плоскости?

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

159

6.Как могут быть расположены прямые АВ и CD, если прямые AC и BD скрещивающиеся?

7.Принадлежит ли окружность плоскости, если две хорды окружности принадлежат этой плоскости?

8.Всегда ли прямая пространства, пересекающая каждую из двух пересекающихся прямых, лежит с ними в одной плоскости?

9.Одинаковый ли смысл имеют утверждения: «Прямые а и b лежат в различных плоскостях» и «Прямые а и b не лежат в одной плоскости»?

Графические упражнения

1.На рис. 160, а)–г) изображён тетраэдр ABCD и точки M и N на его рёбрах. Укажите на каждом из рисунков прямую, на которой лежит точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

2.На рис. 161 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDА1B1C1D1, точки М, N, Р, K — середины соответственно рёбер B1C1, C1D1, CD, АА1, точка О — центр грани АВСD. Заполните таблицу, указав расположениепрямыха,b (×—пересека- ются, · — скрещиваются, || — параллельны) по приведенному образцу.

	а и b	NP	MN	PK	C1O	MN
	Взаимное
		и AA1	и AA1	и NA1	и AA1	и BD
	расположение
	а × b
	а · b
	а || b	+

NO1 NO1 и MB и BC1

160	Параллельность прямых и плоскостей

3. На рис. 162 изображено два прямоугольника АBСD и АBC1D1, не лежащие в одной плоскости. Точки М, N, Р, Q — середины соответственно сторон ВС, СD, АD1, ВС1. Установите взаимное расположение прямых: 1) РN и QМ; 2) РQ и МN; 3) DQ и МР; 4) РQ и СD; 5) DQ и СР; 6) РD и QС.

Задачи

136°. Два равнобедренных треугольника АВС и АВС1 с общим
основанием АВ лежат в разных плоскостях. Установите вза-
имное расположение прямых, содержащих:
1)	стороны AC и ВС1;			2) стороны AC и AC1;
3)	средние линии треугольников, не пересекающиеся с АВ;
4)	высоты треугольников, проходящие через вершины С
и	С1.
137°. Две трапеции ABCD и ABC1D1 имеют общее основание AB
и лежат в разных плоскостях. Установите взаимное распо-
ложение прямых:
1)	DC и D1C1;			2) AD и BC;
3)	AD1	и DC;		4) D1C и C1D.
138. Точки		А, В, С, D не лежат в одной плоскости, а M, N, P, Q —
середины отрезков АВ, ВС, AD, DC соответственно. Опреде-
лите взаимное расположение прямых:					3) АD и ВС .
1°) PQ и MN;			2°)	QM и PN;

139.Даны плоскость α и отрезок АВ, не пересекающийся с ней. ЧерезконцыотрезкаАВпроведеныпараллельныепрямые,пересекающие данную плоскость в точках А1 и В1 соответственно. 1°) Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью α.

2°) Проведите через середину С отрезка АВ прямую, параллельную прямой АА1, и найдите точку ее пересечения С1 с плоскостью α.

3) Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 3 см, ВВ1 = 4 см.

140.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость α, а через конец В – прямая, пересекающая плоскость α в точке В1. Точка С лежит между точками А и В на отрезке АВ.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

161

1°) Постройте точку пересечения С1 плоскости α с прямой, проходящей через точку С параллельно прямой ВВ1.

2) Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ = 6 см; АС:СС1 = 2 : 5. 141. Плоскость α не совпадает с плоскостью треугольника ABC и проходит через сторону АВ. На продолжении стороны АС

взяли точку С1 так, что С лежит между А и С1.

1°) Постройте точку пересечения В1 плоскости α с прямой, проходящей через точку С1 параллельно прямой СВ.

2) Найдите длину отрезка ВВ1, если АС:АВ = 3:2 и СС1 = 9 см. 142. Плоскость α проходит через боковую сторону АВ трапеции

АВСD, плоскость которой не совпадает c α.

1°) Постройте точку пересечения K прямой СВ с плоскостью α. 2) Найдите длину отрезка KD, если СD:AB = 2:3, а DА = 2 см.

143. Пусть точка D не лежит в плоскости треугольника АВС; М и N, соответственно, — точки пересечения медиан треугольников АВС и DВС.

1°) Определите взаимное расположение прямых АD и ВС,

DМ и АN, АD и MN.

2) Постройте точку пересечения прямой DМ с плоскостью, проходящей через прямую АВ и середину отрезка СD.

3*) В каком отношении прямая АМ делит отрезок DМ? 144. Постройте три прямые, две из которых пересекаются, а тре-

тья скрещивается:

1) с каждой из двух пересекающихся прямых;

2) только с первой из них.

145. Дан куб ABCDА1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через:

1°) вершины А1, В1, D; 2°) ребра А1B1 и СD;

3) вершины А, А1 и центр грани DD1C1C; 4) прямые ВD1 и D1C1;

5*) центры граней А1D1DA, DD1C1C, А1B1C1D1.

146. Постройте сечение тетраэдра SАВС плоскостью, проходящей через:

1°) ребро SА и точку М на ребре ВС;

2°) вершину S и точки М и N, лежащие на рёбрах АВ и ВС соответственно;

3) вершину С и точки M и N, лежащие, соответственно, на гранях ABC и ASC;

162	Параллельность прямых и плоскостей

4*) точки M, N и P, лежащие, соответственно, на прямых SA,

SC и BC.

147.Докажите,чтовсепрямые,пересекающиедвепараллельные прямые:

1°) лежат в одной плоскости; 2) образуют плоскость.

148.Пусть А, В, С — точки окружности, лежащей в плоскости α, а точка D находится вне плоскости. Докажите, что прямые DА, DВ, DС не лежат в одной плоскости.

149.Прямая с пересекает каждую из скрещивающихся прямых а и b. Докажите, что любая прямая, параллельная прямой с, скрещивается с а или с b.

Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, b и c. Постройте прямую, пересекающую:

1) а и b и параллельную c; 2) все три прямые.150*

Упражнения для повторения

151.Пусть две прямые параллельны, а две другие прямые пересекают их в точках А, В, С, D. Равны ли треугольники АВС

и DCB?

152.Диагонали параллелограмма равняются 17 см и 19 см, а стороны относятся, как 2 : 3. Определите длины сторон.

153.Два подобных параллелограмма имеют общую сторону длиной 3 см. Периметр одного из них равен 8 см. Найдите периметр другого.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

163

Итог

Основные определения

Две прямые в пространс-
тве называются парал-
лельными, если они
лежат в одной плоскости
и не имеют общих точек.		a || b
Две прямые в пространс-
тве, не лежащие в одной
плоскости, называются
скрещивающимися.
		a · b

Основные утверждения

Признакпараллель- Если две прямые

ности прямых в параллельны тре- пространстве тьей прямой, то они параллельны меж-

ду собой.

a || b, b || c a || c

Признак скрещива-	Прямые а и b скре-
ющихся прямых	щивающиеся,		если
	существует		плос-
	кость, содержащая
	прямую b и пересе-
	кающая прямую а в
	точке, не принадле-
	жащей прямой b.
Теорема о пересече-	Если одна из двух
нии плоскости па-	параллельных пря-
раллельными пря-	мых	пересекает
мыми	данную	плоскость,
	то и вторая пря-
	мая пересекает эту
	плоскость.

a ∩ α = {M}, b α,

М b a · b

a || b, b × α а × α