 ответы и указания к задачам

Раздел І

	1.1)5,000…;2)2,333…;3)–0,428571428571…;4)1,4000….2. 1)																													27		; 2)				2 ; 3) 2 31 ;
																												100								9		99
	4)	3 224 . 3. 1)									11		<	11	; 2) − 6				<	5	; 3) 3	< 5			; 4) 0,58 <						7			; 5) 0,44(46) >
			495						315				305				7			7	4	6									12
	> 0,4446. 4.					1) 1,5; 2) 0,36; 3) 0,(841269); 4) – 0,03(81); 5) 0,75; 6) 0,041(6). 5. На-
	пример, 1) 0,54; 2) 0; 3) 0,34625; 4)																		13 .		6. Например, 1) 2; 3; 5; 0,7; 2) 4; 9; 16;
																			42
	0,25. 7. (– 5; –3]; (– 2; – 1); [0; 2]. 10. 1) 0 (– 2; 2); 2) 3 [– 1; 7]; 3) a (2,5; 4];
	4) x [– 3,7; – 3,2). 11. 1) А															(7); 2) С(6). 12. 1) 1,26; 1,93; 2) 3π;															π			; 3) 4,28; 0,01.
															1																2
	14.		1)	1	; 2) 3 −						8;		3) 3		2 − 4;			4)	0,00(014). 15.						1) −3; 2) −						13			; 3) 4			; 4) −17.
				72																											8
											1		3																					1		3
																						[−2;			+ ∞); 5) ± 3; 6)												[−2; −1].
	16.		1)	–2;		1;		2) 4					, 4 ; 3)			нет решений; 4)																		2 ;7)
	17. 1) (−∞; −5) (−1; + ∞); 2) 0;																1	; 3) (−∞; + ∞); 4) нет решений. 18. 1) |a| ≥ а;
																	2																			3		9
	2)	–|a| ≤ а; 3) |a2| = а2; 4) |2а3+1|
																	≥ 2а3+1; 5) |2а2 +1|								= 2а2 +1. 19. 1)												;	2)		;
																																			50				50
	3)		1	; 4)			3		;		5)		9; 6)		3	1 . 20. 1) 8%; 2) 60%; 3) 200%; 4) 320%; 5) 460%;
			150			80
													8			2
	6) 1000%; 7) 0,43%. 21. 44%. 22. Богдан. 23. 1) 71																							;	2) 1			1	; 3) 261; 4) 14; 5) 32;
																												30
																						6		72
	6)	1. 24. 1) 8091; 2) 5041; 3) 2304; 4) 16; 5)																				899					;	6) 196; 7) 1600; 8) 91.
																						121
	25. ≈ 2,6 кг. 26. ≈ 133 м. 27. 1) 14,7 ≤ x ≤15,3; 2) 14,5																									≤ x ≤14,9; 3) 95 ≤ x ≤105;
	4)		5,1 ≤ x ≤ 5,3.								28. 1) Да. 2) Да.									3) Нет.		4) Да. 29. 1) 1080°;														2) 3400°;
	3)	2,4 Дж/(кг К). 30. 0,286; 3,182; 0,615. 31. 0,11. 32. Уменьшилась на 0,2 %.
	33.		23,75%. 34.								2 %. 35. 860-й						пробы.				36. ≈	32,9%;				≈ 35,8%;					≈ 23,2%;							≈ 8,1%.
	37.		32,264 г; 18,502 г; 7,134 г.														38.		10%; 20 %. 39.							20%. 40.					15 т.					41.		180 %.

476 Ответы и указания к задачам

42. Приближённо на 56%. 43. 2) (8; 0), (0; – 4); 3) – 6; – 4; 2; 4) 10; 8; – 6. 45. Во

второй и четвертой; в первой и третьей. 46. 1)	f(−2) = 5, f(3) = 0,			1			= 3	3	;
			f	2				4

2) х

= –1, х

= 3; 3) х

= 0, х

= 2. 47. 1) x = −

3 ; 2) значение 2 функция не при-

1

2

1

2

(−∞;

4

(−2;2) (2;+∞);

3) (−∞;−2)

нимает; 3) х = –2. 48. 1)

(−∞;+∞);

2)

−2)

(−2;2) (2;+∞);

4)

−∞;

3

;

5)

(−∞;−3)

(−3;2 ; 6)

−1;0) (0;1 .

2

49. 1) D(f ) =

[

−2;2

]

; 2) E(f ) =

[

−1;1 ; 3) 3; 4) f(x) > 0 при х (0; 2), f(x) < 0 при

]

х (– 2; 0); 5) функция нечётна; 6) 1 (– 1); 7) два. 50. 1) 12 км; 2) 6 км; 3) вто-

рой; 4) первый. 51. Более 20 км/ч. 55. 1) у = –1; 2) у = – х + 2. 56. а) y = 32 x + 2;

б) у = – 2х + 2; в) у = – х. 57. 1) t + 10, t ≥ 0, где t — время; 2) 13 В. 58. y = − 3x .

60. Относительно оси у симметричны точки 3); относительно начала коорди- нат симметричны точки 2), 4). 61. Относительно оси у симметричен график

функции 3); относительно начала координат симметричны графики функций

1), 4), 5). 63. 1) x − 2 ; 2) a + 3 ; 3) a −b ; 4) a +b . 64. Чётные функции: 2), 3), 5), 6); нечётные функции: 1), 7). 66. 1) D(g) = 0;5 , D(f ) = −3;7 ; 2) E(g) = [–2; 2],

E(f) = [–4; 3]; 3) функция y = g(x) имеет два нуля: х1 = 1, х2 = 4; g(x) > 0 на мно- жестве [0; 1) (4; 5], g(x) < 0 на промежутке (1; 4); функция y = f(x) имеет три нуля: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 6; f(x) > 0 на множестве (0; 3) (6; 7], f(x) < 0 на мно-

жестве [–3; 0) (3;6); 4) функция y = g(x) убывает на промежутке [0; 3] и воз-

растает на промежутке [3; 5]; функция y = f(x) возрастает на каждом из про-

межутков [–3; 2], [5; 7] и убывает на промежутке [2; 5]. 67. 1) 5 км/ч; 2) 0,1 ч,

0,3 ч, 0,5 ч; 3) скорость возрастала на протяжении следующих промежутков

времени: 0 ≤ t ≤ 0,2 и 0,3 ≤ t ≤ 0,4; скорость уменьшалась на протяжении сле-

дующих промежутков времени: 0,2 ≤ t ≤ 0,3 и 0,4 ≤ t ≤ 0,6; 4) 8 км/ч. 69. 1) Фун-

кция возрастает на промежутке (– ∞; 2] и убывает на промежутке [2;+ ∞); 2) функция убывает на промежутке (– ∞; 1] и возрастает на промежутке

[1;+ ∞); 3) функция убывает на промежутке (– ∞; 0,5] и возрастает на проме-

жутке [0,5;+ ∞); 4) функция возрастает в своей области определения [– 1;+ ∞);

5) функция убывает на каждом из промежутков (– ∞; – 2), (– 2;+ ∞); 6) функ-

ция убывает на каждом из промежутков (– ∞; 0), (0; + ∞). 74. 1) Нет; х1 = – 1,5, х2 = 3 — точки разрыва; 2) в точке х1 = – 1,5 функция не определена, в точке х2 = 3 функция определена; 3) f(3) = 1; 4) один. 76. 1) Два; 2) один; 3) ни одно-

го. 78. 1) 8; 2) 20; 3) 2; 4) 3. 79. 1) 7 10; 2) 2a 3; 3) − 2a 3. 80. 1) − 3; 2) a +b.

81. 1) D(f ) = [−3;+∞); 2) f(−2) = 1 ; 4) один; ни одного; один. 82. 1) Возрастает

на R; 2) убывает на (– ∞; 0], возрастает на [0; + ∞); 3) убывает на R; 4) возрас- тает на (– ∞; 0], убывает на [0; + ∞); 5) убывает на (–∞; 1], возрастает на [1; +∞); 6) возрастает на R. 83. 1) Чётная; 2) нечётная; 3) ни чётная, ни нечётная; 4) ни чётная, ни нечётная. 85. 1) Один; 2) два; 3) два; 4) два. 86. 1) 4; 2) –4;

	Ответы и указания к задачам																															477
	3)	± 5; 4) нет решений; 5) – 3; 6) 5. 87. 1) 10; 2)																		6;		3) − 6			;		4) 576;				5)	49	;
														2				4				4 5		5	5				6			3
	6)	2,7;					7)		6;	8) 6; 9) 6;		10) 3. 88.	1)		;	2)			;	3)			;	4)		;	5)	5		;	6)	a2	.
														3			3	15			3				4			a				5 7
												5. 90. 1) 9
	89. 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 4; 5)												5;	2)12 10;				3) 3		2;	4) 20 12;				5) 6 20; 6) 15192.
							1					3									1 b; 2) 3d3 ;											2 c.
	91. 1)								;	2) решений нет; 3) 8; 4) –						27.		92.		1)							3) 2a; 4) −
							625
																					2											3
	93. 1)						7;		2)	a −1; 3)		a + 9 b; 4) 23 a −1.						94. 1) 53 2;						2) 33 5; 3) 3a2 3 2a;
	4)	2		b		4 2b2 ;				5) −a4 5a2 ; 6) m2 3 m2n2 ;				7) 2b2 4 a3b3 . 95. 1)										5 −15625;					2)		−6 2b6 ;
	3)	−4 2a4b4 ;								4) − −b5 .		96. 1) 0; 2) 0; 3)				3 5;		4) 2 5 ; 5) –50; 6) −2												3 ; 7) –6;
	8)	216. 97. 1) [3; +∞); 2) (–∞; +∞); 3) (–∞; –1] [1; +∞); 4) (–∞; –1) (–1; +∞).
									8ηlQ					91			n(n+1)			P
	98. R						= 4				. 99. 1) ± 3; 2)		15	8	;	3)		2		2nn . 101. 1) (–∞; 0) (0; +∞);
								π(p1 − p2 )

2)(– ∞;1) (1;+∞);3)[0;+∞);4)[1;2) (2;+∞);5)[0;+∞);6)(–∞;+∞). 102. 1) 0;3 ;

2

2)	(0; 0); 3) (2; 0); 4) (0; 1); 5) (1; 0); 6) (0; 2), (−5 2;0). 103. 1) 27; 2) 8; 3) 1024;
4)	0,2; 5) 0,5.			1			1		1	5
		104. 1) a2 ; 2) y−0,6 ; 3) x3 ; 4) a9; 5) b6								; 6) a4 ;7) b−2. 105. 1) 1 + a; 2) x2;
3)	a +b ; 4)	1	1	2	1	1	2			2
		2a2 +b2		; 5) a3 + a3b3			+b3 ; 6)		(cy)−1 ;7) x3 y2. 106. 1) ≈ 1,09; 2) ≈1,40;
3)	b
	≈0,481; 4) ≈1,73; 5) ≈2,03; 6) ≈1,67. 107. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 108. 1) (1; 0),
ось у не пересекает; 2) (– 2; 0),							4		3) ось х не пересекает, (0; 1); 4) не пе-
							0;23	;

ресекает осей координат. 109. 1) [– 3; + ∞); 2) (– 3; + ∞); 3) (– ∞; 3); 4) (– ∞; 5].

110. 1) y(x1 ) = 32 ; y(x2 ) = 2; 2) график функции проходит через точки А и С;

3) функция принимает значения 2 и 0, значения –2 не принимает; 4) D( y) = [0;+∞), E( y) = [0;+∞), функция возрастающая, непрерывная; 5) урав­

нение f(x) = –1 корней не имеет; уравнения f(x) = 3 и f(x) = 2 – x имеют по одному

				3			1 0,6				1 0,6		2 0,6				7	−	1		3	1
корню; 6)	3 0,5	<			; 7) 3.									;	2)				7			−7	.
			3	4		112. 1)	5		<			<					3			<1 <	7
											3		5
113. 1) Один; 2) один; 3) один. 114.								y =	1		1
									2	x5. 115. 1) (– ∞; + ∞); 2) нечётная.
													350		5
116. 1) ≈	167	м/мин; 2)				≈ 0,51	м/мин;				3)T =						не			существует.
															;4)
													v
1		2	;		2
117. 1)V 3	; 2)V 3			3) 6V 3 .

478	Ответы и указания к задачам

Раздел 2

118. Указание: воспользуйтесь тем, что вне каждой плоскости существует бесконечное множество точек пространства. 119. Указания: 1) рассмотрите плоскость α, определяемую данными точкой и прямой; 2) обратите внимание на точки прямой, проходящие через А параллельно α. 120, 121. Указание: воспользуйтесь методом «от противного». 123. Указание: докажите сначала, что точка N лежит вне плоскости АВС. 124. 1) В1С1; 2) А1В1; 3) АВ; 4) АВ; 5) BD; 6) B1D1. 125. Указание: воспользуйтесь тем, что прямые АВ и с пересе- каются, а с β. 126. Указание: постройте сначала точку пересечения плос- кости АВС с прямой l. 127. Указание: выясните, всегда ли возможно такое построение. 128. Указание: обратите внимание на то, что точка А является общей для данных плоскостей. 129. Указание: запишите условие символич- но: a = γ ∩ α, b = γ ∩β. 130. Указание: определите данные прямые с помо-

щью четырех точек, не лежащих в одной плоскости. 131. Указание: если фигура имеет три точки, не лежащие на одной прямой, то она содержит две прямые, проходящие через эти точки. Поэтому и вся плоскость, определяе- мая этими прямыми, принадлежит данной фигуре, так как она состоит из всех прямых, проходящих через две точки, взятые на каждой из этих пря- мых. Рассмотрите другие случаи самостоятельно. 132. Указание: 4), 5) ис- пользуйте то, что центр грани является точкой пересечения диагоналей. 133. Указание: 2) — 4) используйте то, что центр грани является точкой пересе- чения медиан. 134. 1) MN || PQ, MP | | BC, AB × PQ, MQ | | BD; 2) параллело­

грамм; 3) 14 см, 24 3 см2. 135. Да. 136. 1) Скрещиваются; 2) пересекаются; 3) параллельны; 4) пересекаются. 137. 1) Параллельны; 2) пересекаются; 3) скрещиваются; 4) пересекаются. 138. 1) Параллельны; 2) пересекаются; 3) скрещиваются. 139. Указания: 1) исследуйте условие существования ис- комой точки; 2) выясните, зависит ли ответ от существования точки пересе- чения прямой АВ с плоскостью α; 3) СС1 = 3,5. 140. 2) 15 см. 141. 2) 6 см.

142. 2) 4 см. 143. 1) AD · BC, DM × AN, AD || MN; 3) 3:1. 144. Указание: про-

ведите через пересекающиеся прямые плоскость и примените второй при- знак скрещивающихся прямых. 145. Указание: 5) постройте сначала пере- сечение секущей плоскости с плоскостью одной из граней. 146. Указание: 4) рассмотрите отдельно случай, когда прямая MN пересекает плоскость ABC и когда не пересекает. 147. Указание: 2) используйте то, что на плоскости каждая прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую. 148. Указание: обратите внимание на то, что точки А, В, С не лежат на одной прямой. 149. Указание: если существует еще одна прямая d, па- раллельная c и пересекающая а и b, то она вместе с c определяет плоскость, в которой содержатся а и b (почему?). 150. Указания: 1) Пусть А а, b' па- раллельна b и проходит через А. Спроектируйте прямую b параллельно c на плоскость, определяемую прямыми а и b'; 2) попробуйте сначала через точку пространства провести прямую, пересекающую две скрещивающиеся пря- мые. 151. Не обязательно. 152. 10 см, 15 см. 153. 24 см. 154. Указание: ис- пользуйте то, что диагонали ромба перпендикулярны и что два перпендику- ляра к прямой на плоскости параллельны. 155. Указание: 2) используйте то, что отрезок, соединяющий середины оснований равнобокой трапеции,

Ответы и указания к задачам

479

перпендикулярен к основаниям. 156. Указания: 2), 3) используйте свойства биссектрисы и высоты в равностороннем треугольнике; 4) попробуйте оха- рактеризовать центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, с помощью медиан. 157. Указание: 3) используйте то, что ось симметрии равнобокой трапеции и высота перпендикулярны основаниям. 158. Указания: 1) охарактеризуйте центр окружности с помощью параллельных хорд; 2), 3) воспользовавшись указанием к предыдущему заданию, постройте два взаимно перпендикулярных диаметра. 159. Указание: 1) используйте то, что прямые АВ и А1В1 лежат в одной плоскости и то, что прямая А1В1 лежит в плоскости β; 2) 4 см. 160. 2) 2 см. 161. 2) 10 см. 162. 1) Параллельной проек- цией; 2) параллелограмм. 163. Указание: проанализируйте возможность построения. 164. Указание: спроектируйте точки А и В на плоскость верхне- го основания параллельно боковому ребру. 165. Указание: спроектируйте точки А и В на плоскость соответствующих граней параллельно рёбрам, пе- ресекающим эти грани. 166, 167. Указание: используйте решение задачи 1 и примера 3 из § 9. 168. Указание: используйте то, что проекция центра шестиугольника симметрична проекции вершины B относительно середины проекции отрезка AC. 169, 170. Указание: примените обратимость проекти- рования. 171. Указание: построение облегчается, если к граням куба достро-

ить такие же кубы. 172. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4) acb+ c . 173. Вторая боковая

сторона без ее концов. 174. Указание: 1), 2) используйте свойство биссект- рис, проведенных из вершины равнобедренного треугольника. 175. Указание: учтите неоднозначность решения задачи. 176. Указание: 3) обратите внимание на взаимное расположение биссектрис внешнего угла равносто- роннего треугольника и его сторон. 177. Указание: используйте то, что сре- динные перпендикуляры параллельны соответствующим высотам. 178. Указания: 1) обоснуйте то, что основание биссектрисы делит катет в отношении 2:1; 2), 3) подсчитайте, в каком отношении делят гипотенузу основание высо- ты, проведенной из вершины прямого угла, и основание биссектрисы угла в 30°. 179. Указание: используйте то, что меньшая диагональ делит этот ромб на равносторонние треугольники. 180. Указания: 1) используйте то, что точ- кой пересечения диагонали квадрата делятся пополам; 2) учтите, что задача имеет бесконечное множество решений. 181. Указания: 2) установите вза- имное расположение сторон прямоугольника и оси симметрии трапеции; 3) докажите, что центр окружности является пересечением оси симметрии трапеции и медианы равнобедренного треугольника, построенного на боко- вой стороне трапеции и меньшем основании. 182. Указания: 1) обоснуйте, что это пересечение изображений оси симметрии трапеции и прямой, прохо- дящей через середину боковой стороны и основание высоты, опущенной из вершины тупого угла; 2) центр окружности лежит на пересечении оси сим- метрии и биссектрисы тупого угла трапеции. Поскольку мы умеем строить изображение медианы к основанию (биссектрисы угла при вершине) равно- бедренного треугольника, то попробуйте построить на заданном тупом угле трапеции равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны бо- ковой стороне трапеции. При этом, конечно, нужно учитывать «искажение»

480 Ответы и указания к задачам

расстояния по разным направлениям. 183. Указание: изобразите хорду, па- раллельную данному диаметру. Как искомый диаметр делит эту хорду? 184. 1) Указание: обратите внимание на то, что одна точка пересечения

плоскостей уже известна, осталось найти еще одну; 2)	3a . 185. 1) Указа-
	2
	a

3;

3)указание: найдите отношение, в котором искомая плоскость пересекает три ребра пирамиды. 186. Указания: 3) проведите через центр грани SBC прямую, параллельную SB; 4) сечение будет параллельным к грани ASC.

187.Указания: 3) воспользуйтесь следом секущей плоскости на плоскости грани ABCD; 4) найдите пересечение секущей плоскости с ребром СС1.

188.130° или 50°. 189. 1) ВВ1, СС1, DD1; 3) нет. 190. 1) DF || ABC, AB || MNK,

AC × DBF, MK × BCD; 3) 3 см. 191. 1) EF || ABC, MC × DEF, MN || CFE, BE || ADF; 3) 8 см. 192. 1) CD ABC, CD || ABB1, CD × AA1D; 4) например,

прямая, проходящая через середины ребер АА1 и СС1; 6) 60°. 193. 1) AD || BCS;

4)указание: обоснуйте, что искомая прямая параллельна основаниям.

194.2) параллельны; 3) 16 см. 195. 2) параллельна; 3) 6 см. 196. Указание: воспользуйтесь тем, что противоположные стороны прямоугольника парал- лельны. 197. Указание: плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС по прямой, параллельной ВС. 198. Указания: если бы таких прямых было больше, то две из них определили бы плоскость, параллельную обеим данным плоскостям, и тогда бы они были параллельны между собой; 2) вмес- те с прямой, параллельной второй плоскости, рассмотрите прямую, лежащую во второй плоскости и параллельную данной прямой. 199, 200. Указание: учтите, что такие построения не всегда возможны. Укажите эти случаи.

201.Указание: 1)—3) постройте след плоскости SMN на плоскости АВС.

202.1) 45°; 2) построенные прямые параллельны плоскости BB1C1C; плос- кость DD1C1C одна из этих прямых пересекает, а вторая — параллельна ей.

203.1) Четырехугольник ABC1D1; 2) треугольник BDK, где K — середина AA1

3)если M, N — середины ребер CC1, D1C1, то секущая плоскость пересекает плоскость AA1B по прямой, параллельной MN. Далее воспользуйтесь мето- дом следов. 204. 1) Треугольник SMN, где M — середина AS, N — середина AB; 2) 1 : 1. 205. 2) Например, плоскость АВС1; 3) указание: обратите внима- ние на то, что прямые АВ и А1В1 параллельны. 206. Указание: обратите внимание на то, что такое построение не всегда возможно. Укажите эти слу-

	чаи. 207. 1) MO O || ADD			, ABD			× CD	C	; 3)		2	a2.	208. 1)	ACD ||		KLP,
						1				2
	1		1				1	1
		3
	MLK×ABC;3)		a2. 209.1) B D D || LMM ; 4) MA B || CDM . 210.											1) LM ·			BC,
	9			1	1			1		1	1		1
	LN || ABD, LMN || BDC; 4) указание: сечением является треугольник, для

вычисления площади которого можно воспользоваться выражением	1 bcsin α,
	2	· BC,
где α — угол при вершине S, b, c — прилежащие стороны. 211. 1) LM

Ответы и указания к задачам

481

LN || АВС. 212. 3) АВВ1 || DD1C1. 213. 1) Параллельны. 2) 3) (a +b + c)(m + n), m

или (a +b + c)(m − n). 214. 2) Параллелограмм. 215. 1) ML, где L = AB ∩ CD; m

2) прямая, параллельная AD и проходящая через М. 216. 1) Например, сече- ние, проходящее через вершины А, В1, D1 куба ABCDA1B1C1D1. 217. Напри- мер, в тетраэдре SABC сечение, проходящее через средние линии треуголь- ников SAB и САВ, параллельные общему основанию АВ. 218. Указание: воспользуйтесь признаком параллельности плоскостей. 219. Указание: две прямые, проходящие через одну точку параллельно плоскости, определяют плоскость, параллельную данной. Нужно доказать, что эта плоскость и является искомой. 220. Указание: воспользуйтесь тем, что эти плоскости параллельны двум плоскостям, проходящим через скрещивающиеся прямые AB и CD. 221. Указание: воспользуйтесь свойствами прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. 222. Указание: сечением куба является квадрат с центром O и стороной MN. 223. Указание: целесообразно рассуж- дать «от противного». 224. Указание: в ∆ADS проведите среднюю линию EF, а в ∆FCB — отрезок DK || FC, K BC. Сечения EFC и ADK — искомые.

225. 1), 2) Плоскость. 226. 1) AB || A1B1; BC × В1С1; AC × A1C1; 2) 254 3 . 227.

Указание: спроектируйте одну из прямых на плоскость, проходящую через вторую прямую параллельно первой.

Раздел 3

	228.				1)				5π ;			2)			2π ; 3)						4π ; 4)							7π			; 5) −						5π ; 6)			37π				;7) ≈ 2,2									рад.		229.					1)					30°;
									6						5						3					12											3		180
	2) –120°; 3) ≈ 114,6°; 4) 540°; 5) 225°; 6) – 300°; 7) 270°. 231. 9°;135°;720°;1350°.
	232. 1) 310°, 770°; 2) – 220°. 233. 1) −																																	13π ; 2) −						10π				. 234. 1) 3 см; 2) 2π см; 3) 0,4 м;
												π 1 .																								7					7																11π								84π.
	4) 4π м. 235.																	236.				1) 540 000 град./с; 2) 3 000π рад/с. 237.																																								; −
												2 c																																												2									5
																																																			3		; − 1							2					2
	238. 240π см/с.239.2,5рад/с.240.6πсм/с;270πсм.242.1)																																														−								;	−							;				;
																																																			2			2						2					2
		1				3									3			− 1						2								2						1				3						3					− 1					2							2
			; −							; 2)		−					;					;						; −								;	−		; −					; 3)								;			;	−					; −						;
		2			2										2			2						2							2							2					2				2						2			2									2
			1 ;			3									3	; − 1								2							2						−1 ;		3
		−								;	4)									;							;							;									. 243.		1) (–1; 0); 2) (1; 0); 3) (0; 1);
			2 2															2						2					2								2		2
												2
					3				1									2						2															π															3π
	4)							;			;	5)					−				;	−							.		244.						1)				+		2πn,n Z;										2)			+ 2πn,n Z;
					2				2									2						2															4																4
	3)		5π			+ 2πn,n Z;												4)					7π + 2πn, n Z.																245.					1)		4π					+ 2πn; 5π					+ 2πn,n Z;
			4																																												3
																								4																															3

482																																																	Ответы и указания к задачам
2)		− π	+ 2πn; π								+ 2πn,n Z.																	246.								Например, 1)														5π				; 3π			; 11π				; 0;							π;	π		; 5π;
		4						4																																											4		2				6											3	2		6
2)		11π;			3π;			7π			;		π;			2π;					π		;		π			;		3)						3π;				π	; π			; 0;		5π;			3π;					7π;			4)						π			; 0; 5π;					3π;
		4			2			6								3				2				6										4						2	6					3			2				6								4							3			2
	7π; π; 2π; 5)								5π				; π;			2π;					π		; π					; 0; 5π. 247. 1) Бесконечное множество и четыре;
6			3							4						3				2				6								3
2) бесконечное множество и две; 3) бесконечное множество и восемь; 4) Беско-
нечное множество и две.																												248.						1)				−		3	; 4			; −		3 ; −			4		;		2) 12 ; −									5			; −			12	; −			5		;
																																								5									3												13							5
																																									5					4							13																		12
3)		1 ; −			3		; −			1			; − 3; 4)															7	;	3		;			7			;		3		.
			2							3																4				4				3						7
		2
249.
										t								3π													2π											5π								7π									4π										5π
		Функция														4																3									4										6						3												3
			sin t													2																3												2							1										3										3
																																									−									− 2								−										−
																		2														2												2																	2										2
			cos t														−			2											−			1							−			2					−		3								−		1								1
																																		2																											2								2
																				2																								2								2
				tg t														–1												−				3							1										1										3								−		3
																																																			3
			ctg t															–1												−		1									1										3						1											−			1
																																		3																											3										3
	250.
										t							7π													−		5π									12π								−		7π								7π									13π
		Функция														6																3									7										6						9												6
		sin t																–												+												–									+						+												+
		cos t																–												+											+										–								–										+
			tg t													+														+												–									–								–										+
		ctg t														+														+												–									–								–										+
	251. 1) 0; 2) 1. 253. 1) 0; π; 2π;																													2)					0; 2π;						3)			π;		4)		π	;		3π		; 5)					3π	. 254. 1)										1 − a2 ;
																																																2									2
		a																						a																3	, 4										2
			;			2) − 1 − a2 ; −																								.		255.												. 257.				1)				x =					4 − y2 ,									y =			4 − x2 ;
	1 − a2																					1 − a2																		5
																																									5
	2) x = −				1					,			y =					x2 −1								. 258. 1) 60°; 26°; 80°; 90° – α ; 45° – α;																																								3π		; 2) 150°;
																																																																		8
					1 − y2														x
																																				7π.
116°; 170°; 180° – α ; 135° – α;																																								259. 1) +; 2) +; 3) –; 4) +; 5) +, если
																																		8

Ответы и указания к задачам																																																																																																				483
π	+ 2πn < t <																		3π			+ 2πn и –, если − π																								+ 2πn < t <															π + 2πn . 260. 1) +; 2) –; 3) –; 4) +;
2																			2																								2																		2						4																	5
5) –; 6) –. 261. 1) cos t = 0,6; ctg t = –0,75; tg t = –																																																																; 2) sint = −																		;						ctgt = 2,4;
																																																																																3	13
						5																							5														12																		5																		3																			1
tgt =											;				3)				cost = −													;			sint =											;				ctgt = −														;			4)				cost =													;					sint =														;
					12																						13																13																		12																			10																				10
tgt =					1			;						5) cos t										= –0,8; tg t																= –0,75; ctg t																					= – 4							; 6)						sint = −										12					;				tgt = 2,4;
					3					5																						5				12															5								12					3							3							4						13													3			4
ctg t					=										.			262.						1)						−				;									или														;−							;			2)									;−								или									−						;			;
								12																								13																																									5					5																			5			5
																																				13															13								13
3)						2 − 3														2 + 3										или											2 − 3										;−						2 +				3						; 4)									2 − 2								;		2 + 2														или
																		;																			−
										2												2																					2																2																	2															2
				2 −										2						2 + 2																	1)						6							; 2)											12							. 264.1) −ctg																	2							2) −tg								2
−																;		−										.				263.																									−																													α;																α;
					2																	2																		5+3 5																			7+ 4 7
																								1													1																				1																					1
3)	0;				4) 0;											5)											;			6)													; 7)																								;	8)																							;	9)					ctg2α;
																					sin2 α														cos2					α									sin2 αcos2 α																								sin2 αcos2													α
10)					tg2 α;													11)						cos2 α;								12)					sin2 α;												13)								tg				α;			14)							сtg					α;				15)							sin α, если
−	π		+ 2πn < α <																		π			+ 2πn, n Z																и				−sin α,													если								π		+ 2πn < α <													3π + + 2πn,n Z;
	2																			2																																												2				если												2
16) cos α, если																							2πn < α < π + 2πn, n Z и																																		− cos α,																			π + 2πn < α < 2π + 2πn,
n Z.
266.
										120°										135°							150°										210°										225°										240°										300°									315°										330°											390°
sin															3									2						1										1									2												3										3									2											1								1
																															2								− 2								−										−										−									−											−				2								2
														2								2																											2												2								2									2
cos															1									2								3								3									2												1							1										2													3									3
												−			2					−									−								−										−												− 2									2
																								2								2								2									2																													2											2										2
	tg									−					3							– 1										1								1									1												3							− 3									– 1														1								1
																													−			3								3																																														−						3								3
ctg										−					1							– 1							−			3								3									1										1								−			1							– 1									−						3								3
															3																																														3										3
267. 1) –														1		;		2)				1		; 3) –1; 4)													3; 5) –												3			; 6)									3			7)				−			3;					8) 1. 268. 1) −																					3				−1;
														2								2																									2												2																																						2
2)		−			2 ;										3)				3 −					3 ;			4)							3			−			2			−1.						269. 1)												sin						8π			;	2)					−cos8π;																3) −tg									π			;
																						2										2								2																											9																																	12
							3π																																																																													9
4)	ctg												. 270. 1) −cos π;																					2) cos									π;			3)					−tg						π	;			4)			ctg				π .			271. 1) 0; 2) 1. 272. 1) 0;
																																																									4
							5																							6													4																									6

484

Ответы и указания к задачам

2) 0. 273. 1) 4; 2) –1; 3) 1; 4) –ctg α. 275.

5

.

276.

12

. 277. 1) 1; 2)

m2 −1

.

13

13

2

278. 1)

385°;

745°;

–205°;

–335°;

2)

π

; 11π

;

21π

;

−

9π; −19π. 281. 1)

0,5;

2

5

5

5

5

5

2π

2) −

3; 3) −

; 4)

3.

282. 1) 1; 2) 1; 3)

1

;

4)

tg2 2α.

287. 1) 6π; 2)

;

2

π

π

sin2

α

3

3)несуществует.290. 1) ±

, 0; 2) 0,

, π. 291.1) R;2)R;3)R;4)всякоординат­

2

π

2

ная прямая, кроме чисел x =

+ 2πn, n Z;

5) вся координатная прямая,кро­

π

2

ме чисел x =

+ πn,n Z; 6) объединение промежутков [2πn;π + 2πn],n Z;

2

π

π

7) объединение промежутков

+ 2πn;

8) объединение про-

−

2

2

+ 2πn ,n Z;

2π

2π

межутков

+ 2πn;

n Z.

292.

1) Чётная; 2) чётная; 3) нечёт-

−

3

3

+ 2πn ,

3π

ная; 4) нечётная; 5) чётная; 6) ни чётная,

ни нечётная. 293. 1)

π

;

;

3π

3π

2

2

;

2)

π

;

π

;

π

π

;

;

π

;

π

π

,

π

;

;

2

;2π

−π;−

2

−

2

2

;

3)

2

2

−

2

2

.

294.1) 0;

2

2

π

2)

−

π

;

π

,

π

;

3π

;

3)

3π

,

π

;

3π

295. 1)

Возрастает на каждом из

2

2

2

;2π

2

.

2

2

2

промежутков

[−π + 2πn;2πn],n Z;

убывает

на

каждом

из

промежутков

[2πn;π + 2πn]

n Z;

2)

возрастает на каждом из промежутков

π

+ 2πn;

−

2

π

,

n Z; убывает на каждом из промежутков

π

+ 2πn;

3π

+

,

2

+ 2πn

2

2

2πn

n Z;

3) возрастает на каждом из промежутков

5π

+

2πn

;

3π

+

2πn

12

3

4

3

,n Z;

π

2πn

5π

2πn

убывает на каждом из промежутков

+

3

;

12

+

3

,

n Z;

4) возраста-

12

7π

ет на каждом из промежутков

π

+ πn;

,

n Z;

убывает на каждом

12

+ πn

5π

12

из промежутков

π

5) возрастает на каждом из про-

−

+ πn;

+ πn ,

n Z;

12

12

межутков

−

π

+ πn;

π

,

n Z;

убывает на каждом из

промежутков

6

3

+ πn

5π

π

+ πn;

,

n Z;

6)

возрастает

на

каждом

из

промежутков

3

6

+ πn

2π

2π

+ πn;

7π

, n Z;

убываетнакаждомизпромежутков

π

+ πn;

,

3

6

+ πn

3

+ πn

6

Ответы и указания к задачам

485

n Z.

296. 1)

sin 37° < sin 86°;

2) sin 220° > sin 260°; 3) cos 200° < cos 230°;

4)

π

π

5)

π

4π

6)

sin

−

< sin −

;

cos

−

< sin

;

sin(−3) > sin(−2);

8

10

7

7

7)

cos

π

> sin

π

; 8)

−

π

3π

297. 1)

[–1;1];

2)

[–3; 3]; 3)

[–4;

2];

7

7

cos

= sin

8

.

1

8

4) [0; 1]; 5)

−1;−

; 6) [–3;

3]; 7)

−3 −

π

;3 −

π

. 300.

1) Вся координатная

6

2

6

прямая, кроме чисел x =

π

+

πn

, n Z;

2) вся координатная прямая, кроме

6

π

3

πn

чисел x =

+ πn,

n Z;

3) вся координатная прямая, кроме чисел x =

,

4

2

n Z;

4)всякоординатнаяпрямая,кромечисел x = − π + πn, x = π

+ πn, n Z.

4

2

301. 1) Нечётная. 2) нечётная; 3) чётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечёт-

ная; 6)

чётная.

302.

1)

tg(−80°) < tg(−50°);

2)

tg π > tg

4π

;

3)

tg1 > tg1,6;

5

π

π

5

4)

tg(−2) > tg(−3);

5)

ctg

−

< ctg

;

6) ctg95° > ctg117°;

7)

ctg2 > ctg3;

9

8

8)

tg

π

< ctg

π

.

303. 1)

Убывает на каждом из промежутков

πn

;

π

+

πn

6

4

2

2

2

,

n Z; 2) убывает на каждом из промежутков (πn;π + πn), n Z; 3) возрастает

на каждом из промежутков

π

+ πn;

π

−

2

2

+ πn , n Z; 4) возрастает на каждом

из промежутков

−

π

+

πn;

π

, n Z; 5) убывает на каждом из промежут-

4

4

+ πn

ков

π

, n Z; возрастает на каждом из промежутков

π

−

2

+ πn;πn

πn;

2

+ πn ,

n Z; 6) возрастает на каждом из промежутков

π

−

2

+ πn;πn , n Z; убывает

на каждом из промежутков

πn;

π

n Z;

7) возрастает на каждом из

2

+ πn ,

5π

−

π

+ 2πn;

промежутков

3

3

+ 2πn , n Z; 8) убывает на каждом из промежут-

ков

3π

+ 3πn;

9π

,

n

Z.

304. 1) (−∞;+∞) ; 2)

(−∞;+∞) ; 3)

(1;+∞) ;

−

4

4

+ 3πn

4) [0;+∞); 5) {1}; 6)(−∞;+∞);7) (−∞;−2] [2;+∞); 8) (−∞;0].

305.

1)

1;

–1;

2)

3;

3

;

3)

2

+1; 0.

307. 1) 3;π;

π;

2

1

; 2; π; 3)

2; 4π;1; 4) 3; π;0;

5) 1; 2π;

3

2

2

3

4

2

–1. 308. 1)

2,5; 2

; 3π;

5

см; 2) 7; 0,5; 4π;

7 2

см; 3) 2; 1; 2π; 0 см; 4) 1,5; 6;

4

2

3

486																																																			Ответы и указания к задачам
π	; −0,75						см. 309. 1) 5; 0,2; 10π; 2) 5 А; 3) t = 0,05 + 0,2n с, n = 0, 1, 2, … .
3										1																									n																																			2π									π
310. 1) 220;														; 60π; 2) 220 В; 3)																									с, n = 0, 1, 2, … . 311. 1) 2;																																		; −								;
									30																								30												π																										3								2
2)	параллельный перенос вдоль оси t																																						на								единиц в положительном на-
правлении; сжатие к оси																																													6
																										у в три раза; растяжение от оси t в два раза.
312. 1)				t = π					+		2πn					, n = 0,1,2,...;																2)				t = π					+ 2πn , n = 0,1,2,...;																					3)				t = 2π(n +1) ,
							3							3							π					2πn													2						3																											3						π
п = 0, 1, 2, ... .											4)						t	=					+						, n				= 0, = 0, 1, 2, ... .313. 1)																																									+							;
																					6						3																																	y = sin 10πt
																																																																														6
2)															π		.	314.								1) +; 2) –; да. 315.																					1) 3; 2) −3											2;				3) 0; 4) 6; 5) –6.
		y = 7sin 6πt +													2
																																																										2
316. 1) ab; 2) 0; 3) a2 + b2; 4) – a2 – b2. 317. 1) 8; 2) –12; 3)																																																													4) 17; 5) 26; 6) 10;
																																																								−		3 ;
7)		–8. 319. 1)													2 (			3 −1)							; 2)					−			2 ( 3 −1)												;		3)				2	(			3 −1)						;	4)						2 (				3 +1)									;
																	4																					4															4																		4
				(					1)
5)	2						3 +				.				320. 1)											3		;	2)						2		;		3)						3		; 4)				2		.			321.						1)			−		297				;	−			87						;
		−
							4																			2							2								2										2																425							425
2)		2 30 −1						;		−2					30 −1						;	3)					25		;	5			;		4)				−	7			.			322. 1) cos α; 2)																			2	;		3) tgαctgβ;
	12																									19				31																																2
											2				12																								17
4)	−tgαtgβ; 5)													; 6)				cos α								. 327.							24			. 329.1)											2π; 2) π;3)π. 330.1) −																						336 ;						527						;
											3							sin 2α													145																																												625
																																															3																						625
−	336 ; 2)						2a 1 − a2 ; 3) 2a2																			−1;			4)				2a						. 331. 1) ≈ 0,447; ≈0,894; 0,5. 2) ≈ 0,949;
																																1 − a2
	527																1 sin20°;																																							1 ctg2α;														1 sin4α;
≈ 0,316; 3. 332. 1)																													2)				cos4α;								3)						cos2α;					4)															5)
																	2																									π														2														2		π
6)	sin2α; 7) sin2α; 8) sin2α; 9) tg2																															γ; 10)																	. 333.1)1;2)1;3) tg2																																;
																																							tg2						4		− γ																									4		− α
4)		tg2α;					5)		tg 2α;								6)					sin3α;								7)					cos4β;						8)						1 cos4x;									9)			sin2α;									10)				cos2α;
																																															8																						1										1
11) cos α −sin α;											12)						2			sin α + cosα												; 13) −2cos α; 14) −2sin α .																													335. 1)										;	2)									;
																																																								2													4								16
3)		1 ; 4) 4. 336. 1) 0; 3; π; 2) – 1; 2; π. 337. 1) 0,96; –0,28; 2)																																																															4			;	1		;	3)							h2.
																																																														3				2			3
	8
338. 1)				1			;−1		;π;						2) 2;1;							π	;			3) 2; 0; π. 339. 1)																					6	;	2)			−			2			; 3)				−				2		;	4)				−						6		;
				2																		2																									2								2										2												2
							2
5)		3 −2				; 6)			1		. 340. 1) tg2α; 2)																			ctg2α								;	3) 2										α							π			α						4) cos αcos3α.
																																														2 cos					cos							−				;
	4								4																					cos					α														2							4			2

Ответы и указания к задачам

487

2sin

π

π

α

π

α

π

α

π

α

3

− α

342.1) 4 cos

+

cos

−

;

2)

−4 sin

+

sin

−

; 3)

;

8

2

8

2

12

12

2

cos α

2

2 sin

π

+ α

1

1 cos 4x; 3)

4)

4

.

343.

1)

1

+

cos 2x;

2)

+ cos 2x +

1 − cos4x;

cos α

2

2

4)

1

+ 1 cos 8x.

344.

1)

α = ±β + 2πn, n Z;

2)

α = β + πn, n Z.

347.

45°.

2

2

3 +

2

2 −1

3 +

2

2 −1

348. 1)

2;−

2;2π;

2)

2;−

2;2π . 349.

;

;

;

.

3 + 2

1 − 2

2π; 3) 8p.

1 − 2

3 + 2

350. 1) π; 2)

351. 1) R; 2) [–10; 10]. 352. 1)

;

;

ctg6

+ ∞ ;

2) ctg5

+∞ .

5

tg3

tg4

353. 1) В первой; 2) в четвертой; 3) в первой; 4) во второй. 354. 1)

3

;

2)

−1

;

2

2

2

2

3)

;

4)

−

;

5)

0,8; 6)

0,6. 355. 1)

(−1)n π + nπ ,

n Z;

2)

−

π +

2πn ,

2

2

6

2

6

3

− π

+ 2πn , n Z;

3) ±

4π + 4πn,n Z; 4)

5π

+ 2πn,

π

+ 2πn, n Z;5) нет реше-

12

12

3

3

3

3π

ний; 6) нет решений; 7) (−1)n+1

+ 3πn,n Z; 8) ± π

+ πn, n Z;

9) нет реше-

4

3

ний; 10)

(−1)n+1 π + nπ, π + 2nπ, n Z; 11) ± π

+ 2nπ, n Z;

6

4

12) ±

1 arccos(−0,6) + πn, n Z;

13) 3(−1)n arcsin 0,2 +3πn, n Z;

2

356. 1) (−1)n+1 π + πn,n Z;

(−1)n π

14) −0,5± arccos 0,9+ 2πn,

n Z.

2)

+ πn,

± 3π + 2πn;n Z; 4)

π + 2πn,n Z.

6

4

n Z;

3)

±

357. 1) 2πn, n Z;

2) нет реше-

π

4

± 5π

6

4) − π

π

ний;

3) ±

+ 2πn;

+ 2πn; n Z;

+ 2πn, n Z.

358. 1) 2pn,

+ πn,

6

6

1

2

πn; π

2

n Z;

2)

нет

нулей;

3)

, n Z, n ≠ 0; 4)

+ 2πn,n Z.

πn

2

359. 1)

−13π;−

5π; −

π

;

7π

; 11π;

2)

π

; 7π

; 9π

; 15π

; 17π; 23π

; 25π

;

31π

;

6

6

6

6

6

8

8

8

8

8

8

8

8

33π;39π; 41π

;

47π;

3)

7π

; 11π.

360. 1) ±

3π + 2πn,n Z;

2)

5π

+ 2πn; n Z.

8

8

8

8

6

6

4

6

361. 1) ≈ 83,6°; ≈ 96,4°; 2) 60° і 30°. 362. 1)

1 arcsin

4S

,

π

− 1 arcsin

4S

. Указа-

2

2

c2

2

c2

ние: К прямоугольному треугольнику приложить равный ему треугольник

и воспользоваться теоремой синусов. 2)

r

363. 1) В пер-

2R 1 + arcsin

.

R

− r

488

Ответы и указания к задачам

вой;

2)

в

четвертой;

3)

в

первой;

4)

во

второй.

364.

1)

3;

2)

−

1

;

3

1

− 5π + πn,n Z;

π + 2πn,n Z; 3)

1 arctg3 +

πn

3) −

;

4) –1. 365.1)

2) −

,n Z;

3

2

12

2

2

4)

arcctg(3 −

2) + πn,n Z;

5)

±

π

+ 2πn,n Z;

6)

π

+ πn, 5π

+ πn, n Z;

2

6

6

7)

1 arcctg(−0,3) +

πn

, n Z;

8)

2π

+ πn,n Z;

9)

arcctg(−3) + πn,n Z;

15

3

3

10)

2π + 2πn;

arcctg(−0,5) + πn, n Z.

366. 1)

−

π

+ πn,n Z; 2)

π

+ πn,n Z;

3

1 + n,n Z;

4

6

3) −

π + πn, n Z. 367.1)

2) 1; π

+ πn,

n = 0,1, 2,...;

3)

π

+ πn; − π

− πn,

6

3

2

4

4

п=0,1,2,.... 368.1) − π

+ 2πn,n Z;

2) π + 2πn,n Z;

3) 2π + 6πn,

8π + 6πn, n Z.

3

π −2

2π

4π

3

3

369. 1) 50°; 2) 120°; 3)

.

370. 1)

5π

; −

π

;

;−

;

2) −

7π

; −

3π

;

π

;

5π

;

9π

;

5

3

3

3

3

8

8

8

8

8

3)

0; 2π; 4π; 6π;

4)

−

4π

; − π;−

2π

; −

π

; 0;

π

.

371. 1)

π

+

2πn;

(−1)

n

π

+ πn,n Z;

3

3

3

3

2

6

3π

2)

π + 2πn;

(−1)n+1 arcsin 0,75+ + πn, n Z;

3)

+ 2πn;

π + 2arcctg(−4) + 2πn,

4

2

4

n Z; 4)

π

+ πn;

arctg5+ πn,n Z; 5)

±

π

+ 2πn, n Z.

372. 1) πn; (−1)n π

+ πn,

4

π

πn

3

π

π

4

n Z;

2)

+

;

π + 2πn,n Z;

3)

+ 2πn;

+ πn,n Z; 4)

πn, n Z.

10

5

2

4

πn , n Z;2)

π +

πn

π

373.1)

π

+

±

,n Z;

3) −

+ πn;

−arctg4 + πn, n Z;

4)

π

+ πn;

3

4

4

12

3

9

arctg 2,5 + pn, n Z; 5)

π

+ πn,n Z;

6)

arctg(1 ±

3) + πn,n Z;

7)

π

+ πn;

2

2π

n Z; 2) πn; 2πn

4

–arctg 2 + pn, n Z. 374. 1) πn; ±

+ 2πn;

,n Z;

3)

π

+ πn;

,n Z; 4) 2πn ; −

3

3

2

−

π

+ πn

π + 2πn;

π

+ πn; n Z;

5)

π

+

πn ,n Z; 6) 2pn,

8

2

3

2

4

πn

6

3

−

π

+ 2πn,n Z;

7)

πn; n Z; 8)

π

+

; ±

π

+ πn,

n Z.

375. ≈126°;

≈54°.

2

8

4

3

376. 1) 2arcctg

4S ,

π

− arcctg

4S ;

2)

arctg

4S

,

π − arctg

4S

.

2

a2 −b2

a2 −b2

377. 1)

c2

c2

arctg2 ≈ 63°26 ,

arctg2 ≈ 63°26 , π −2arctg ≈ 53°8;

2)

2arctg 5 ≈ 48°11 ,

′

′

′

1

′

1

′

π −4arctg

1

≈

′

2arctg 5

≈ 48°11 ,

5

83°38 . 378. ≈ 75,5°; ≈ 75,5°; ≈ 29°. 379. ≈ 24°30′;

≈ 65°30′. 380. 1)

π + 2πn ≤ x ≤ π + 2πn,n Z; 2) π + 2πn ≤ x ≤ 3π

+ 2πn,n Z;

2

2

Ответы и указания к задачам																						489
3)	π	+ 2πn ≤ x ≤						3π		+ 2πn,n Z;				4) π + 2πn ≤ x ≤ 2π(n +1), n Z.
	2							2			5π + 2πn,n Z;					2) − π + 2πn ≤ x ≤				5π
381.		1)		π + 2πn < x <																	+ 2πn,n Z;
		4π		6							6			4) 7π			4		11π	4
3) −				+ 2πn < x < π							+ 2πn,n Z;						+ 2πn ≤ x ≤			+ 2πn,n Z;
		3							3							6			6
5)	−	π	+ 2πn ≤ x ≤						π	+ 2πn,n Z; 6) −						3π	+ 2πn < x <		3π + 2πn,n Z;
		6						6								4			4
7)	π	+ 2πn < x <						5π		+ 2πn,n Z; 8) 2π + 2πn ≤ x ≤ 4π + 2πn,n Z;
	3							3							3			3
9)	−	π	+ πn ≤ x <					π	+ πn,n Z; 10)					π + πn < x <				π + πn,n Z;
		3						2						6				2
11) −			π	+ πn < x ≤					π	+ πn,n Z;			12) −			π + πn < x < −			π + πn,n Z;
			2			3π		4					π			2			6
13) πn < x <							+ πn, n Z. 14)							+ πn < x < π + πn,n Z;
													6
					4
15) π(2n −1) < x < 2πn, n Z.
382.		1)		π + πn < x < 3π + πn,n Z; 2)												π	+ 2πn < x < π + 2πn,n Z;
				8							8					2
3)	π	+ 2πn < x < π + 2πn,n Z; 4)												3πn < x < π + 3πn , n Z.
	2	1) − π			+ 2πn ≤ x ≤ π										2		2	2
383.												+ 2πn,	n Z;			2) π + 2πn ≤ x ≤ 2π + 2πn,n Z;
				2							2							7π + 2πn,n Z; 2) π
3)	πn ≤ x <				π + πn, n Z. 384.1) − π										+ 2πn ≤ x ≤							+ 2πn ≤ x ≤
	7π				2									6				6			4
≤		+ 2πn,n Z; 3) − π										+ πn < x <		π	+ πn,n Z;			4) πn < x <			5π + πn, n Z.
	4										4			2							6
385.			1 + 6n ≤ t ≤						3	+ 6n;		7 + 6n ≤ t ≤ 9					+ 6n, n = 0,1,2,... .				386. 1)	0 < α ≤	π;
	π		2		π .				2			2				2							3
2)		< α <
	3			2

Раздел 4

387. 1) A1D, A1B1, AD, AB; 3) указание: используйте результат выполнения задания 2); 4) указание: все эти прямые лежат в плоскости BDD1, перпенди- кулярной А1С1. 388. 1) SO, AC; 2) перпендикулярны; 4) SON, где N — середи-

на АВ; 5) 3 2 см2. 389. 1) CS CB, CS CM, CS CA, CM AB; 2) перпен-

дикулярны; 5) 246 a2. 390. 1) А1C1; 2) АА1С1; 3) BN, где N — середина CD; 6) АDC1; 7) А1C. 391. 1) SO, где О — центр квадрата ABCD; 2) SKO; 3) высота из вершины М треугольника SMP, где Р — середина ребра АВ. 392. ≈ 4,9 м. 393. Указание: учтите взаимное расположение данных точки и прямой. 394. Указание: используйте то, что диагональное сечение куба является

490 Ответы и указания к задачам

те сечение плоскостью, проходящей через диагонали противоположных гра-
ней. 403. 2) Сечениями являются треугольники SAD и ACL, где D, L — сере-
дины отрезков BC и SB, а их пересечением является отрезок, соединяющий
точку A с точкой пересечения отрезков SD и BK. 404. Указание: проведите
через все пары скрещивающихся прямых параллельные				плоскости.
405.	2a + 2b. 406. Указание: проведите из точки С перпендикуляры к ВА.
407.	1) SOC, где O — середина	AB; 2) KL, где K, L — середины отрезков AS
и AC; 3) указание: проведите через точку A прямые, параллельные CS и CB;
4) указание: из точки C проведите перпендикуляр к прямой SO. 408. 1)					MKO,
где O — середина AC; 2) прямая, проходящая через середину АМ параллель-
но MK; 3) указание: проведите через точку A			прямые, параллельные BC и
KM;	4) BCL, где L — середина AM. 409. 1) AOS;		2) прямая, параллельная SO;
указания: 3) воспользуйтесь тем, что прямая SO перпендикулярна плоскос-
ти АВС; 4) докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости					ASO.
410.	1) Проходит через центры указанных граней; 2) АА1С; указания:				3) вос-
пользуйтесь тем, что прямая А1С1 перпендикулярна плоскости BDD1; 4) про-
ведите через точку D прямую, параллельную прямой АС. 411. 1)				SO ABC;
2) BC ASD. 412. ≈ 21,5 м. 413.		b2 + c2 − a2 . 414. Указание: достаточно до-
казать, что прямая а перпендикулярна плоскости MPQ. 415. Указание: че-
рез точку D проведите прямую, параллельную			OM. 416. Указание: это пря-
прямоугольником. 396. Указание: проведите через прямые а и b плоскость
и рассмотрите ее пересечение с плоскостью α.			397. Указание:	примените

метод «от противного». 398. Указание: выясните, чем является отрезок KE для треугольников KAB и KCD. 399. Указание: для прямых, лежащих в од-

ной плоскости, все понятно. Если допустить, что прямые, имеющие два об-

щих перпендикуляра, скрещиваются, то эти перпендикуляры перпендику-

лярны и параллельным плоскостям, в которых лежат прямые, а потому они

параллельны между собой. 400. Указание: используйте то, что указанные прямые параллельны между собой. 402. Указания: 1) рассмотрите сечение

плоскостью, проходящей через середины параллельных рёбер; 2) рассмотри-

мая, перпендикулярная ортогональной проекции прямой а на плоскость α. 417. YA > YB. 418. Указание: через каждую точку плоскости проходит пря-

мая, перпендикулярная данной прямой. 419. Указания: а) постройте два

прямоугольника на данном отрезке и найдите точки пересечения их диаго-

налей; б) постройте два равнобедренных треугольника, основаниями кото-

рых является данный отрезок. 420. 10 дм. 421. 1) Перпендикулярны; 2) пер-

пендикулярны;3)плоскостьпроходитчерезсерединуотрезкаАВ;4)плоскость проходит через перпендикуляр к АВС, проведенный через середи-

ну AD. 422. 1) SDB ABC, SDB ABK; 4)	1 a2		. 423. 1) Перпендикулярны;
	4		5
2) перпендикулярны; 5) перпендикулярны; 6)				a2 . 424. Указания: 1) вос-

2
пользуйтесь тем, что медиана в правильном треугольнике является высотой;
2) воспользуйтесь заданием 1; 3) учтите, что BD AMC; 4)	4	см; 5) пополам.
	3

Ответы и указания к задачам				491
425. 1)	5		см; 2) указание: используйте, что указанная плоскость единс-
	2
			1 337 см. 427. Указание: рассмотрите случаи, когда плоскос-
твенна. 426.
			5
ти параллельны и когда пересекаются. 428. Указание: укажите ребро одной
грани, перпендикулярное другой грани. 429. Указание: воспользуйтесь оп-

ределением перпендикулярности плоскостей и однозначностью перпендику- ляра из точки к плоскости. 430. Указание: воспользуйтесь тем, плоскость,

перпендикулярную другой плоскости, можно считать «сотканной» из перпен-

дикулярных прямых к другой плоскости. 431. Указание: докажите, что, на-

пример,

ВВ1

α, и тогда

ВВ1 ВХ. 432. Указание: рассмотрите сначала две

указанные

плоскости

и

установите

свойства

их линии

пересечения.

433. 1)

3

b;

2)

3

b,

3

b,

3

b. 434. 40 см. 435. 21 см, 28 см. 436. 1)

41 см;

2

3

2

6

2) 12 см. 437. 1) 13 см; 2) 4 см. 438. 1)

a2

b2

;

2)

2

ab. 439. Указание: по­

+

2

4

4

пробуйте реализовать конструкцию на прямоугольном параллелепипеде.

442. 130 см. 443. 8 см. 444. 10 см, 35 см. 445. 6 см. 446. Или

674

см, или

25+ 399

см, или 25−

399 см. 447. 3

5

см, arcsin

2 . 448. 12 см, 3

41 см,

3

20 см. 449.

2

2 см. 450. 45°. 451. 36 см. 452.

15

см. 453. Указание: во всех

случаях речь идет о построении наклонной МK, перпендикулярной прямой

АВ. Для этого целесообразно сначала построить проекцию наклонной МK,

перпендикулярную АВ, а затем воспользоваться теоремой о трех перпенди-

кулярах. 454. 12 см, 178 см, 185 см. 455. Указание: воспользуйтесь тем,

что наклонные, проведенные из точек перпендикуляра к вершинам прямо-
угольника, своими проекциями имеют половины диагоналей.																												456. Указа-
ние: выясните, какой вид имеет треугольник АВС. 457.																										1	3a2 + 1 d2 .		458.
a		5				29			7 a. 459. Да. 460. 3																	4		4
	,		a,					a,										41 см. 461. 1) ≈ 75 м; 2) ≈27°; 3) ≈ 34 м.
4		4
						4			4
462. 1) 2 см; 2)									4	11	см; 3) 2				11 см. 463. 1)						2 2			см; 2)		2	см; 3) 2 5		см.
									3			3										2						5
464. 1) 4						2	см; 2)			4	2	см; 3)			2	13		см. 465. 1)					a; 2) а; 3) а; 4)					1,5a;	5) а;
																					2
													a2			2			a						a2		a
		3									2													2
6)	а; 7)					a.	466. 1)				b	−		;	2)			a; 3)		;	4)			b −		; 5) 2		. 467. 2,5 см
				3									2			2			2 2						4
или 1,5 см. 468. 10 см. 469. 1)																78		см; 2)	78			см или			3	6	см. 470. Указа-

ние: сравните выражения наклонных через перпендикуляры и проекции. 471. Указание: воспользуйтесь теоремой о трех перпендикулярах. 472. Указание: следует рассмотреть трапеции, построенные на перпендикулярах, проведенных из противоположных вершин прямоугольника к поверхности

492 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Земли. Они имеют общую среднюю линию. Поскольку порядок следования вершин в задаче не обусловлен, то может быть три варианта ответа: 1; 3; 5 м.

473. 37 см. 474. 5 см или 4 см (последний случай может иметь место, когда точка ортогонально проектируется за пределы угла, и когда расстояние от

	сторон угла равно расстоянию от его вершины).																																		475.			2			a.	476. Указание:
																																						4
	рассмотрите треугольники АСВ и BDC. 477. 82°. 478. 72° и 108° или 540°
		720°.																								2												2					7
	и								479. ≈					1848				м. 480.			1)		arctg							;		2)			arctg						; 3)		ABD SKC;
																											3											15
		7								12 3																					3												4) arctg1 ;
	4)	30°;				5)								см. 481. 1)						60°;			2)	arctg									;	3)	ABS BDC;
		2	3							57																				2													2
	5)					см. 482. 1) 30°; 2) 60°. 483.1) 60° и 30°; 2) равны; 3) 4 6 см. 484.1) ≈ 55°;
			5
	2) равны; 3) ≈19°; 4)															1		a. 485. 1) 30°; 4) 8								2+						3		см; 5) 4 2 −								3	см. 486. 1) 30°;
																3
	4) 2		2 +						3	см; 5)				2 −				3 см. 487. 2) Равны; 3) 90°. 488. 3) Равны. 489. 1) 45°,
			2											2				2			π					2									5
	arctg						;		2)	arctg						; arctg				;	2 − arctg								;			3) arctg							. 490.			1) ≈ 1 м; 2) 30°.
				2										4					5							4										2
	491.≈900м.493. 1) 8															2 см; 2) 16 см; 3)								16				см. 494. 30°. 495. ≈ 1,8 м. 496. Ука­
																									3
	зание: пусть O = a ∩α. Отложите на трех данных прямых плоскости α от-
	резки OA = OB = OC. Тогда точки прямой																													а			равноудалены от вершин треу-
																							α																b					a sin α
	гольника									ABC.				497.				1)		a cos 2 , a sinα;												2)			arctg a ,								2
																																										arccos			;
																																												b2 + a2
										α													btg			α
	3) arcsin								a cos 2		;			4)		α;		π − 2arctg								2								; arctg a sin α .
																															2 α
									b2 + a2														2	4a	2	sin													b
																						b +										2