§14. основные соотношения между тригонометрическими функциями

В данном параграфе устанавливаются соотношения между тригонометрическими функциями, которые позволяют по зна­ чению одной из функций при определенных условиях нахо­ дить значения всех остальных. Ðассматриваются также фор­ мулы, сводящие вычисление значений тригонометрических функций в произвольной точке к вычислению их значений для

аргумента из промежутка 0;	π	.
	2

1. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Найдемсвязьмеждусинусоми

косинусом одного и того же ар-

гумента. Пусть Рt(х(t); у(t)) —

точка тригонометрической окружности, со-

ответствующая числу t (рис. 294). Тогда, по

определению синуса и косинуса, имеют мес-

то следующие равенства:

x(t) = cos t, у(t) = sin t.

Так как точка Pt лежит на тригонометрической окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Поэтому для произвольного t выполняется равенство:

cos2t + sin2t = 1.

Это равенство называется основным тригонометричес-

ким тождеством.

К основным соотношениям между тригонометрическими функциями одного аргумента относят также равенства:

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

261

tgt = sincostt ; ctgt = sincostt .

Из приведенных выше равенств вытекают другие зависимос-

ти между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

				2	1			2	1
			tgt ctgt =1,	1 + tg t =			,	1 + ctg	t =		.
					cos2 t					sin2 t
	Первое из этих соотношений является простым следствием оп-
ределений тангенса и котангенса.								Докажем	второе. Имеем:
		2	sin2 t	cos2 t + sin2 t	1			. Третьесоотношениедока-
1	+ tg		t =1 + cos2 t =	cos2 t	=
						cos2 t

зывается аналогично. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

!Приведенные соотношения позволяют по значению одной из тригонометрических функций числа t вычислять квадраты значений других. Например, если

cost = 13 , то sin2 t =1 − cos2 t =1 − 19 = 89 . Для нахождения са-

мих значений нужна дополнительная информация, которая бы позволила установить их знаки.

В предыдущем параграфе рассматривались примеры, где приходилось определять знаки значений тригонометрических функций, пользуясь их определениями. Обобщим эти рассуждения, установив, при каких значениях аргумента тригонометрические функции принимают положительные значения, а при каких — отрицательные.

Синус числа t — это ордината точки Pt (см. рис. 294). Положительными являются ординаты тех точек, которые расположены над осью абсцисс, то есть находящихся в первой или во второй четверти. Если точка Pt расположена под осью абсцисс, то есть в третьей или в четвертой четверти, то ее ордината отрицательна

(рис. 295).

Свойство 1. Синус числа t принимает положительные зна-

чения, если точка Pt находится в первой и второй четвертях, а отрицательные — если в третьей и четвертой.

Далее рассуждаем аналогично. Косинус числа t — это абсцисса точки Pt. Положительными являются абсциссы тех точек, которые расположены правее оси ординат, то есть находящихся в первой

262

Тригонометрические функции

или в четвертой четверти. Если точка Pt расположена левее оси ординат, то есть во второй или в третьей четверти, то ее абсцисса отрицательна (рис. 296).

Свойство 2. Косинус числа t принимаетположительныезна-

чения, если точка Pt находится в первой и четвертой четвертях, а отрицательные — если во второй и третьей.

Согласно определению, tgt = sincostt , ctgt = sincostt , поэтому tg t и ctg t принимают положительные значения, если sin t и cos t имеют

одинаковые знаки. Соответственно, tg t и ctg t принимают отрицательные значения, если sin t и cost имеют различные знаки

(рис. 297).

Свойство 3. Тангенс и котангенс числа t принимают поло-

жительные значения, если точка Pt находится в первой и третьей четвертях, а отрицательные — если во второй и четвертой.

Пример 1. Определить знаки чисел: 1) cos 230°; 2) sin 79π ;

3)tg 95π .

1) Определим, в какой четверти находится точка тригонометрической окружности, определяющая угол вращения 230°. Имеем: 180° < 230° < 270°. Поэтому указанная точка лежит в третьей четверти. Косинус в третьей четверти принимает отрицательные значения. Поэтому cos 230° < 0.

2) Определим сначала, в какой четверти находится точка три-

гонометрической окружности, соответствующая числу 79π . По-

Основные соотношения между тригонометрическими функциями							263
скольку π	< 7π < π, то числу 7π соответствует точка, находящая-
2	9		9
ся во второй четверти. Поэтому sin 7π				> 0.
			9
3) Поскольку 3π			< 9π < 2π, то точка	P9π	расположена в четвер-
	2		5	5
той четверти и tg		9π	< 0.
	5				9π
Ответ: 1) cos 230° < 0; 2) sin 7π >0; 3) tg						< 0.
					5
			9

2< t < π . Найти sin t, tg t.

Из тождества sin2t + cos2t = 1 находим: sin2t = 1 – cos2t =

=1 −(−0,6)2 = 0,64 . Поскольку 2π < t < π , то точка Pt расположена воπ

	второй четверти и sin t > 0 . Поэтому sint = 0,8; tgt = sint					= − 4			.
	Ответ: 0,8; − 4 .			cost			3
	3
	Пример 3. Упростить выражение cos2 α −(ctg2α +1)sin2 α.
	 Применяя последовательно равенство 1 + ctg2 t =					1			и ос-
					sin2 t
	новное тригонометрическое		тождество, будем иметь:				cos2 α −
	−(ctg2α +1)sin2 α= cos2 α −	1		sin2 α = cos2 α −1 = −sin2		α.
		2	α
	Ответ: –sin2α.	sin

При выполнении преобразований тригонометри- ческих выражений, как и алгебраических, области их определения могут изменяться. Так, в примере 3 данное выражение определено при всех действи-

тельных значениях α, кроме α = πп, п Z. Упрощённое выражение определено при всех действительных значениях α. Чтобы не усложнять запись, обычно договариваются, что равенство данного выражения и упрощенного, полученное с помощью преобразований, выполняется для всех значений переменных, при которых определены оба выражения.

264 Тригонометрические функции

Рассмотрим более сложные примеры на применение основных тригонометрических соотношений.

Пример 4. Определить знаки чисел: sin2; cos3; tg4; ctg5.
 Отметим на тригонометрической ок-
ружности точки Р2, Р3, Р4, Р5			(рис. 298). Учи-
тывая, что sin 2 — это ордината точки Р2,
приходим к выводу, что sin 2 > 0. Поскольку
cos 3 — это абсцисса точки			Р3, то cos 3 < 0.
Знаки tg4 и ctg 5 определим, пользуясь оп-
ределениями		тангенса	и котангенса:
tg4 = sin 4	> 0,	так как sin 4 < 0, cos 4 < 0,
cos4
ctg5 = cos5	< 0 , ибо sin 5 < 0, cos 5 > 0.
sin5

Ответ: sin2 > 0; cos3 < 0; tg4 > 0; ctg5 < 0.

Пример 5. Доказать, что:

sin3 α(1 − ctgα) − cos3 α(1 − tgα) = sin α − cosα .

 Воспользовавшись определениями tgα и ctgα и основным
тригонометрическим тождеством, получим:
sin	3	3	α(1 − tgα) = sin	3		cos α	− cos	3		sin α	=
		α(1 − ctgα) − cos			α 1 −				α 1 −
						sin α				cosα

= sin

3

sin α − cosα

− cos

3

cosα −sin α

= sin

2

α(sin α − cosα)−

α

sin α

α

cosα

– cos2 α(cosα −sin α) = (sin α − cosα)(sin2 α + cos2 α)= sin α − cosα.

Обратите внимание на то, что в примере 5 выражения, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют различные области определения, но их значения на общей части областей определения совпадают.

 Контрольные вопросы

1°. Какому уравнению удовлетворяют координаты всех точек тригонометрической окружности?

Основные соотношения между тригонометрическими функциями					265
2°.	Могут ли синус и косинус одного и того же аргумента равнять-
	ся соответственно: а) 0 и 0; б) 1 и 0; в) 1 и –1; г) 0,6 и 0,8; д) 0,5
	и 0,5?
3.	Верно ли, что cos t = 3 , если sint =			4 ?
4.			5	5
	Могут ли тангенс и котангенс одного и того же аргумента рав-
	няться соответственно: а°) 1 и 0; б°) 1 и 1; в°) 1 и –1; г)				3 и 1 ;
	д) 2 + 3 и 2 − 3 ; е) 1 + 2 и 1 − 2 ?				3
5.	Для каких точек Pt тригонометрической окружности имеют
	различные знаки: а) sint и cos t; б) sin t и tg t?
6.	Где расположена точка Pt на тригонометрической окружнос-
	ти, если: а°) sin t > 0; б°) tg t < 0; в) cos 2t < 0; г) sin tcos t < 0;
	д) |sin t| = – sin t?
			2. Формулы приведения
		Существуют формулы, которые сводят вычисление
		значений тригонометрических функций для произ-
		вольного аргумента к вычислению их значений на
			π
промежутке 0;			. Эти формулы называют формулами приве-
			2
дения.
	Формулы приведения базируются на определениях тригоно-

метрических функций и свойствах геометрических преобразований — поворотов. Рассмотрим на тригонометрической окружнос-

ти точку Pt (рис. 299). Точку Pt+π					можно получить из точки Pt
поворотом на угол π. Поэтому точки Pt и Pt+π симметричны относи-
тельно начала координат. Их координаты — противоположные
числа. Следовательно, имеют место следующие формулы:
		cos(π +t) = −cost;			sin(π +t) = −sint .

266	Тригонометрические функции

ТочкиPt, Pπ−t симметричныотносительноосиординат(рис.300).

Они имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Это вытекает из того, что точки Pt и P−t симметричны относитель-

но оси абсцисс, а точки P−t и Pπ−t симметричны относительно начала координат. Поэтому справедливы следующие формулы:

cos(π −t) = −cost; sin(π −t) = sint .

Точки P-t и P2π−t совпадают (2π — полный оборот!) (рис. 301), поэтому точки Pt и P2π−t симметричны относительно оси абсцисс, у

них одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Соответствующие формулы имеют вид:

cos(2π −t) = cost; sin(2π −t) = −sint .

Так как точки Pt и P2π+t совпадают, то имеют место следующие формулы:

cos(2π +t) = cost; sin(2π +t) = sint .

!Основной особенностью приведенной группы формул является то, что в них участвует лишь одна тригонометрическая функция. Существует еще одна группа формул приведения для синуса и косинуса. Она отличается тем, что в каждой формуле содержатся обе эти тригонометрические функции.

	π			= cost,			π			= sint;
sin	2	−t				cos	2	−t
	π			= cost,			π			= −sint;
sin	2	+t				cos	2	+t
	3π				= −cost,		3π				= −sint;
sin	2		−t			cos	2		−t
	3π				= −cost,		3π				= sint.
sin	2		+t			cos	2		+t

Обоснуем приведенные формулы позже.

Формулы приведения для тангенса и котангенса вытекают из

определений этих функций и соответствующих формул для сину-
са и косинуса. Например,
tg (π +t) = sin (π +t) =	−sint	= tgt;
cos(π +t)	−cost

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

267

π

π

cos

2

+t

−sint

+t

= −tgt.

ctg

2

=

=

cost

π

sin

2

+t

Обобщенно формулы приведения представлены в таблице 29.

Таблица 29

Аргумент

π −t

π

3π

3π

+t

π −t

π +t

−t

+t

2π −t 2π +t

Функция

2

2

2

2

sin

cos t

cos t

sin t

–sin t

–cos t

–cos t

–sin t

sin t

cos

sin t

–sin t

–cos t

–cos t

–sin t

sin t

cos t

cos t

tg

ctg t

–ctg t

–tg t

tg t

сtg t

–ctg t

–tg t

tg t

ctg

tg t

–tg t

–ctg t

сtg t

tg t

–tg t

–ctg t

ctg t

Анализируя таблицу, можно сформулировать так называемое мнемоническое правило, которое позволяет лучше запомнить формулы приведения.

1) В формуле приведения функция не меняется, если к аргументу прибавлять ± π или же ±2π, и меняется (синус на

косинус, тангенс на котангенс, косинус на синус, котангенс на тангенс), если прибавлять числа ± π2 или ±32π .

2) Полученная функция в правой части равенства берется со знаком, совпадающим со знаком значения левой час-

ти, если считать, что 0 < t < π2 .

Пример 6. Найти cos(270° – α).

 В первую очередь, замечаем, что выражение содержит угол 270° или 32π рад. Поэтому функция меняется, и в правой части

равенства должен стоять sinα. Чтобы определить знак перед sinα, предполагаем, что угол α — острый. Тогда точка Р270°–α лежит в третьей четверти тригонометрической окружности. Но косинус в третьей четверти отрицателен. Поэтому перед sinα следует поставить знак «–» . Следовательно, cos(270° – α) = –sinα.

Ответ: –sinα.

268	Тригонометрические функции

Пример 7. Вычислить: 1) sin116π; 2) cos 54π; 3) tg 43π; 4)sin1020°.

 Для выполнения первых трех заданий представим число, стоящее под знаком тригонометрической функции, в виде суммы

или разности чисел π или 2π и некоторого числа, меньшего								π	, и
								2
применим соответствующую формулу приведения. Необходимые
пояснения приведены при решении примера 6:
1) sin	11π		π	π	= −	1	;
	6	= sin 2π −	= −sin	6		2
			6

2)

cos

5π

= cos

π

= −cos

π

= −

2

;

4

π +

4

4

2

3)

tg

4π

π

= tg

π

=

3 .

3

= tg π +

3

3

В последнем задании выделим из приведенного угла враще-

ния полные обороты, меры которых кратны 360°, их можно отбро-

сить. Далее применяем формулу приведения.

4) sin 1020° = sin(2 · 360° + 300°) = sin 300° = sin(360° – 60°) =

= –sin 60° = −

3

.

2

Ответ.

1) −

1 ; 2) −

2

; 3)

3; 4) −

3 .

2

2

2

Теперь обоснуем формулы, в которых к аргументу

добавляются π

или

3π . Возьмем две точки P

и P

2

2

0

π

(рис. 302). Они симметричны друг другу относи2-

тельно биссектрисы первого и третьего коор-

динатных углов. Чтобы построить точку Pt,

нужно продвинуться по окружности от точки

Р0 на расстояние

t

в определенном направ-

лении. Чтобы построить точку

Pπ

,

нужно

2 −t

на такое же расстояние продвинуться по ок-

ружности от точки Pπ ,

но в противополож-

2

и Pπ −t

ном направлении. При этом точки Pt

2

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

269

при любом t будут оставаться симметричными относительно указанной прямой.

Отсюда вытекает, что ордината первой точки совпадает с абсциссой второй, а ее абсцисса — с ординатой второй, то есть

π			= cost;	π			= sint .
sin	2	−t		cos	2	−t

Все остальные формулы обосновываются с помощью этих и ра-

нее полученных формул:

π

π

π

−t

sin

2

+t

= sin

π −

2

+t = sin

= cost;

2

π

π

π

= −sint;

cos

2

+t

= −cos π −

2

+t

= −cos

2

−t

3π

−t

= sin

π +

π

= −sin

π

= −cost;

sin

2

−t

2

−t

2

3π

−t

π +

π

= −cos

π

= −sint.

cos

2

= cos

−t

2

−t

2

3π

+t

π +

π

= −sin

π

= −cost;

sin

2

= sin

+t

2

+t

2

3π

+t

π +

π

= −cos

π

= sint.

cos

2

= cos

+t

2

+t

2

Для тангенса и котангенса количество формул приведения можно уменьшить. Дело в том, что тангенс и котангенс произвольного аргумента можно свести к этим функциям аргумента из промежутка [0; π]. Действительно, каждой точке на линии тангенсов или линии котангенсов соответствует бесконечное множество чисел t + πn, n Z, поэтому тангенс и котангенс для t + πn при всех n Z принимают одно и то же значение:

tg (t + πn) = tg t, ctg (t + πn) = ctg t.

Пользуясь этим выводом, для перехода к тангенсу или котангенсу острого угла достаточно знать формулы тангенса или котан-

	генса для	π	±t, π −t	(90° ±t,180° −t).
		2			17π; 2) ctg	11π
	Пример 8. Вычислить: 1) tg						.
						4
					6

 Выделим из аргумента целое число значений π.

270

Тригонометрические функции

1)

17π

2π +

5π

5π

π

π

1

;

tg

6

= tg

6

= tg

6

= tg

π −

6

= −tg

6

= −

3

2)

ctg

11π

3π

= ctg

3π

= ctg

π

π

= −1.

4

= ctg 2π +

4

4

π −

= −ctg

4

1

4

Ответ:

−

;

− 1.

3

 Контрольные вопросы

1.Как расположены на тригонометрической окружности друг

	относительно друга точки: а°)				Pπ+t			и Pt ; б°) Pπ−t и Pt ; в) Pt и
	Pπ −t ; г) Pt			и P3π −t ?
	2			2
2°.	Какая точка симметрична точке Pt тригонометрической ок-
	ружности относительно: а) начала координат; б) оси ординат;
	в) оси абсцисс?
3.	Какие координаты имеет точка тригонометрической окруж-
					3	;	4
	ности, симметричная точке P				5		5	относительно: а°) начала
	координат; б°) оси ординат; в°) оси абсцисс; г) прямой у = х;
	д) прямой у = – х?
4.	Как можно представить угол 112°, чтобы, воспользовавшись
	формулами приведения и значениями тригонометрических
	функций острых углов, вычислить cos 112°?
5.	Чему равно выражение:
	а) sin (π +1)+ sin1;				б) sin (π +1)+ sin (π −1);
		π
	в) cos	2	+1 + sin1?

6.Верно ли утверждение, что косинус суммы двух углов треугольника равен косинусу третьего угла?

7.Чему равен тангенс тупого угла параллелограмма, если тангенс острого угла равен 32 ?

Задачи

259. Определите знак выражения:		3°) sin 4πcos 9πtg 2π
1°) sin 65°;	2°) tg 147° sin 269°;				;
		5	7	9
4) sin(−2) cos2 tg(−3) ;		5*) sin 3πtg 7πcost .
		5	9

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

271

260. Пусть 0 < α < 2π . Определите знак выражения:

1°)	π			;	2°)	π			;	3) sin (2α − π);
	sin	2	− α			cos	2	+ α

4) tg (α − π);	5) cos(π − α);	6)		2π −	α
			ctg		2	.

261.Вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если:

		1°) sint = −0,8;								3π	< t < 2π		;	2°) cost = −	12		; π < t <	3π	;
										2					13
																	2
		3)	tgt = −2,4;						π	< t < π ;				4) ctgt = 3; 0 < t < π ;
									2	< t < 3π ;						5	2
		5°) sint =0,6;							π					6°) cost = −			; π < t < 2π .
									2						13
	262.									2
		Найдите координаты точки Pt на тригонометрической ок-
		ружности, если:
		1)	ctgt = −				5	;	2) tgt = −			4	;	3) ctgt = 2 + 3; 4) tgt =1 + 2 .
	263.				12							3
		Вычислите:
		1)		tg α			, если sin α = −						2	и ctg α > 0;
			1 − cosα										3

2) 1 +ctgsinα α , если cosα = −43 и ctg α < 0.

264.Упростите выражение:

sin2 α −1

cos2 α −1

1°)

1 − cos2 α;

2) 1 −sin2 α;

3°)

cosαtgα −sin α;

4°)

cosα −sin αctg α;

5°) cos2 α + ctg2α + sin2 α;

6°) cos2 α + tg2α + sin2 α;

2

1

;

8) 1 + tg

2

1

;

7) 1 + ctg

α +

α +

cos2 α

sin2 α

9)

1 + ctg2α ;

10)

1 + tg2α

;

1 + ctg2 α

1 + tg2α

α + cos

α ;

12)

;

11) sin

2

α −sin

4

4

2

4

4

13) (tg α + ctg α)(1 + cosα)(1 − cosα);cos

α − cos

α + sin

α

272	Тригонометрические функции

14) (tg α + ctg α)(1 + sin α)(1 −sin α) ;

15*)

tgα

;

16*)

ctg α

.

1 + tg2

α

1 + ctg2α

265. Докажите, что:

1°)

1

+

1

=

1

;

sin2

α

cos2

α

sin2 α cos2

α

2)

ctg2α − tg2α = cos2 α −sin2 α;

sin2 α cos2 α

3°) cos4 α −sin4 α =1 −2sin2 α;

4°) sin4 α − cos4 α =1 −2cos2 α;

5)

tg2α −sin2 α = tg2α sin2 α;

6) ctg2α − cos2 α = ctg2α cos2 α;

7)cos2 α + 2sin2 α + sin2 αtg2α =

1

;

cos2

α

8)

sin2 α + 2cos2 α + cos2 αc tg2α =

1

.

sin2 α

266°. Вычислите значения тригонометрических функций для сле-

дующих углов:

3) 150°;

4) 210°;

5) 225°;

1)

120°;

2) 135°;

6)

240°;

7) 300°;

8) 315°;

9) 330°;

10) 390°.

267°. Пользуясь формулами приведения, вычислите:

1)

sin

19π

;

2) cos

11π

;

3) tg

11π

;

4) ctg

31π

;

6

7π

3

13π

4

4π

6

7π

5)

−

;

7) tg

−

−

sin

3

6) cos −

;

3

;

8) ctg

4

.

6

268°. Вычислите значение выражения:

1) cos 990°

– sin 780° – ctg 945°;

2) tg 1080°

– sin 855° + cos 1305°;

3)

3cos 1860°

+ sin(–1920° ) + cos(–630°);

4) cos 2850°

– cos (–765°) + tg 1035°.

269. Сведите к тригонометрическим функциям положительного аргумента, меньшего π:

1)9 ; 2) cos 359π; 3) tg 3512π; 4) ctg 185π.

270.Сведите к значению тригонометрической функции для числа из отрезка 0; π :

4sin 28π

1) sin

4π

;

2) cos

7π

;

3)

−

5π

;

4)

−

11π

3

4

tg

4

ctg

6

.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

273

271.Вычислите:

1)(sin10°+ sin 20°+ sin30°)−(cos60°+ cos70°+ cos80°);

2*) ctg 31° ctg 32° ctg 33° … ctg 57° ctg 58° ctg 59°.

272.

Вычислите сумму:

1)

sin 0°+ sin1°+ sin 2°+...+ sin359°+ sin360°;

2)

tg20°+ tg40°+ tg60°+...+ tg160°+ tg180°.

273.

Упростите выражение:

2

2

1)

π

3π

sin(π + α) + cos

2

+ α

+ cos(2π −

α) − sin

2

− α

;

π

sin α

tg

− α

cosα

2)

−

2

+

;

sin(π + α)

ctg(π − α)

cos(π − α)

π

3π

ctg

2

− α − tg(π + α)

+ sin

2

− α

3)

;

3π

cos(

π + α)

π

sin

2

+ α

tg

2

− α

4)

.

ctg(2π − α)

sin(π + α)

274. Докажите, что:

1)

π

π

= 0 ;

π

π

sin

4

+ α − cos

4

− α

2)tg

4

+ α

= ctg

4

− α .

275.Косинус одного из смежных углов равен −1213 . Найдите синус второго смежного угла.

276.Косинус одного из углов параллелограмма равен −135 . Найдите синус второго из его углов.

277.Сумма косинусов острых углов прямоугольного треугольника равна m. Найдите: 1) сумму квадратов синусов этих углов; 2*) произведение синусов этих углов.

274	Тригонометрические функции

Упражнения для повторения

278.Виберите среди углов:

1) 205°; 335°; 385°; 695°; 745°; –25°; –205°; –335° такие, синус которых равен sin 25°;

2) 5π; 45π; 65π; 115π; 215π; − 45π; − 95π; −195π такие, косинус ко-

5.

279.На рис. 303 представлен график функции y = f(x), определённой на множестве всех действительных чисел. Каким будет график функции:

1)y = f(x – 1); 2) y = f(x + 1); 3) y = f(x – 2)?

Даны графики функций y = f(x), определённых на отрезке [–1; 0] (рис. 304). Достройте каждый из них (если это возможно) до графика:

1)чётной функции; 2) нечётной функции.торых равен π

Основные соотношения между тригонометрическими функциями

275

Итог

Основные утверждения

Название утверждения или словесная формулировка

Основноетригонометрическое тождество и следствия из него

1) В формуле приведе-

ния функция не ме-

няется, если к аргу-

менту прибавлять ± π

или же ±2π, и меняет-

ся (синус на косинус,

тангенс на котангенс,

косинус на синус, котангенс на тангенс),

если прибавлять чис-

ла ± π2 или ± 32π .

2) Полученная функция в правой части

равенства берется со знаком, совпадаю-

щим со знаком значе-

ния в левой части,
если	считать, что
0 < t <	π .
	2

Содержание

утверждения sin2t + cos2t = 1,

	2	1
1	+ tg t	=			,
			cos2 t
	2	1
1	+ ctg	t =
				sin2 t

sin(π +t) = −sint , cos(π +t) = −cost , sin(π −t) = sint , cos(π −t) = −cost ,

sin	π							= cost,
					−t
	2
cos	π							= sint ,
					−t
	2
sin	π							= cost ,
					+t
	2
		π				= −sint ,
cos		2	+t
3π							= −cost ,
sin		2		−t
3π							= −sint ,
cos		2		−t
3π								= sint ,
cos		2			+t
3π								= −cost
sin		2			+t

Графическая

иллюстрация