§21. ортогональное проектирование

Ðассматривается проектирование по направлению, перпендикулярному плоскости проекöии, и его применения.

Введение понятий перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей дает возможность вернуться к вопросу об изображении пространственных геометрических фигур. Как уже отмечалось, качество изображений в стереометрии, то есть возможность по ним получить наиболее полное представление о фигуре, зависит от выбора направления параллельного проектирования. Среди всех возможных направлений проектирования выделяется направление, перпендикулярное плоскости проекций. Во-первых, такое направление лишь одно. Во-вторых, оно естественнее всего

для восприятия человеком (рис. 438–440).

Таким образом, одним из наиболее распространенных в геометрии и ее приложениях частным случаем параллельного проектиро-

вания является ортогональное проектирование, то есть проек-

тирование вдоль прямой, перпендикулярной плоскости проекций.

Ортогональный — от греческих ορϑος (orthos) — прямой, вертикальный и γωνια (gonia) — угол — буквально: прямоугольный. То же, что и «перпендикулярный».

420	Перпендикулярность прямых и плоскостей

Параллельная проекция точки на плоскость назы­ вается ее ортогональной проекцией, если прямая, определяющая направление проектирования, пер­ пендикулярна плоскости проекций.

Из теоремы о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), имеем, что каждая проектирующая прямая при ортогональном проектировании пер- пендикулярна плоскости проекций.

Посколькуортогональноепроектированиеявляетсячастнымслу- чаем параллельного проектирования, то оно обладает всеми свойс- твами последнего. В частности, ортогональной проекцией прямой а на неперпендикулярную ей плоскость α является прямая а1, кото- рую можно считать пересечением плоскости α с плоскостью β, составленной из проектирующих прямых (рис. 441). Эти проектирующие прямые

перпендикулярны плоскости α. То есть ортого- нальная проекция прямой на неперпендику- лярную ей плоскость является пересечением перпендикулярных плоскостей.

Ортогональное проектирование имеет ряд особенностей. Орто- гональному проектированию на плоскость соответствует взгляд сверху на предмет, расположенный на горизонтальной площадке. Поэтому плоские фигуры, расположенные параллельно плоскос- ти проекций, не искажаются (рис. 442). В частности, не изменя- ются их линейные и угловые размеры, и это свойство предопре- деляет широкое использование ортогонального проектирования в техническом черчении. Впрочем, поскольку проектирование на одну плоскость, вообще говоря, не дает целостного представления о предмете, то ортогональные проекции выполняют по крайней мере на две или на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 443, 444). По такому чертежу несложно воспроизвести и фор-

Ортогональное проектирование

421

му предмета, и его размеры. Так, на рис. 444 представлены фрон- тальная(видспереди),горизонтальная(видсверху)ипрофильная (вид сбоку) проекции детали (пластины с двумя отверстиями).

Ортогональноепроектированиеобычноиспользуютиприизобра- жении шара. В результате изображени- ем шара является круг. Если же проек-

тирующие прямые не перпендикулярны плоскости проекций, то проекцией шара является часть плоскости, ограничен- ная эллипсом (представьте себе тень, от шара, лежащего на земле), не соответс- твующая нашему представлению о шаре

(рис. 445).

Пример 1. Правильная треугольная пирамида SABC с боко-

вым ребром 5 см и стороной основания 3 3 см ортогонально про- ектируется на плоскость основания ABC.

1) В какую точку треугольника ABC проектируется вершина S? 2) Определить длину отрезка, соединяющего точку S с ее проек-

цией на плоскость основания.
 1) Пусть при ортогональном проектирова-
нии точка S проектируется в точку О, SО ABC
(рис. 446). Поскольку АО SO, то треугольник
SАО — прямоугольный с гипотенузой SA. По те-
оремеПифагора, AO = SA2 − SO2 .Аналогично
из прямоугольных треугольников SСО и	SВО
имеем: CO = SC2 − SO2 , BO = SB2 − SO2	. Но
в правильной пирамиде AS = CS = BS, поэтому
АО = СО = ВО, то есть О — центр окружности,
описанной около основания АВС.
2) Как известно, радиус окружности R, описанной около правиль-

	ноготреугольникасосторонойа,вычисляетсяпоформуле: R =				a 3	.
		3 3 3		3
	Поэтому AO =		= 3 (см), а SO = 52 −32	= 4 (см). ■
		см.3
	Ответ: 2) 4

422	Перпендикулярность прямых и плоскостей

Понятие перпендикулярности прямой и плоскости порождает один из важнейших видов симметрии в пространстве, а именно, симметрию относительно

плоскости.

Точки А и А1 называются симметричными относи­ тельно плоскости α, если отрезок АА1 перпендику­ лярен плоскости α и точкой О пересечения его с α делится пополам (рис. 447). Точка плоскости α счи­

тается симметричной сама себе.

Из этого определения вытекает, что АО = ОА1, то есть точки А и А1 центрально-симметричны относительно точки О.

Фигуры пространства F и F1 называются симмет­ ричными относительно плоскости α, если для каж­

дой точки одной фигуры имеется симметричная ей точка во второй фигуре (рис. 448).

Если же в этом определении F = F1 (речь идет об одной и той же фигуре), то F называется симметричной относительно плоскос-

ти α (рис. 449).

Примерами симметричных относительно плоскостей фигур на- сыщены как реальное физическое пространство, так и геометри-

Ортогональное проектирование

423

ческое. Природа создала симметричными фигуры людей и боль- шинстваживыхсуществ,симметричнакнига,которуювыдержите в руках, столовая посуда, утюг и много-много др. (рис. 450–452).

Нетрудно указать плоскости, относительно которых симмет- ричны куб, правильная пирамида, шар и т. п. Отыскание у гео- метрической фигуры симметрий относительно плоскостей являет- ся важной составляющей ее изучения. Это существенно облегчает нахождение и доказательство ее свойств.

99 Контрольные вопросы

1.На рис. 453 изображена конструкция, сделанная из проволоки. Одинаковы ли ее ортогональные проекции на плоскости нижней грани и боковой грани каркасного куба?

2.На рис. 454 изображена конструкция, сделанная из проволоки. Сравните ее ортогональные про- екции на плоскости нижней, верхней и боковой граней каркасного куба.

На рис. 455 изображена городошная фигура «ко- лодец». На каком из рис. 456, а)–г) изображена одна из ортогональных проекций этой фигуры?

4.Может ли ортогональной проекцией квадрата быть прямо- угольник, не являющийся квадратом? А наоборот?

5.Верно ли, что ортогональной проекцией произвольной пря- мой является прямая?

6.Можетлиотрезокбытьортогональнойпроекциейтреугольника?

7.Верно ли, что длина ортогональной проекции отрезка меньше или равна длине самого отрезка?

8.Обязательно ли ортогональной проекцией квадрата является прямоугольник?

9.Какой угол может быть ортогональной проекцией прямого угла; острого угла; тупого угла?

424	Перпендикулярность прямых и плоскостей

10.Относительно каких плоскостей симметрична: а) точка; б) от- резок; в) прямая; г) плоскость?

Графические упражнения

1.На каждом из рис. 457, а)–д) изображен вид спереди и вид сверху некоторой фигуры. Для каждой пары укажите тело, которое может так выглядеть (отсутствие на рисунках штри- ховых линий означает, что у соответствующей фигуры нет не- видимых ребер, или они закрыты видимыми).

2.Сколько деревянных кубиков использовано для построения башни, если с трех сторон она выглядит, как на рис. 458?

3.Фигура задана на рис. 459, а)–е) с помощью трех ортогональ- ных проекций.

Ортогональное проектирование

425

1)Изобразите эту фигуру.

2)Выясните, имеет ли фигура плоскости симметрии? Если имеет, то сколько?

4.Постройте ортогональную проекцию правильной четырех- угольной пирамиды на:

1)плоскость основания;

2)плоскость, проходящую через ребро основания перпендику- лярно плоскости основания.

Задачи

436°. Концы отрезка АВ лежат по одну сторону от плоскости α. Расстояния концов отрезка АВ до их ортогональных проек- ций А1, В1 на плоскость α равны 4 см и 8 см. Найдите:

1) длину отрезка АВ, если А1В1 = 5 см; 2) расстояние между серединой отрезка АВ и серединой от-

резка, симметричного ему относительно плоскости α.

437°. Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от плоскости α. Расстояния концов отрезка АВ до их ортогональных проек- ций А1, В1 на плоскость α равны 4 см и 8 см. Найдите:

1) длину отрезка АВ, если А1В1 = 5 см; 2) расстояние между серединой отрезка АВ и серединой от-

резка, симметричного ему относительно плоскости α.

438. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD со сторо- ной основания а расстояние между ее вершиной S и симмет- ричной ей точкой S1 относительно плоскости АВСD равно b. Найдите:

1) длину бокового ребра пирамиды;

2) площадь сечения пирамиды, проходящего через противо- положные боковые рёбра.

439. Только одна из сторон угла лежит в плоскости проекций. Докажите, что ортогональной проекцией прямого угла яв- ляется прямой угол, острого угла — угол, меньший проекти- руемого, тупого угла — угол, больший проектируемого, если плоскость, в которой лежит угол, неперпендикулярна плос- кости проекций.

440. Плоскость, параллельная основанию правильной четырех- угольной пирамиды, делит боковое ребро пополам. Изобра- зите пирамиду, симметричную данной относительно этой

426	Перпендикулярность прямых и плоскостей

плоскости. Изобразите также фигуру, полученную объеди- нением данной и полученной пирамид.

441. Три взаимно перпендикулярные прямые ОХ, ОY, ОZ опре- деляют три плоскости α, β, γ. Точки М и N лежат в плоскос- тях β и γ. Постройте ортогональные проекции прямой MN на плоскости α, β, γ.

442. Балка закреплена концами на стене и на потолке, причем расстояние от концов балки до линии пересечения потолка и стены равны, соответственно, 30 см и 40 см. Найдите дли- ну балки, если длина ее проекции на линию пересечения потолка и стены равна 120 см.

Упражнения для повторения

443.Из точки А проведены к данной прямой две равные наклон- ные АВ и АС, расстояние между основаниями которых рав- но 16 см. Определите длину проекции каждой наклонной на данную прямую.

444.В треугольнике проекции двух сторон на третью равны 15 м и 27 м, а большая из первых двух сторон равна 45 м. На какие части она делится (начиная от вершины) перпенди- куляром к третьей стороне, проведенным из ее середины?

445.В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 см и 84 см. Определите радиус вписанного круга.

446.Длины трех сторон прямоугольной трапеции равны 25 см, 25 см, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.

Ортогональное проектирование

427

Итог

Основные определения

Параллельная проекция точ- ки на плоскость называется

ее ортогональной проек­ цией, если прямая, опреде- ляющая направление проек- тирования,перпендикулярна плоскости проекций.

Точки М и М1 называются

симметричными относи­

тельно плоскости α, если отрезок ММ1 перпендикуля- рен α и точкой О пересече- ния его с α делится пополам. Точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Фигуры пространства F и

F1 называются симмет­

ричными относительно плоскости α, если для каж- дой точки одной фигуры име- ется симметричная ей точка во второй фигуре.

§22. Перпендикуляр
и наклонная
Ðассматриваются свойства перпендикуляра и наклонной к
плоскости, их применения к измерению расстояний в про-
странстве.
В планиметрии измерение расстояний между точкой
и прямой (или между параллельными прямыми) свя-
зано со сравнением длин наклонных и перпендику-
ляров. Рассмотрим аналогичные понятия в пространстве.
Пусть один из концов А отрезка АВ ле-
жит в плоскости α, а другой — вне плоскости
(рис. 460). Если отрезок и плоскость не пер-
пендикулярны, то ортогональной проекцией
отрезка АВ на плоскость α является отрезок
АР, где Р — ортогональная проекция точки В
на плоскость α. Имеем плоскость α и прямо-
угольный треугольник АВР, один из катетов
которого лежит в плоскости, а второй — перпендикулярен ей.
Стороны прямоугольного треугольника АВР	имеют свои на-
звания: гипотенуза АВ называется наклонной,	катет ВР — пер­
пендикуляром, катет АР — проекцией наклонной (речь идет,
конечно, об ортогональной проекции). Точку Р называют основа­
нием перпендикуляра ВР, а точку А — основанием наклон­
ной ВА.
Поскольку треугольник АВР прямоугольный, то, согласно тео-
реме Пифагора,
АР2 + РВ2 = АВ2.
Это равенство вместе с другими свойствами прямоугольных
треугольников позволяет сформулировать ряд свойств перпенди-
куляра, наклонной и ее проекции.

Перпендикуляр и наклонная

429

Теорема 1 (свойство перпендикуляра к плоскости).

Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к данной плоскости.

Теорема 2 (свойство наклонных и их проекций).

Наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, равны тогда и только тогда, когда равны их проекции. Если даны две наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, то большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот, большей проекции соответствует большая наклонная.

Все эти свойства можно считать следствиями теоремы Пифаго- ра. Их легко можно проиллюстрировать примерами из окружаю- щей среды.

Вертикальная подпорка к столбу с фонарем (рис. 461) меньше части столба от земли до места крепления подпорки (перпендику- ляр меньше наклонной).

При запуске воздушного змея чем больше отмотаешь бечевки (рис. 462), тем дальше будешь находиться от места, над которым находится змей (большей наклонной соответствует большая про- екция).

Во время катания на карусели (рис. 463) все находятся на оди- наковом расстоянии от столба, к которому крепятся кабинки (рав- ные наклонные имеют равные проекции).

Свойства перпендикуляра и наклонной широко применяются в стереометрии для установления взаимного расположения геомет- рических фигур, измерения расстояний. Стоит обратить внима- ние и на удобство пользования терминологией, которая сформи- ровалась при этом. Рассмотрим обобщение результатов примера 1

из §21.

430	Перпендикулярность прямых и плоскостей
З а д а ч а 1 .	Доказать, что ортогональная проекция вершины

правильной шестиугольной пирамиды на плоскость основания является центром окружности, описанной около основания пира- миды.

 Пусть S — вершина пирами- ды, А1, А2, …, А6 — вершины осно- вания, а точка О — проекция вер-

шины S на плоскость основания

(рис. 464, а).

Боковые ребра SAi, i = 1, 2, …,

6, можно рассматривать как на- клонные, проведенные к плоскости

основания из точки S. Они равны

между собой, а потому равны и их проекции АiO на плоскость основа-

ния (рис. 464, б). Следовательно, каждая из вершин Аi основания расположена на одинаковом расстоянии от точки О, то есть на ок- ружности с центром О и с радиусом ОАi. ■

Легко догадаться, что утверждение, сформулированное в зада- че, справедливо для произвольной правильной п-угольной пира- миды с таким же доказательством.

!Если проанализировать решение задачи 1, то можно прийти к выводу, что ортогональная проекция вершины любой п-угольной пирамиды, боковые рёбра которой равны между собой, на плоскость основания является центром окружности, описанной около основания пирамиды.

П р и м е р 1 .	Найти	расстояние	от	вершины		С1	куба
ABCDA1B1C1D1	с ребром	а до центра О грани			ABCD.
 Построим рис. 465, соответствующий ус-
ловию примера. Отрезок СС1 перпендикуляр
к плоскости грани ABCD, С1О — наклонная,
СО — ее проекция. По условию, СС1			= а, а СО
равняется половине длины диагонали квад-
рата: CO = 1 CA = 2 a .
2	2

Перпендикуляр и наклонная									431
Из прямоугольного треугольника СОС1 имеем:
		C1O = CO2 +CC12 = =		2	2		2		3
				4 a		+ a		=	2a. ■
Ответ:		3a.
		2
На самом деле это задание является сугубо планиметрическим,
если рассмотреть равносторонний треугольник DС1В со стороной
2a .
Рассмотрим задачу об измерении расстояния от точки до пря-
мойвпространстве.Посколькучерезпрямуюиточку,нележащую
на прямой, можно провести единственную плоскость, то сформу-
лированная задача является, вообще говоря, планиметрической.
Однако в стереометрии эта задача имеет свои особенности, кото-
рые можно проиллюстрировать таким примером.
П р и м е р		2 . Найти расстояние от вершины вертикальной баш-
ни до дороги, если известна высота башни h и расстояние а от
дороги до основания башни.
Условиепримераиллюстрируетрис.466,
на котором поверхность земли моделируется
плоскостью α, дорога — прямой АВ, башня —
отрезком		ОО1, перпендикулярным плоскос-
ти α. Искомое расстояние равно длине пер-
пендикуляра ОС, проведенного из точки О к
прямой АВ.
Проблема заключается в том, как найти
основание этого перпендикуляра, находясь в плоскости α. Оче-
видно, что для этого достаточно из точки О1								провести перпендику-
ляр О1С к прямой АВ (рис. 466). Отрезок ОС и является искомым
перпендикуляром. Действительно, согласно свойству наклонных
и проекций (теорема 2), каждый другой отрезок, соединяющий
точку О с точкой прямой АВ, длиннее отрезка ОС, так как длин-
нее его проекция. Вычисления в этой задаче простые. Поскольку
треугольник ОСО1			прямоугольный и			ОС —			его гипотенуза, то
ОС =	CO12 +O1O2		= h2 + a2 . ■
Ответ:		h2 + a2 .

432	Перпендикулярность прямых и плоскостей

В рассмотренном примере мы пришли к выводу, который ши- роко используется при измерении расстояний и установлении перпендикулярности прямых в пространстве.

Теорема 3 (о трех перпендикулярах).

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее проекции.

Сжатое доказательство этой теоремы фактически приведено в примере 2. Оно основывается на том, что сравнение длин наклон- ных, проведенных из одной точки, эквивалентно сравнению длин их проекций.

!Теорема о трех перпендикулярах является признаком перпендикулярности прямых в пространстве, а потому имеет важное значение в стереометрии.

Пример 3. Плоскости квадратов АBCD и АBC1D1 со стороной а перпендикулярны. Найти расстояние от середины М стороны С1D1 до стороны СD.

 Расстояние от точки М до прямой СD рав-

но длине отрезка МN, где N — середина СD (рис. 467). Действительно, перпендикуляр МР, проведенный к плоскости АBCD, лежит в плос- кости АBC1D1, так как эти плоскости перпенди-

кулярны. Поэтому МР АВ. Точка Р является серединой отрезка АВ, ибо МР || С1В и М — се- редина С1D1. Но тогда проекция PN наклонной

МN перпендикулярна прямой СD как отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата. По теореме о трех перпендикулярах (теорема 3), МN СD, то есть МN — перпендикуляр к прямой СD. Из прямоугольного треуголь- ника МPN имеем

MN = MP2 + PN2 = a2 + a2 = 2a. ■

Ответ: 2a.

!Сравните решение примеров 2 и 3. Что у них общего, чем они отличаются?

Перпендикуляр и наклонная

433

В связи со значимостью теоремы о трех перпенди-

кулярах (теорема 3) рассмотрим подробнее ее до-

казательство. При этом воспользуемся способом, связанным с использованием ее для установления

перпендикулярности прямых в пространстве.

Дано: АР — проекция наклонной АВ к плоскости α, l α,

А l.

Доказать: l АB l АР.

 Доказательство теоремы состоит из двух частей. Пусть сна- чала наклонная АВ перпендикулярна прямой l, лежащей в плос- кости α (рис. 468, а). Докажем, что ее проекция АР также перпен- дикулярна прямой l.

Проведем через точку А в плоскости треугольника АВР пря- мую d, параллельную перпендикуляру ВР (рис. 468, б). Согласно теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпен- дикулярна плоскости (теорема 1 § 19), прямая d перпендикуляр- на плоскости α, поэтому перпендикулярны между собой прямые d и l. По условию, прямая l перпендикулярна еще и прямой АВ. Следовательно, прямая l перпендикулярна двум пересекающим- ся прямым плоскости АВР, а потому перпендикулярна этой плос- кости, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (те- орема 1 § 18). Поскольку проекция АР лежит в плоскости АВР и пересекает l, то АР l.

Доказательство обратного утверждения аналогично приведен- ному. Для этого достаточно слово «проекция» заменить словом «наклонная», и наоборот. ■

!Применение теоремы о трех перпендикулярах как признака перпендикулярности прямых в пространстве сводится к проверке правильности одного из следующих утверждений.

434	Перпендикулярность прямых и плоскостей

1)Содержит ли одна из данных прямых проекцию наклонной к плоскости, в которой лежит другая прямая, и перпендикулярна ли наклонная ей?

2)Содержит ли одна из данных прямых наклонную к плоскости, в которой лежит другая прямая, и перпендикулярна ли проекция наклонной ей?

Пример 4. Отрезок АР перпендикулярен плоскости паралле- лограмма АBCD. Докажите, что:

1) ABCD — прямоугольник, если прямая РD перпендикуляр- на СD;

2) ABCD — ромб, если прямая РО, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма, перпендикулярна ВD.

 1) Если прямая РD перпендикулярна

прямой СD, лежащей в плоскости парал- лелограмма α, то, по теореме о трех пер- пендикулярах (теорема 3), ее проекция АD перпендикулярна прямой DС. Поэтому па-

раллелограмм ABCD является прямоуголь- ником.

2) Если наклонная РО перпендикуляр-

на диагонали ВD (рис. 470), то ее проекция АО будет перпендикулярна прямой ВD, по теореме о трех перпендикулярах. Диагона-

ли параллелограмма ABCD — перпендику- лярны. Поэтому он является ромбом. ■

Пример 5. Из точки М гипотенузы прямоугольного треуголь- ника ABC проведен перпендикуляр MN к плоскости треугольника. Провести через точку N прямую, перпендикулярную прямой BC.

 Построим рис. 471 по условию примера. Воспользуемся тео­ ремой о трех перпендикулярах. Для этого из точки М в плос- кости треугольника проведем перпендикуляр МK к прямой BC (рис. 472). Отрезок MK является проекцией наклонной NK, поэто- му он перпендикулярен BC вместе с MK.

Построение. Через точку М проведем прямую МK парал- лельно прямой АС, где K — точка ее пересечения с прямой BC

(см. рис. 472). Прямая NK — искомая. ■

Перпендикуляр и наклонная

435

99 Контрольные вопросы

1. На рис. 473 изображены две наклонные АВ и АС и их проек- ции РВ и РС на плоскость α. Какая из этих проекций больше, если:

1) АВ = 6, АС = 4; 2) АВ = 5, АС = 7?

2. Из вершины А прямоугольника ABCD (AB < BC) проведен перпендикуляр АМ к его плоскости. Точка М соединена с точ- ками B, C, D (рис. 474).

1) Сравните длины отрезков МА, МВ, МС, МD.

2) Длина какого отрезка равна расстоянию от точки М до пря- мой ВС?

3. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CS к его плоскости (рис. 475). 1) Какая из наклонных SA и SB больше, если угол А равен 30°? 2) Длина какого отрезка равна расстоянию от точки S до пря- мой, проходящей через точку В параллельно прямой АС?

4. Какую фигуру образуют основания всех равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки?

5. Прямая проходит через центр окружности и перпендикуляр- на её плоскости. Равноудалены ли точки прямой от точек ок- ружности?

436	Перпендикулярность прямых и плоскостей

6.Верно ли, что прямая перпендикулярна наклонной к некото- рой плоскости, если она перпендикулярна ее проекции на эту плоскость?

7.Верно ли, что прямая, перпендикулярная наклонной к плос- кости и ее проекции на эту плоскость, лежит в этой плоскос- ти?

8.Две равные наклонные, проведенные из различных точек к плоскости, имеют равные проекции на эту плоскость. Образу- ют ли они равные углы с перпендикулярами, проведенными из этих точек к этой плоскости?

9.Прямая пересекает плоскость. Всегда ли существует в этой плоскости прямая, перпендикулярная этой прямой?

10.Какую фигуру образуют точки, равноудаленные от: а) вершин треугольника; б) прямых, содержащих стороны треугольника?

Графические упражнения

1.Из центра симметрии О параллело­ грамма ABCD проведен перпендикуляр

кего плоскости (рис. 476).

1)Сравните длины наклонных SA иOS

SC.

2) При каких условиях длина наклон- ной SD больше длины наклонной SA?

3) Длине какого отрезка равно расстоя- ние от точки S до прямой, проходящей через точку В параллельно прямой АС?

2. Из вершины А прямоугольного тре­ угольника ABC с прямым углом С про- веден перпендикуляр AK к плоскости треугольника (рис. 477).

1) Длина какого отрезка равна расстоя- нию от точки K до катета СВ?

2) Сравните длины наклонных KB и KC.

3. Из середины Мстороны СВпрямоуголь- ника ABCD проведен перпендикуляр МS к его плоскости, N — середина AВ

(рис. 478).

1) Сравните длины наклонных SС и SВ.

Перпендикуляр и наклонная					437
	2) Длина какого отрезка равна расстоянию от точки S до пря-
	мой АВ?
	3) При каких условиях длины наклонных SС и SN равны?
4.	Из вершины С	ромба	ABCD	проведен
	перпендикуляр	СK к	его	плоскости
	(рис. 479).
					и
	1) Сравните длины наклонных KО
	KB.
	2) Длина какого отрезка равняется рас-
	стоянию от точки K до диагонали BD?
5.	Через середину D стороны AС равностороннего треугольни-
	ка AВС проведен перпендикуляр DS.				Проведите в плоскости
	треугольника через вершину В прямую, перпендикулярную
	наклонной SВ.
6.	Через вершину С правильной треугольной пирамиды SАВС
	проведите прямую, перпендикулярную прямой SС.
7.	На изображении правильной пирамиды SAВС из точки М
	ребра SС проведите перпендикуляр к стороне основания AВ.

Задачи

447°. Из некоторой точки пространства проведен к данной плос- кости перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 9 см. Найдите длину проекции наклонной и угол, который она об- разует с наклонной.

448. Пусть МА — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD со сторонами 15 см и 16 см, МС = 25 см. Найдите рас- стояния от точки М до других вершин прямоугольника.

449. Из некоторой точки А к данной плоскости проведен перпен- дикуляр АО длиной 1 см и две равные между собой наклон- ные АВ и АС, образующие с перпендикуляром углы по 60°, а между собой — прямой угол. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

450. Из некоторой точки к данной плоскости проведены две рав- ные наклонные. Угол между ними равен 60°, угол между их проекциями — 90°. Найдите угол между наклонной и ее проекцией.

451. Из данной точки пространства к плоскости проведены две на- клонные,разностьдлинкоторыхсоставляет6см.Ихпроекции на эту плоскость равны 27 см и 15 см. Найдите длину перпен- дикуляра, проведенного из данной точки к плоскости.

438	Перпендикулярность прямых и плоскостей

452.Из точки А проведен к данной плоскости перпендикуляр АС длиной 10 см, а из точки В — наклонная ВD длиной 11 см. Найдите АВ, если СD = 6 см и АВ ВD.

453.Из точки М, лежащей вне плоскости треугольника АВС, проведите перпендикуляр к прямой АВ, если:

1)прямая МС перпендикулярна плоскости АВС и АС = ВС;

2)основание О перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости АВС, делит ВС пополам, а угол ВАС — прямой;

3)треугольник АВС — равносторонний, О — середина сто-

роны ВС и МО АВС.

454.Точка, лежащая вне плоскости треугольника со сторонами 10 см, 8 см, 6 см, удалена от его вершин на 13 см. Найдите расстояния от данной точки до сторон треугольника.

455°. Из точки пересечения диагоналей прямоугольника проведен перпендикуляркегоплоскости.Докажите,чтокаждаяточкаэто- гоперпендикуляраравноудаленаотвершинпрямоугольника.

456. Из данной точки А, не лежащей в плоскости α, проведены наклонные АВ и АС, образующие равные углы с прямой ВС плоскости α. Докажите, что проекции этих наклонных на плоскость α равны между собой.

457. Из середины стороны ромба со стороной а проведен перпен- дикуляр к его плоскости, верхний конец которого удален на

a от большей диагонали длиной d. Определите длину этого

2

перпендикуляра.

458. Из середины стороны правильного шестиугольника со сторо- ной а проведен перпендикуляр к его плоскости длиной a4 .

Найдите расстояния от его верхнего конца до сторон шести- угольника.

459. Вправильнойчетырехугольнойпирамидеплоскостидвухпро- тивоположных боковых граней перпендикулярны. Перпенди- кулярны ли плоскости двух других боковых граней?

Упражнения для повторения

460.Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого AC и BC равны, соответственно, 20 см и 15 см. Через точку A проведена плоскость α, параллельная прямой ВС. Длина

Перпендикуляр и наклонная

439

проекции одного из катетов на плоскость α равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

461. Эскалатор метрополитена имеет 170 ступеней шириной 40 см и высотой 20 см. Определите: 1) длину эскалатора; 2) угол его наклона к горизонтали; 3) глубину станции.

Итог

Свойства перпендикуляра, наклонной и ее проекции

Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведен- ной из этой же точки к данной плоскости.

BP α, P α, A α BP < BA

Наклонные к плоскости, про- веденные из одной точки, рав- ны тогда и только тогда, когда равны их проекции.

	BP α, P α, BA = BC AP = CP
Если даны две наклонные,
проведенные из одной точки к
плоскости,тобольшаянаклон-
ная имеет большую проекцию,
и наоборот, — большей про-
екции соответствует большая
наклонная.	BP α, P α, BA < BC AP < CP
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в
плоскости через основа-
ние наклонной, перпен-
дикулярна наклонной
тогда и только тогда,
когда она перпендику-	АВ α, С АВ, ОО1 α, О1С АВ ОС АВ
лярна ее проекции.