§16. Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

В данном параграфе рассмотрим большую группу формул, связанных с тем, что поворот на угол α + β можно реали­ зовать в результате двух последовательных поворотов — на угол α и на угол β, и их применения.

1. Формулы сложения

Формулы приведения позволяют считать, что углы

α и β принадлежат промежутку [0; π]. Рассмотрим на тригонометрической окружности точки Рα и Рβ,

имея в виду, что векторы OPα и OPβ образуют углы α и β с осью

абсцисс. Угол между векторами	OPα и OPβ может равняться
α −β, если α ≥ β (рис. 339), β − α,	если β > α (рис. 340). В любом

из этих случаев косинус этого угла равен cos(α −β).

Точки Рα и Рβ имеют соответственно координаты (cos α; sin α) и (cos β; sinβ). Такие же координаты имеют и векторы OPα и OPβ .

По определению скалярного произведения, OPα OPβ =

=				cos(α −β) = cos(α −β), так как				=1.
	OPα		OPβ		OPα	=	OPβ

310	Тригонометрические функции

Поскольку скалярное	произведение векторов	a = (x1 ; y1 ) и
b = (x2 ; y2 ) выражается	через их координаты	по формуле:
ab = x1x2 + y1 y2 , то имеем:

OPα OPβ = cosα cosβ + sinα sinβ.

Сравнив полученные результаты, будем иметь: cos(α −β)= cosαcosβ + sin αsinβ.

Косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов и синусов этих углов.

Как следствие, получаем формулу косинуса суммы углов:

cos(α +β) = cos(α −(−β))= cosαcos(−β)+ sin αsin (−β).

С учетом четности косинуса и нечётности синуса, получим: cos(α + β)= cosαcosβ − sin αsinβ.

Косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов и синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы двух углов. Воспользовавшись формулами приведения и косинуса разности двух углов, будем иметь:

		π				π			=
	sin (α +β) = cos		2	−(α +β)		= cos	− α	−β
						2
	π			π
= cos		− α cosβ + sin			− α sinβ = sin αcosβ + cosαsinβ.
Итак,	2			2

sin (α +β) = sin αcosβ + cosαsinβ.

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

sin (α −β) = sin (α + (−β))= sin αcos(−β)+ cosαsin (−β) =

= sin αcosβ − cosαsinβ.

Таким образом,

sin (α −β)= sin αcosβ − cosαsinβ.

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

311

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Пример 1. Не пользуясь вычислительными средствами, найти sin 15°.

 Представим 15° в виде разности 45° – 30°. Тогда, воспользовавшись формулой синуса разности двух углов, найдём: sin 15° =

	= sin (45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30° =														2		3	−
													2				2
		2	1 =				2
	–								( 3 −1).
						4
	2		2						2
		Ответ.								( 3 −1).
							4
	Пример					2. Вычислить cos (α – β), если cosα = −0,8, π									< α < π,
				12							3π		2
	sinβ = −						, π < β <					.
				13
							2

 Из формулы косинуса разности двух углов вытекает, что для решения задачи необходимо найти sin α и cos β. Из основного тригонометрического тождества можно найти sin2α: sin2α = 1 – cos2α =

= 1 – 0,64 = 0,36. Поскольку	π	< α < π, то sin α > 0, поэтому sin α =
	2

= 0,36 = 0,6. Аналогично вычислим cos β. Из основного тригонометрического тождества имеем: cos2 β =1 − sin2 β =1 −144169 = 16925 .

Поскольку π < β < 32π , то cos β < 0 и cosβ = − 16925 = −135 . Теперь можно вычислить cos (α – β) по формуле косинуса разности двух

	углов: cos(α −β) = cosαcosβ + sin αsinβ = −0,8						5				12		0,6 =
					−				+	−
						13					13
		16 .
	= −
		65	16 .
		Ответ. −
			65

sin αcosβ + cosαsinβ sin α + sinβ

tg (α +β) = cosαcosβ cosαcosβ = cosα cosβ = 1tgα + tgβ . cosαcosβ − sin αsinβ 1 − sin α sinβ − tgαtgβ

cosαcosβ cosαcosβ cosα cosβ

Итак, справедливо утверждение:

тангенс суммы двух аргументов равен сумме тангенсов слагаемых, делённой на разность между единицей и произведением этих тангенсов.

Заменяя β на (– β) и используя нечётность тангенса, получим формулу для тангенса разности.

Тангенс разности двух аргументов равен разности тангенсов уменьшаемого и вычитаемого, делённой на сумму единицы и произведения этих тангенсов.

Аналогично могут быть выведены формулы котангенса суммы и разности двух аргументов, но они употребляются очень редко. При необходимости их можно вывести самостоятельно.

Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов справедливы для значений аргументов, входящих в области определения обеих частей формул.

Пример 3. Вычислить tg 105°.

 Представим 105° в виде суммы 45° + 60°. Тогда, пользуясь формулой тангенса суммы двух углов, найдем:

tg (α +β) =

sin αcosβ + cosαsinβ. cosαcosβ −sin αsinβ

sin (α +β) cos(α +β) =

Допуская, что cosα ≠ 0,cosβ ≠ 0 , и разделив на cosα cosβ числитель и знаменатель последней дроби, будем иметь:

 Действительно,

312 Тригонометрические функции

Используя полученные формулы синуса и косинуса

суммы двух аргументов, можно вывести формулы
сложения для тангенса:
tg(α + β) =	tgα + tgβ			,	tg(α −β) =		tgα − tgβ		.
1 − tgαtgβ							1 + tgαtgβ

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них					313
tg 105° = tg (45° + 60°) =		tg45° + tg60°		1 + 3	(1 + 3)(1 + 3)
			=	1 − 3	= (1 − 3)(1 + 3)	=
		1 − tg45° tg60°
= 4 + 2 3	= −2 − 3.
−2	−2 − 3.
Ответ.

 Контрольные вопросы

1°. Чему равно значение выражения sin22°cos23° + cos22°sin23°?

2. Чему равно значение выражения tg86° − tg26° ? 1 + tg86° tg26°

3.Как с помощью формулы тангенса суммы двух углов вычис-

лить tg75°?

Можно ли утверждать что:

а)	π		+	π		= sin	π	+ sin	π	;
	sin	3		4			3		4

б)sin63°cos12°+cos63°sin12°=sin32°cos43°+sin43°cos32°?

5. Можно ли из формулы косинуса суммы двух углов вывести
формулу косинуса разности двух углов?
6. Можно ли вычислить:								4
1)	cos	π			α =				;
				+ α , если известно, что sin				5
		4				1
2)		π						;
	tg	4	+ α , если известно, что tgα =				2
3)	sin(α −β), если известно, что sinα = −15									,cosβ =				4 ;
					6			17				7		5
4)	tg (α −β), если известно, что tgα =						,tgβ =						?
					5						10
7*. При каких условиях не имеет смысла формула тангенса раз-
ности двух углов?

8*. Можно ли с помощью формул сложения вычислить значение

tg α, если известно значение	π			?
	tg	4	+ α

Пример 5. Упростить выражение:

314	Тригонометрические функции

2. Тригонометрические функции двойного

и половинного аргументов

В качестве следствий формул сложения при α = β

получим формулы двойного аргумента:

sin 2α = sin(α + α) = sin αcosα + cosαsin α = 2sin αcosα;

cos2α = cos(α + α) = cosαcosα −sin αsin α = cos2 α −sin2 α.

Следовательно,

sin 2α = 2sin αcosα; cos2α = cos2 α − sin2 α.

Пример 4. Найти значение cos 2α, если sin α = – 0,8.  По формуле косинуса двойного угла имеем:

cos2α = cos2 α −sin2 α =1 −sin2 α −sin2 α =1 −2sin2 α =1 −2 (−0,8)2 =

=–0,28. Ответ. –0,28.

2cos2 α −1 .

sin α cosα

 Применяя последовательно основное тригонометрическое

тождество, формулу синуса двойного угла, формулу косинуса двойного угла и определение котангенса, получим:

	2cos2 α −1	=	2cos2 α − cos2 α − sin2 α	=	cos2α	= 2ctg 2α.
	sin α cosα		1		1
			2 sin 2α		2 sin 2α
Ответ. 2ctg 2α .

Из формул двойного угла можно вывести формулы для синуса и косинуса половинного угла. Фактически мы это начали реализовывать при решении примеров 4 и 5. Действительно,

cos2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2cos2 α −1,

или

cos2α = cos2 α − sin2 α =1 − sin2 α − sin2 α =1 − 2sin2				α.
Эти равенства часто записывают в таком виде:
1 + cos2α = 2cos2 α,		1 − cos2α = 2sin2 α.
Поскольку
cosα = cos2 α = 2cos2 α −1, cosα = cos2 α =1 − 2sin2 α ,
2	2		2	2
то	= 1 + cosα		= 1 − cosα.
cos2 α		, sin2 α
2	2	2	2

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

315

Эти формулы называются формулами половинного аргу-

мента, или формулами понижения степени.

В качестве следствия формулы сложения для тангенса

приα=

βполучимформулутангенсадвойногоугла:

tg2α = tg (α + α) =

tgα + tgα

=

2tg α

.

Итак, tg 2α =

2tg α

.

1 − tgαtgα

1 − tg2α

1 − tg2α

Пример 6. Найти значение tg 2α, если tg α = –0,5.

 По формуле тангенса двойного угла, имеем:

tg2α =

2tgα

=

2 (−0,5)

= − 4 .

1 −(−0,5)2

1 − tg2α

3

Ответ. −	4 .
	3
Формулы половинного аргумента можно записать в виде:
		cos α		=		1 + cosα	,		sin α		=		1 − cosα	.
					2							2
		2							2

! Обращаем внимание на то, что зная только cos α, невоз-

можно без дополнительных условий однозначно найти

				α				α
	cos			2 или sin				2 .
Из последних двух формул вытекает формула для тангенса по-
ловинного угла:													1 − cosα.
									tg	α		=
										2			1 + cosα
Пример 7. Вычислить cos										α , если cosα = − 3					, π ≤ α ≤ 2π.
										2				4			3
						π	≤ α			cosα			< 0,cos α		1 + cosα = −	1 −
 Так как								≤ π, то						= −			4	=
						2										2
		1					2			2			2		2
= −				.
	2	2				1
Ответ. −							.
					2	2

316	Тригонометрические функции

Пример 8. Не пользуясь вычислительными средствами, найти sin 15°.

 Один способ решения этой задачи, основанный на применении формулы косинуса разности двух углов, был приведен в п. 1 (пример 1). Здесь рассмотрим другой способ.

Воспользовавшись формулой синуса половинного аргумента, учитывая, что sin 15° > 0, получим:

30° =

1 − cos30°

1 −

3

= 1

sin15° = sin

=

2

2 −

3 =

2

2

2

2

1

1

2

2

2

= 2 2 (4 − 2 3) =

1 − 2 3 + ( 3)

=

( 3 −1).

4

4

Ответ.

2

( 3 −1).

4

Важную роль в тригонометрии и ее приложениях играет тан-

генс половинного угла. Через него можно выразить все другие

тригонометрические функции:

α cos

α

α

α cos α

2sin

2tg

sinα = 2sin

=

2

2

=

2

α

2 α

2 α

2

2

cos

2

+ sin

1 + tg

2

2

2

α

(числитель и знаменатель разделили на cos2

2 ).

Аналогично,

cos2 α

cos2 α

−sin2 α

1 − tg2 α

cosα =

2

=

2

2

=

2

;

1

cos

2 α

+ sin

2 α

1

+ tg

2 α

2

2

2

tgα = sin α

2tg

α

=

2

.

2 α

cosα

1

− tg

2

Полученные формулы называются

формулами универсаль-

ной подстановки.

Они позволяют свести доказательство любого

тригонометрического тождества или решение уравнения, в обеих

частях которых стоят рациональные выражения относительно sinα

и cosα, к доказательству алгебраического тождества или к решению

алгебраическогоуравнениясоднойпеременной.Дляэтогодостаточ-

но выразить sinα и cosα через tg α

и обозначить tg α

через t.

2

2

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

317

 Контрольные вопросы

1.Чему равняется: а°) sin 15° cos15°; б°) cos222,5° – sin222,5°;

	в)	2tg75°	?
		1− tg2 75°
2.	Чему равняется: а°) sin 50°, если sin 25° = а; б) tg 70°, если
	tg 35° = а?
3°.	Существует ли такой угол α, что sinα cosα = 0,65?
4.	Нужно ли знать, в какой четверти находится точка Рα, чтобы
	по значению cos α или sin α вычислить: а) cos 2α; б) sin 2α?
5.	В какой четверти тригонометрической окружности находится
	точка P , если sin t > 0, sin 2t < 0?
6.	Каково tмножество значений функции у = sin2 x – cos2 x?
7.	Всегда можно ли утверждать, что sin α =			1 − cosα ?
			2	2

8*. Можно ли утверждать, что знак tg x2 совпадает со знаком sin x для всех допустимых значений х?

3. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении тригонометрических уравнений или неравенств полезно уметь представлять сумму и разность синусов или косинусов в виде произведения тригонометрических функций. Такие формулы широко при-

меняются в различных преобразованиях тригонометрических вы-

ражений.

Формулы, на которых базируются преобразования суммы три-

гонометрических функций в произведение, можно получить из

формул сложения.

Пусть необходимо преобразовать сумму sin α + sin β в произведе-

ние. Запишем α и β в виде α =

α +β

+

α −β,

β =

α +β −

α −β. Тогда

2

2

2

2

α +β

+

α −β

+ sin

α +β

−

α −β

=

sin α + sinβ = sin

2

2

2

2

=sin α2+βcos α2−β + cos α2+βsin α2−β + sin α2+βcos α2−β −

−cos α2+βsin α2−β = 2sin α2+βcos α2−β.

318 Тригонометрические функции

Таким образом,

sin α + sinβ = 2sin α2+βcos α2−β.

Получили формулу суммы синусов двух углов.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Аналогично выводятся формулы разности синусов, сум-

мы и разности косинусов. Формула разности синусов: sin α −sinβ = 2sin α2−βcos α2+β.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:

cosα + cosβ = 2cos α + β cos α −β. 2 2

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Формула разности косинусов:

cosα − cosβ = −2sin α +βsin α −β. 2 2

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Рекомендуем вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов самостоятельно.

Пример 9. Вычислить без вычислительных средств:

1)cos 75° − cos 15°; 2) cos 125π + cos12π .

1) Воспользуемся формулой разности косинусов двух аргументов:

cos75° − cos15° = −2sin 75° +15° sin 75° −15° = −2sin 45°sin30° = 2 2

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

319

	= −2		2			1			= −					2				.
			2											2
					2																			5π		π	5π		π
					5π																				−			+
																π				= 2cos 12							cos 12			= 2cos π		cos π
	2) cos								+ cos																	12			12				=
					12
														12											2			2			6	4
	= 2				3				2		=					6					.
			2						2					2
	Ответ. 1) −													2			; 2)						6	.
														2									2
											Формулы преобразования суммы тригонометри-
											ческих функций в произведение позволяют решать
											разнообразные задачи.
																																	π
	Пример 10. Доказать тождество: cosα − sin α =
																															2 cos α +		.
																																	4

 Воспользовавшись формулами приведения, заменим cos α

π

, применим формулу разности косинусов двух углов

на sin

2

− α

и примем во внимание нечетность синуса:

π

π

π

α +

− α

α −

− α

2

2

cosα −sin α = cos

α − cos

− α = −2sin

sin

=

2

2

2

π

π

2

π

π

π

= −2sin

sin

α −

= 2

sin

−

α =

2 cos

−

− α

=

4

2

4

2

4

4

π

= 2 cos

4

+ α .

Последнее преобразование выполнено с помощью формулы

приведения:

π

.

sin α = cos

2

− α

Из формул сложения можно получить формулы для суммы и разности тангенсов двух углов:

tg α + tg β = sin(α + β) ; cosαcosβ

tg α − tg β = sin(α −β) . cosαcosβ

 tg α + tg β =

320	Тригонометрические функции

Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Разность тангенсов двух углов равна отношению синуса разности этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Докажем, например, первую из приведенных формул.

sin α + sinβ = sin αcosβ + sinβcosα = sin(α + β) . cosα cosβ cosαcosβ cosαcosβ

Вторая формула доказывается аналогично. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

Формулы преобразования разности одноименных функций двух аргументов в произведение позволяют получить условия, при которых функции двух аргументов равны друг другу.

Пример 11. Найти условие, при котором синусы двух углов равны друг другу.

 Пусть sin x = sin y. Тогда sin x – sin y = 0, или

2sin x − y cos x + y = 0. 2 2

Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. Если

sin x 2− y = 0, то x 2− y = πn (см. § 15), или x – y = 2πп, или x = y + 2πп,

п Ζ. Если же cosx +2 y = 0, то x +2 y = 2π + πn, или x + y = π + 2πn,

или x = −y + π(2n +1),n Z.

Следовательно, если синусы двух углов х и у равны друг другу, то выполняется одно из соотношений

x = y + 2πп, или x = −y + π(2n +1),n Z.

С другой стороны, если выполняется одно из отмеченных соотношений x = y + 2πп, или x = −y + π(2n +1),n Z , то sin x =

=sin(y +2πn) = sin y, или sin x = sin (– y + 2πn + π) = sin(π – y) = sin y.

Соотношения x = y + 2πп, x = −y + π(2n +1),n Z , можно запи-

сать с помощью одного равенства: x = (– 1)ky + πk, k Ζ. Действительно, если k = 2п, то имеем первое соотношение, при k = 2п + 1 — второе.

Ответ. x = (– 1)ky + πk, k Ζ.

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

321

Аналогично можно получить условие равенства двух косинусов, двух тангенсов. Советуем сделать это самостоятельно.

 Контрольные вопросы

1°. Чему равно значение выражения:
а) sin 124° + sin 236°;	б) cos 137° + cos 43°?

2°. Как можно вывести формулу суммы косинусов, используя формулу суммы синусов и формулы приведения?

3. Как сравнить cos 3 и cos 3,2, пользуясь формулой разности косинусов двух аргументов?

4. Что больше: tg 3 или tg 4,8?

5. Как преобразовать сумму синуса и косинуса двух аргументов в произведение?

Задачи

318°. Воспользовавшись формулами сложения, докажите следую-

щие формулы приведения:

2) cos (270° +α) = sin α ;

1) sin (180° –

α ) = sinα ;

3) cos(π − α) = −cosα;

3π

4) sin

2

− α = −cosα.

319.

Воспользовавшись формулами сложения, вычислите:

1) cos 75°;

2) cos 105°;

3) sin 15°;

4) sin 75°;

5) cos 165°.

320.

Вычислите:

1°) sin 68°cos 8° – sin 8°cos 68°;

2°) cos 10°cos 35° – sin 10°sin 35°;

3) sin 54°sin 24° – sin 66°cos 126°;

4) cos 21°cos 24° – cos 69°cos 66°.

321°. Найдите:

8

24 ;

1) sin(α + β),

sin(α −β),

если sin α = −

; cosβ =

3π

, 0 < β < π;

17

25

π < α <

2

2

1 ;

cosβ = 1

2) cos(α + β), cos(α −β),

если cosα = −

;

π

3π

4

3

< α < π,

< β < 2π;

2

2

3 ;

tg β = 2 .

3)

tg(α + β) ,

tg(α −β) , если tg α =

5

5

322	Тригонометрические функции

4)

tg (45° − α) , если sin α = −

12 ,

180° < α < 270° .

13

322°. Упростите выражение:

3π

π

3π

π

1)

π

π

;

2)

cos

cos

+ sin

sin

;

sin α +

− sin α −

6

8

8

8

8

6

3)

sin(α + β) + sin(α −β)

;

4)

cos(α + β) − cos(α −β) .

sin(α + β) − sin(α −β)

cos(α + β) + cos(α −β)

5)

sin15° + tg 30°cos15°;

6)

sin α + ctg 2αcosα ;

323.Докажите тождество:

1°) sin (α + β)+ sin (α −β)= 2sin α cosβ; 2°) sin (α + β)− sin (α −β)= 2sinβ cosα;

3)sin (α + β) sin (α −β)= sin2 α − sin2 β;

4)cos(α + β) cos(α −β)= cos2 α − sin2 β .

324*.Докажите, что:				2 , tgβ = 3 ,0 < α <
1)	α + β =	π	, если tgα =			π ,0 < β < π;
		4		5	7	2	2
2)	α + β =	π	, если ctgα = 1		,ctgβ = −2,0 < α < π , −		π < β < 0.
		4		3		2	2
325. Докажите неравенство:					2) cos 15° – cos45° < 0,3.
1) cos 75° + cos 15° > 1;
Докажите:			и β — углы остроугольного треугольника, то
1)	если	α
tg α· tg β		> 1;
2) если α		и	β — острые углы тупоугольного треугольника то
tg α· tg β		< 1.

Синусы двух острых углов треугольника равны, соответс-

твенно, 2029 и 35 . Найдите косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными углами.

328.Тангенсытрехострыхугловравны,соответственно, 35 , 43 ,198 . Докажите, что сумма первых двух углов на 45° превышает третий угол.

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

323

329.Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

1)у = sin x sin 2x – cos x cos 2x;

2)у = sin 3x cos x – cos 3x sin x;

3)y = 2 sin π sin 2x + cos π cos2x .

4 4

330.

Найдите:

7

π

1°) sin 2α; cos2α , если sinα =

,

< α < π ;

25

2

2°) sin 50°, если sin 25° = a;

2π

3°)

cosπ

,

если cos

π

= a;

4) tg

,

если tg π = a.

9

18

9

9

331.

Найдите sin α ; cos

α

; tg α ,

если:

2

2

π

2

2) sinα = 0,6; π

1) cosα = 0,6; 0 < α <

;

< α < π .

2

2

332.

Упростите выражение:

1°) sin10°cos10°;

2°) cos2 2α − sin2 2α ;

3°) cos2 α − 4 sin2 α cos2 α ;

4)

tg (45° − α)

;

1 − tg2 (45° − α)

2

2

5°) 2sin αcosα(cos2 α − sin2 α); 6°) cos4 (45° − α) − sin4 (45° − α);

7)

π

π

;

sin2

4

+ α

− sin2

4

− α

π

− cos2

π

8) cos2 α −

4

α +

4

;

9)

1 − cos2γ

;

10) 1 − sin 2γ .

1 + cos2γ

1 + sin 2γ

333.

Упростите выражение:

1)

2sin

2

π

2)

tgα tgβ + (tgα + tgβ) ctg(α +β) ;

4

− α + sin 2α ;

3)

1 −sin 2α

;

4)

1

−

1

;

1 + sin 2α

1 − tgα

1 + tgα

5)

1

−

1

;

6) sin α(1 + 2cos2α) ;

1 + ctgα

1 − ctgα

324	Тригонометрические функции

7)

1 −8sin2 β cos2 β;

8) 0,125 – cos2x + cos4x;

9)

tg2α tgα

;

10)

tgα

;

11)

1 −sin 2α

;

tg2α − tgα

tg2α − tgα

cosα −sin α

12*)

2sin 2α + 2 ;

13)

2(1 + cos2α),

π < α < π ;

π .

2

14*)

1 −sin α − 1 + sin α,0 < α <

334. Докажите, что:

2

1)

2sin2 α + cosα =1;

2) 2cos2 α − cos2α =1;

2

3)

cos2α

π

;

4)

cos2α

π

;

= ctg

− α

= tg

− α

1 − sin 2α

4

1 + sin 2α

4

5) sin 2α – tg α = cos 2αtgα;

6) (ctg α – tg α)sin 2α = 2cos 2α;

7)

1 + sin α = 2cos2

π

−

α

8)

π

−

α

4

2

;

1 − sin α = 2sin2

4

.

335*.Вычислите:

2

1)

cos

π

cos

2π

;

2) cos20°cos40°cos60°cos80° ;

5

5

3)

cos

π

cos

4π

cos 5π

;

4)

1

−

3

.

7

7

π

7

sin

cos

π

18

18

336. Дана функция:

1)

π

+

2

;

2)

y = 2cos2x + sin2 x .

y = sin2

4

− x

(sin x − cos x)

Найдите ее наименьшее и наибольшее значения, наименьший положительный период, постройте ее график.

337*.1) Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен 0,8. Найдите синус и косинус угла при вершине этого треугольника.

2) Косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен 79 . Найдите синус и косинус угла при основании

этого треугольника.

3) Найдите наименьшее значение площади прямоугольного треугольника, у которого высота, проведенная к гипотенузе, равна h.

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

325

338. Дана функция:

1) y = sin xcos x; 2*) y = 2sin22x + cos2 2x; 3*) y = sin 2x(ctg x – 2ctg 2x).

Найдите ее наименьшее и наибольшее значения, наименьший положительный период, постройте ее график.

339°. Вычислите, не пользуясь вычислительными средствами:

1)

sin

7π

+ sin

π

; 2) sin

11π

− sin 5π;

3) cos11π

+ cos 5π

;

12

12

12

12

12

12

4)

cos

7π

− cos

π

; 5) cos 75°cos 105°;

6) sin 75°sin 15°.

12

12

340. Упростите выражение:

1°) sin α + sin3α

;

2°)

2(cosα + cos3α)

;

cosα + cos3α

2sin 2α + sin 4α

3)

1 + sin α + cosα;

4) cos2 α − sin2 2α.

341. Докажите, что:

π

1)

cos4 α − sin4 α + sin 2α =

2α −

2 cos

4

;

2)sin 2α + sin 4α − sin3α = tg 3α; cos2α + cos4α − cos3α

3)(sin α + sinβ)2 + (cosα + cosβ)2 = 4 cos2 α2−β;

4)(sin 2α + sin 4α)2 + (cos2α + cos4α)2 = 4 cos2 α;

5)

π

+

α

π

−

α

= 2tgα;

tg

2

− tg

2

4

4

2α +

π

1 + ctg2α

sin

4

6)

=

.

1 − ctg2α

2α −

π

sin

4

342. Представьте данное выражение в виде произведения или
частного:
1) 2 + 2cosα; 2) 3 − 2cosα; 3) 3 − tgα;	4) 1 + tgα.

343.Уменьшите степень тригонометрической функции в выражении:

1°) 2cos2x; 2)2cos2x cos2x; 3°) 2sin2 2x; 4°) cos2 4x.

326					Тригонометрические функции
344*.Найдите условие, при котором равны друг другу:
1) косинусы двух углов α и β;					2) тангенсы двух углов α и β.
345. Докажите, что:
1) cos 2π	+ cos 4π	+ cos 6π	= −1	;	2) cos π	+ cos 3π	= 1 ;
7	7	7	2		5	5	2

3)1 + sin x + 1 −sin x = 2cosx2 , если 0 ≤ x ≤ 2π;

4)1 + sin x − 1 −sin x = 2sin 2x , если 0 ≤ x ≤ 2π;

	5)	ctgα + ctgβ = sin(α +β) ;					6)	ctgα − ctgβ = sin(β − α) .
			sin αsinβ									sin αsinβ
	346*.Докажите, что если α, β, γ — углы треугольника, то:
	1)	sin α + sinβ + sin γ = 4 cos α cos						β cos		γ		;
	2)						2	2	2
		tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα =1 ;
	3)	tgα + tgβ + tgγ = tgα tgβ tgγ ;
	4)	ctg α	+ ctg β + ctg	γ	= ctg	α	ctg β	ctg	γ		.
				2		2			2
		2	2				2
	347*.Тангенсы двух углов треугольника равны, соответственно,
	1,5 и 5. Найдите третий угол треугольника.
	348*.Дана функция:						2) у = sin x – cos x.
	1)	у = sin x + cos x;

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ее наименьший положительный период. Постройте ее график.

Упражнения для повторения

	π			π
	sin	3	− α	+ sin	4	+ α
349. Найдите значение выражения							, если
	π			π
	cos	3	− α	− cos	4	+ α

α принимает следующие значения: 0,π2 ,−π,−32π.

350.Найдите основной период функции:

	1) y = 1 tgx + 2;	2)	y = −3sin5x;	3) y = 3cos x .
351.	2				4
	Найдите множество значений функции:
352.	1) y = 0,1tg 10x;		2) y	= 10sin 0,1x.
	Решите неравенство:		2) xtg 4 > ctg 5.
	1) xtg 3 < ctg 6;

Тригонометрические формулы сложения и следствия из них

327

Название

формулы

Формулы

сложения

Формулы

двойного

аргумента

Формулы понижения степени

Формулы

половинного

аргумента

Формулы

универсальной

подстановки

Формулы

преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Итог

Формулы

cos (α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ.

cos (α+ β) = cosα cosβ

– sinα sinβ.

sin (α + β)

= sin

α cos

β

+ cos

α sin

β.

sin (α

– β)

= sin

α cos

β

– cos

α sin

β.

tg (α +β) =

tg α + tg β

; tg (α −β) =

tg α − tg β

.

1 − tg αtg β

1 + tg αtg β

sin 2α = 2sin αcosα; cos2α = cos2 α −sin2 α;

tg 2α =

2tg α

.

1 − tg2α

cos

2 α

=

1 + cosα

;

sin

2 α

=

1 − cosα

.

2

2

2

2

cos α

=

1 + cosα

;

sin

α

=

1 − cosα.

2

2

2

2

tg α

=

1 − cosα

.

2

1 + cos α

2tg α

1 − tg2 α

sinα =

2

;

cosα =

2

.

1 + tg2 α

1 + tg2 α

2

2tg

α

2

tgα =

2

.

1 − tg2 α

2

sin α + sinβ = 2sin α +βcos α −β.

2

2

sin α −sinβ = 2sin α −βcos

α +β.

2

2

cosα + cosβ = 2cos

α +β

cos

α −β

.

2

2

cosα − cosβ = −2sin

α +β

sin

α −β

.

2

2

tg α + tg β = sin(α +β)

;

tg α − tg β = sin(α −β) .

cosαcosβ

cosαcosβ