§2. вычисления и расчёты

Îдной из основных задач курса математики является формирование прочных вычислительных навыков. Данный параграф посвящ¸н их закреплению и совершенствованию.

1. Вычисления с действительными числами

В младших классах вы выполняли вычисления уст- но,письменно,спомощьювычислительныхсредств. Значительное место занимали вычисления по формулам. Такие вычисления выполнялись как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии, физики и других предметов. Подобная работа будет продолжаться и расширяться в старших классах. Напомним некоторые рекомендации, способствующие упрощению вычислений, дающие возможность избежать ошибок.

1. Не злоупотребляйте калькулятором. Целесообразно некоторые вычисления не поручать калькулятору, а выполнять устно или письменно, что экономит время на их выполнение. Это относится к действиям над обыкновенными дробями, некоторым действиям над арифметическими значениями квадратного корня и т. п.

Пример 1. Вычислить 3+ 2 2 ( 2 −1).

 Применение калькулятора приведет к приближенному результату 0,99999999 и требует выполнения около 10 операций. Несложные преобразования быстро приводят к результату:

3+ 2 2 ( 2 −1)= ( 2 +1)2 ( 2 −1)= ( 2 +1) ( 2 −1)=1 .

2. Применяйте различные частные приемы устных вычислений, законы арифметических действий, различные формулы из алгебры.

Вычисления и расчёты

33

Пример		2. 1) 56 128 25 = 5 612 800:4 = 1 403 200, так как
а 25 = (а 100):4.
2) 26	3		26 +	3		8 = 26 8 +	3	8 = 208+ 6 = 214.
	4	8 =		4			4

3) 2406 :15 = 240+ 6 :15 = 240:15+ 6 :3 :5 =16 + 2 :5 =16 2 .

																			7		35
4)	612								7						7
			= (60 + 1)2					= 602			+2 60 1 + 12				= 3600 + 120 + 1 = 3721.
5)	382		= (40 – 2)2					= 402			– 2 40 2 + 22				= 1600 – 160 + 4 = 1444.
6)	68 52 = (60 + 8) (60 – 8) = 602												– 82 = 3600 – 64 = 3536.
7)	392		– 362				= (39 + 36) (39 – 36) = 75 3 = 225.
8)		4				3			3			3		2	3	2		9	= 2499	40		.
	49				50		= 50−			50+		=	50		−		= 2500−			49
		7				7			7									49
												7			7

9)	673 +533	−67 53 =	(67 +53)(672 −67 53+532 )	– 67 · 53 =
	120		120
= (67 – 53)2 = 196.

3. Прогнозируйте приближенное значение результата

вычислений.

Вычисления желательно начинать с грубого приближенного оценивания искомого результата, округляя все данные и выполняя действия устно или письменно.

Пример 3. Вычислить приближенное значение выражения

0,0045 7,5132:(2,0719 0,864).

 Найдем приближенное значение выражения, воспользовавшись приближениями чисел, входящих в выражения, и законами арифметических действий:

0,004 8:(2 0,9) = 0,016 :0,9 = 0,16 :9 = 0,4 :3 ≈ 0,13.

С помощью калькулятора можно получить более точный резуль-

тат 0,137.

Подобная «прикидка» существенно предупреждает грубые погрешности вычислений. Иногда ее достаточно для решения задачи. Следовательно, вычисления с помощью калькулятора следует совмещать с устными или письменными вычислениями.

4. Придерживайтесь порядка выполнения действий.

При выполнении вычислений следует быть внимательными к порядку выполнения действий. Нарушение установленного порядка может привести к ошибкам.

34	Функции, их свойства и графики

Пример 4. Вычислить значение выражения 722 + 302 .

 Иногда ошибочно извлекают квадратный корень из числа 722, потом – из числа 302, складывают полученные числа 72 и 30 и приходят к неправильному результату 102. На самом деле имеем:

722 + 302 = 5184 + 900 = 6084 = 78. Подкоренное выражение следует воспринимать как выражение, стоящее в скобках. А в скобках сначала выполняют (если эти действия имеются) действия третьейступени(возведениевквадрат,извлечениеквадратногокорня), затемдействиявторойступени(умножениеиделение)и,наконец,— первойступени(сложениеивычитание).Послеэтогоизполученного результата извлекают квадратный корень.

В рассмотренных примерах мы сталкиваемся с такой проблемой: сколько знаков оставлять в окончательном результате, чтобы точность результата соответствовала точности исходных данных? Ответ на этот вопрос требует рассмотрения правил вычислений с приближенными данными. Некоторые из этих правил вы рассматривали в младших классах, например, округление целых чисел и десятичных дробей. Напомним их.

Если десятичную дробь округляют до определенного разряда, то все цифры, следующие за этим разрядом, заменяют нулями или отбрасывают, если они стоят после запятой. Если первой цифрой после этого разряда является 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставленную цифру не меняют. Если же первой цифрой после этого разряда является 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставленную цифру увеличивают на 1.

Проводя по этому правилу округление числа 217,541 до сотых, десятых, единиц, получим: 217,54; 217,5; 218.

При округлении натуральных чисел до некоторого разряда или десятичных дробей до десятков, сотен и т. д. вместо следующих за этим разрядом цифр пишут нули. Например, 547 ≈ 550 (округление до десятков), 3542 ≈ 3500 (округление до сотен), 217,541 ≈ 220 (округление до десятков), 217,541 ≈ 200 (округление до сотен). В последних примерах по записи приближенных чисел невозможно установить, показывают ли нули, стоящие в конце числа, отсутствие единиц соответствующего разряда, или они являются результатом округления. Чтобы избавиться от такой неоднозначности, договоримся записывать результаты округления

Вычисления и расчёты

35

с помощью степеней: 220 = 2,2 102; 200 = 2 102. Следовательно, запись 200 показывает, что число 200 является точным, в нем количество единиц в разрядах единиц и десятков равно нулю, а запись 2 102 — это число может быть результатом округления некоторого числа до сотен.

Выше рассмотрен один из способов округления при- ближенных чисел. Он является наиболее употребительным.Каквматематике,такивееприложениях используют три способа округления: округление с

избытком, округление с недостатком и округление с на-

именьшей погрешностью.

При округлении с избытком цифру последнего разряда, сохраняемого в числе, всегда увеличивают на единицу. Например, при округлении числа 34,27 с избытком до десятых, единиц, десятков получаем, соответственно, 34,3; 35; 4· 101.

Иногда возникают ситуации, когда округлить число целесообразно только с избытком. Например, если буханка хлеба стоит 3 грн. 45 коп., то при продаже ее половины цену 1 грн. 72,5 коп. округляют с избытком. Таким образом, покупатель теряет 0,5 коп.

При округлении с недостатком цифра последнего сохраняемого разряда остается неизменной. Так, округления с недостатком до десятых, единиц, десятков числа 34,27 соответственно равны

34,2; 34; 3· 101.

Например, измеряя размеры оконных рам перед застеклением, полученные показатели целесообразно в разумных пределах округлять с недостатком, поскольку при округлении с избытком оконное стекло может оказаться великоватым.

Округление только с недостатком и только с избытком используют нечасто, ведь при этом теряется точность измерения. Тот способ округления, который рассматривался выше (иногда называют его правилом «пятерки»), можно сформулировать теперь так:

если цифра первого отброшенного разряда меньше 5, то округляют с недостатком, если же больше или равна 5 — с избытком.

Этот способ является способом округления с наибольшей

точностью.

А как оценить точность приближения, в частности точность округления? Естественно точность оценивать с помощью расстояния

36	Функции, их свойства и графики

между двумя числами на координатной прямой, которое равно, как известно, модулю разности этих чисел.

Число а является приближением к числу х с точностью до h, если x −a ≤ h или a−h ≤ x ≤ a+ h.

В рассмотренных примерах можно считать, что результаты округления с избытком 34,0; 35; 4· 101 числа 34,27 имеют соответс-

твенно точность 0,05; 1; 6, поскольку |34,27 – 34,3| = 0,03 < 0,05; |34,27 – 35| = 0,73 < 1; |34,27 – 40| = 5,73 < 6. В то же время точность результатов округления 34,2; 34; 3· 101 с недостатком можно считать равными 0,1; 0,5; 5, так как |34,27 – 34,2| = 0,07 < 0,1; |34,27 – 34| = = 0,27 < 0,5; |34,27 – 30| = 4,27 < 5.

Если найдена точность h приближения числа а к числу х, то это иногда записывают так:

x = a ± h.

Например, запись х = 5,984 ± 0,002 означает, что х равен 5,984

с точностью до 0,002, то есть, 5,984 – 0,002 < х < 5,984 + 0,002, или 5,982 < х < 5,986.

Пример 5. В комнатном термометре верхний конец столбика жидкости находится между отметками 18°С и 19°С. В качестве приближенного значения температуры взяли число 18,5. Оценить точность приближения.

 О результатах измерения комнатной температуры t можно утверждать, что 18 ≤ t ≤ 19. Вычитая из обеих частей этого двойного неравенства приближённое значение 18,5, получим: –0,5 ≤ t –

– 18,5 ≤ 0,5, то есть t −18,5 ≤ 0,5. Таким образом, можно считать,

что точность измерения температуры равняется 0,5: h ≤ 0,5.

Ответ. h ≤ 0,5.

Если обобщить рассмотренный пример 5, то можно прийти к выводу, что точность измерительного прибора устанавливается по цене деления шкалы. Например, если омметр проградуирован через 10 кОм, то с помощью такого прибора можно измерять сопротивление с точностью до 5 кОм.

Вычисления и расчёты

37

9 Контрольные вопросы

1.Как воспользоваться распределительным законом умножения относительно сложения при устном вычислении произве-

дения: а) 26 · 23; б) 47 · 32?

2.Как использовать тождество (10а + b)(10a + c) = 100a(a + 1) +

+bc при а + b = 10 для вычисления произведения: а) 82 · 88;

б) 9993 · 9997?

3.Каквоспользоватьсятождеством(10+а)(10+b)=100+10(а+b)+

+аbдляустноговычисленияпроизведения:а)17·14;б)19·13?

4.Как воспользоваться формулой для разности квадратов двух чисел для вычисления значения выражения:

	а)	532 − 282 ;				б)	852 −362 ?
5.	Как воспользоваться формулой квадрата двучлена для вы-
	числения: а) 872; б) 922?
6.	Пусть		х = 7,7 ± 0,3. Может ли точное значение х равняться:
	а) 7,9;			б) 8,01;		в) 7,89; г) 8;		д) 8,3?
7.	Какое приближение числа π ≈					3,1416 точнее: 3,14 или 3,15?
8.	Как записать, что 17,31 является приближенным значением
	числа		х с точностью до 0,04?
9.	Является ли число 8 приближенным значениям числа 8,7 с
	точностью до:				в) 0,8;		г) 0,75;	д) 0,6?
	а) 0,5;			б) 0,1;
10.	С какой точностью можно измерять силу тока с помощью ам-
	перметра, проградуированного через 2 А?
				2. Процентные расчеты
				Слово «процент» происходит от латинского выраже-
				ния procentum, что означает «вместо ста», или «из
				ста». Поэтому вполне естественным является опре-

деление процента, которое известно еще из 5-го класса.

Процентом любого числа называется сотая часть этого числа.

Из определения процента вытекает, что это понятие является лишь частным способом изображения дробей, знаменатель которых равен 100.

С процентами связаны два типа преобразований, о которых идет речь ниже.

38 Функции, их свойства и графики

1. Представить в виде дроби заданное число процентов.

Задание выполняется приписыванием знаменателя 100 к данному числу процентов, число процентов является числителем. На-

			68		3			5	3		23
	пример, 68% =			= 0,68; 5		% =			4	=		.
		100			4		100				400
	2. Выразить в процентах обыкновенную дробь.

Для этого обыкновенную дробь следует превратить в десятичную с точностью до 0,01; полученная дробь, увеличенная в 100

раз, равняется количеству процентов. Например, 73 ≈ 0,43 = 43%. Постоянный знаменатель существенно облегчает возможность

сравнения различных величин. Поэтому процентные вычисления широко применяются в реальной жизни.

Напроизводствевпроцентахотчитываютсяовыполнениизада-

ния или заказа, выражают изменение производительности труда;

при вычислении состава разных сплавов или растворов находят

процентное содержание веществ-компонентов; в метеорологии в

процентах выражают влажность воздуха. При разработке полез-

ных ископаемых содержание чистого металла в руде выражается

в процентах от количества руды; при выпечке хлеба в процентах

указывают припёк, получаемый во время выпекания, и т. д. Особенно часто процентами пользуются при денежных расчетах.

В практической деятельности различают три типа задач на про-

центы: нахождение процентов от данного числа, нахождение числа

	по его проценту, нахождение процентного отношения двух чисел.
	1. Найти р % от числа а.		p
	Задача сводится к нахождению дроби			от числа а и ре-
		100

шается умножением а на эту дробь: x = 100a p.

2. Найти число, если р % от него равны b.

Задача сводится к нахождению числа по данной величине b его дроби 100p . Задача решается делением b на эту дробь: x = b 100p .

3. Найти, сколько процентов составляет число b от числа а. Необходимо выразить в процентах отношение числа b к а: x = b 100a %.

Вычисления и расчёты			39
		Как отмечалось выше, особое место в приложениях
		занимают задачи на проценты, связанные с финан-
		совыми операциями. В задачах этого типа могут
		рассматриваться такие величины:
1)
	начальный капитал (а);
2)	процентная ставка (р) или плата за использование денеж-
ных средств;
3)	время (t) использования средств;
4)	процентные деньги (Р), или прибыль от инвестиции;
5)	наращенный капитал (А): А =		а + Р.

Различают простые и сложные процентные ставки. Проценты

называются простыми, если проценты на проценты не насчи-

тываются. В противном случае проценты называют сложными.

Можно выделить такие четыре типа задач на процентные вычисления, связанные с финансовыми операциями:

1) задачи на нахождение начисленных процентных денег;

2) задачи на нахождение процентной ставки;

3) задачи на нахождение времени;

4) задачи на нахождение начального капитала.

Найдем общую формулу для процентных вычислений, связан-

ных с финансовыми операциями при простых процентах, воспользовавшись приведенными выше обозначениями.

По определению, процентная ставка показывает, что за едини-

цу времени (год, месяц и т. п.) процентные деньги составляют				p
			100
от начального капитала. Следовательно, начальный капитал
а грн. дает за определенную единицу времени a	p	(грн.) про-
100

центных денег. При t единицах времени процентные деньги, на-

численные на тот же капитал и при той же процентной ставке, вырастут в t раз. Таким образом,

P = a100p t .

Пользуясь этой общей формулой простых процентов, можно

найти значение любой из четырех величин по данным значениям

трех других. Заменив Р в формуле А = а + Р его значением						apt	,
получим:						100
	apt			pt
A = a +	100	,	A = a 1 +		.
				100

40	Функции, их свойства и графики

Аналогичные задачи возникают и в других сферах деятельности человека.

Пример 6. Производительность труда увеличилась на 25%. На сколько процентов уменьшилось время, необходимое для производства детали?

 Обозначим начальную производительность труда и время, необходимое для производства детали, соответственно через а и b. Объём работы равен аb. После повышения производительность труда составила 1,25а. Чтобы найти время х, необходимое для производства детали с увеличенной производительностью труда, необходимо объем работы аb разделить на производительность

труда 1,25а. Получим: x = 1,25aba = 0,8b , что составляет 80% от начального времени. Следовательно, время, необходимое для производства детали, уменьшилось на 20%.

Ответ. На 20%.

!Чтобы избежать ошибок при решении задач на проценты, необходимо определиться в каждом частном случае, что принимается за целое, за 100%.

Пример 7. Сначала заработную плату повысили на 20%, потом — на 10%. На сколько процентов повысилась заработная плата по сравнению с первоначальной?

 За 100% принимается начальная заработная плата, обозначим ее через а. После первого повышения она выросла на 20% и составила а + 0,2а = 1,2а. Второе повышение составило 10% от повышенной платы, то есть 10% от 1,2а. Вычисляем 10% от этой

величины: 1,2a 10 = 0,12a . Следовательно, после второго повы-

100

шения заработная плата равнялась 1,2а + 0,12а = 1,32а. По сравнению с начальной она выросла на 0,32а, что от начальной зара-

ботной платы составляет 0,3a2a 100% = 32% .

Ответ. На 32%.

Пример 8. Какую сумму необходимо инвестировать под простые проценты при ставке 12% годовых, чтобы за 5 лет накопить

10 000 грн.?

Вычисления и расчёты		A				10000		10000	41
 Имеем: a =				=			=		= 6250(грн.)
			pt		1 + 0,12 5			1,6
1 +
			100
Ответ. 6250 грн.

Пусть банк выплачивает простые проценты по ставке р% за

год, причем эта ставка действует в течение двух лет. Вкладчик в начальный момент t = 0 открывает счет с начальным вкладом

а грн., который можно пополнить или закрыть в любое время. Если вкладчик закроет счет через год, то, согласно формуле про-

	стых процентов, он получает сумму			p		грн. Если вклад-
		a 1 +
			100

чик эту сумму положит еще на один год, то в конце второго года он

получает

p

p

p 2

2p

p

2

a 1 +

1 +

= a 1 +

= a 1 +

+

100

100

100

100

100

грн. Если же он не будет через год забирать принадлежащую ему
сумму, то			через два года	после			открытия счета		он получает
	2p					p		2
a 1 +			грн., то есть на	a				грн. меньше,	чем в случае,
					100
	100

	описанном выше. Дополнительная сумма			p		2
		a				является про-
			100

центами, которые начислены на проценты за второй год. Во избежание лишнего переоформления вкладов и для стимулирования

клиентов делать долгосрочные вклады, в коммерческой практике принято платить так называемые сложные проценты.

Пусть вкладчик положил на свой счет в банк а грн. Банк насчитываетежегоднопосхемесложныхпроцентовр%.Черезгоднасчету

	этого вкладчика будет a + a		p			p		грн. Через два года —
				= a 1 +
		100			100

p

p

p

p

2

a 1 +

+ a 1 +

= a 1 +

грн. Точно также можно

100

100

100

100

			p		3
	вычислить,чточерезтригоданасчетевкладчикабудет a 1 +				грн.
		100

Черезt летнасчетевкладчикабудет A = a 1 +			p t		грн.
t		100

42	Функции, их свойства и графики
Пример 9.	Вкладчик внес на свой банковский счет 1000 грн.

Ежегодно банк насчитывает своим вкладчикам 10% по схеме

	сложных процентов. Какой будет сумма на счете вкладчика через
	три года?
	 По			полученной			формуле, искомая сумма составляет
				10		3	3
	1000 1 +					=1000 1,1 =1000 1,331 =1331.
		100

Ответ. 1331 грн.

9 Контрольные вопросы

1°. В классе 35 учащихся. Спортом занимаются 80% школьников. Сколько учащихся не занимаются спортом?

2°. На уроке отсутствуют 4 ученика, что составляет 12,5% от числа учеников этого класса. Сколько всего учеников в классе?

3°. При выпекании хлеба на 5 кг муки приходится 2 кг припёка. Сколько процентов составляет припёк: а) от массы муки; б) от массы хлеба?

4. Кредит выдан на 1 год под 20% годовых. Через год нужно возвратить 3000 грн. Какая сумма выдана в кредит?

5. Сторону правильного треугольника увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?7.

Задачи

23°.Вычислите значение выражения без калькулятора. Резуль-
тат проверьте с помощью калькулятора.
1) 2	1	+3		2		3 −6			1	;	2)		3	1		−3		5		1	+	1	1	;
	3			3					6					4				8	:2	4			5
3) 12,8 :0,64 +3,05:0,05;											4)	2− 3					+ 2+ 3				;
				2		2			−2			2+				3		2−		3
		3 3				:1 9
5) (3 18 −5 2)2 ;											6)		2− 3 2+ 3.
24. Вычислите без вычислительных средств:
1°) 87 93;									2°) 712;		3°) 482;									4°)			342 −302 ;
5°) 29			4	30			7	;			6)	473 +333							−47 33 ;
															80
		11				11

Вычисления и расчёты

43

473 333

7)240 + 47 33;

25.Для покраски пола размерами 12,0 м × 4,0 м израсходовали 5,28 кг краски. Сколько краски нужно для покраски пола комнаты размерами 5,2 м × 4,6 м? Вычисления проведите с точностью до 0,1 кг.

26.Длина футбольного поля равна 110 м, ширина — 75 м. Каково наибольшее расстояние между угловыми флажками? Вычисления проведите с точностью до 1 м.8) 842 +352 .+

27°.Запишите в виде двойного неравенства:	± 5; 4) х = 5,2 ± 0,1.
1) х = 15 ± 0,3; 2) х = 14,7 ± 0,2; 3) х = 100

28°.Вотделетехническогоконтроля(ОТК)заводаизмеряютдиаметр вала с точностью до 0,1 мм. Согласно таблице допусков, диаметр вала должен удовлетворять условию 167,8 мм < d < 168 мм. Забракует ли ОТК вал, если по результатам измерений его диаметр равен:

1) 168,1 мм; 2) 167,6 мм; 3) 168,0 мм; 4) 168,4 мм?

29°.Округлите с заданной точностью:

1) температуру плавления меди 1083° С до десятков;

2) температуру плавления вольфрама 3370° С до сотен; 3) удельную теплоемкость спирта 2,42 кДж/(кг · К) до десятых.

30. Имеются числа: 72; 3112 ; 138 . Запишите каждое из них в

виде десятичной дроби с точностью до 0,001.

31. Докажите, что каждое из чисел 0,11 и 0,12 является приближен-

ным значением числа 1 с точностью до 0,01. Какое из них явля-

9

ется приближенным значением числа 1 с точностью до 0,005?

9

32°.Цена товара повысилась на 20%, потом новая цена уменьшилась на 17%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной?

33°.Три литра 30%-го раствора спирта смешали с 5 литрами 20%-го раствора спирта. Каким стала процентная концентрация спирта в полученном растворе?

34°.Чтобы получить раствор формалина для консервирования препаратов к 0,5 л 40%-го раствора формалина добавили 9,5 л воды. Определите концентрацию раствора.

44	Функции, их свойства и графики

35.Сплавили 180 граммов золота 920-й пробы со 100 граммами 752-й пробы. Какой пробы получили сплав?

36.В городе с населением 57 100 лиц было проведено медицинское обследование с целью определения доли людей с определенной группой крови. Оказалось, что 18 786, 20 442, 13247, 4 625 лиц имеют соответственно І, ІІ, ІІІ, IV группы крови. Какой процент жителей города имеют І, ІІ, ІІІ, IV группы крови?

37.Масса куриного яйца равна 58 г. Белок составляет 55,8% от общей массы, желток — 31,9%, скорлупа — 12,3%. Какова масса каждой из этих составляющих?

38.Заработная плата повышалась дважды, причем процент повышения во второй раз был вдвое большим, чем в первый раз. В результате она повысилась в 1,32 раза. На сколько процентов повышалась заработная плата каждый раз?

39.Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов следует ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?

40.Руда содержит 40% примесей, а металл, выплавленный из нее, — 4% примесей. Сколько выплавлено металла из 24 тонн руды?

Договор предусматривает такую схему начисления простых процентов за предоставленный кредит: за первый квартал — 10% ежемесячно, за второй и третий кварталы — 15% ежемесячно, за четвертый квартал — 20% ежемесячно. На сколько процентов вырастет долг за год?

Население города ежегодно растет на 3% по сравнению с предыдущим годом. На сколько процентов вырастет население этого города за 15 лет?

Упражнения для повторения

43.Функция задана формулой: y = 12x − 4 .

1)Постройте ее график.

2)Найдите точки его пересечения с осями координат.

3)Найдите значение функции при х, равном: –4; 0; 12.

4)При каком значении х значение функции равно: 1; 0; –7?

44.Постройте графики функций у = 0,8х – 0,7 и у = –1,5х + 4,4. Найдите по рисунку координаты точек пересечения графиков.

45.В каких координатных четвертях находится график функции y = kx, если k < 0; k > 0?

Вычисления и расчёты

45

Итог

Основные понятия

Геометрическая Определение интерпретация, Применение

примеры

Число

а

является

Оценивание

точ-

приближением

к

ности округлений,

Любое число из за-

числу

х с точностью

сравнениеразлич-

до h,

если

x − a

≤ h

штрихованного

про-

ных приближений

межутка

является

или a −h ≤ x ≤ a + h.

одной величины.

приближенным

зна-

чением к х

с точнос-

тью до h.

Процентом любого чис-

1% = 0,01.

Для

оценивания

ла называется

сотая

различных

вели-

часть этого числа.

чин;

содержания

составляющих в

различных

пред-

метах,

коллекти-

вах; при денежных

расчетах и т. п.

Основные утверждения

Еслицифрапервогоотброшенно-

35,43 ≈ 35,4,

го разряда меньше 5, то округля-

35,47 ≈

35,5.

ют с недостатком, если же боль-

ше или равна 5 — с избытком.

Формула сложных процентов

A = a 1 +

p t , где:

t

100

а — начальное значение вели-

чины,

р — процент, на который уве-

личивается

значение

вели-

чины

за

единицу времени,

t —количествоединицвремени,

Аt

— значение величины через

t единиц времени.