Теоретические основы электротехники-1

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

243

ãäå ~ матрица-столбец порядка ð ? 1,

U

элементами которой являются напряжения обобщенных ветвей; U — матрица-столбец порядка ð ? 1, элементами которой являются напряжения пассивных элементов обобщенных ветвей (рис. 5.9). Для пассивных элементов можно записать закон Ома в матричной форме, а именно:

U ZI,
ãäå Z — квадратная матрица порядка ð ? p		Ðèñ. 5.9
сопротивлений ветвей цепи (см. § 5.8).
Кроме того, справедливо соотношение
	~
I k	I k =k

или в матричной форме

~ =.

I I

Подставим эти соотношения в контурное уравнение, получим

~	~	CZ= CE
CU CZI CZ (I	=) CZI

èëè
				~
		CZI C(E Z=).
~	t~	, поэтому окончательно имеем
Íî I	C I2
		C Z C	t	~	C	(E +
				I2
		n?p ? p?p ? p?n ? n?1			n?p	p?1

Z=) .

p?p ? p?1

Система уравнений в матричной форме для контурных токов состоит из n уравнений и содержит следующие члены:

CZCt — квадратную матрицу контурных сопротивлений порядка n ? n. Эта матрица связывает падения напряжений в контурах с контурными токами. Она имеет вид

	Z11	Z12		Z	1n
CZCt	Z 21	Z 22		Z	2n	;
	. . . . . . . .
	Z n1	Z n2		Z nn

CE — матрицу-столбец порядка n ? 1, состоящую из элементов, представляющих собой суммы ЭДС ветвей, входящих в контуры, образованные связями, номера которых определяют номера элементов;

CZ= = C(Z=) — матрицу-столбец порядка n ? 1, состоящую из элементов, пред-

ставляющих собой суммы ЭДС эквивалентных источников ЭДС, образованных за счет преобразования источников токов = в ветвях в источники ЭДС Z=.

244 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Правая сторона матричного равенства, таким образом, определяет суммы ЭДС, которые впредь будем писать в виде

E11

C(E Z=)

E 22

.

E nn

Решив

систему уравнений, найдем контурные

~

).

токи (матрицу-столбец I

2

~

Çíàÿ I

2

, можно определить токи во всех обоб-

~

t~

, òîêè âî âñåõ

щенных ветвях из выражения I C

I

2

~

пассивных элементах цепи — из формулы I

I = ,

а также напряжения на пассивных элементах U ZI

и напряжения обобщенных ветвей (между парами

~

узлов) U U – E.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5.10

(аналогичную рис. 5.5, à). Выделим ветви 1, 2, 3 â êà-

Ðèñ. 5.10

честве дерева графа. Тогда ветви 4, 5 и 6 определят

связи этого графа. Матрицы C, E,

= è Z можно за-

писать в виде

1

2 3

4 5

6

0

E1

0

0

4

–1

1

1

0

Ñ 5

E

1

1

–1

1

;

E 3

;

=

;

0

0

6

1

1

1

0

E 5

0

=6

Z1

Z2

Z3

Z		.

Z4

Z5

Z6

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

245

Матрицы CZ, CZCt, Z= è C(E Z=) можно получить, выполнив соответст-

вующие матричные операции умножения:

1

2

3

4

5

6

4

–Z1

Z3

Z4

CZ 5

Z1

Z2

–Z3

Z5

;

6

Z1

Z2

Z6

0

0

Z1+Z3+Z4

–Z1–Z3

–Z1

Z11

Z12

Z13

CZCt

–Z1–Z3

Z1+Z2+Z3+Z5

Z1+Z2

Z21

Z22

Z23

; Z =

0

;

0

–Z1

Z1+Z2

Z1+Z2+Z6

Z31

Z32

Z33

0

Z

6=6

~

E1

E 3

E11

I

4

II

~

~

C(E Z=)

;

.

E

1 E

3 E 5

E 22

I

2

I

5

III

~

E1 Z 6=6

E 33

I

6

IIII

Окончательно система уравнений примет вид

Z11

Z12

Z13

Z

Z

;

t ~

II

E11

11II

12 III

Z13 IIII

E11

Z21

Z22

Z23

?

èëè

Z

Z

Z

;

CZC I2

III

E 22

21II

22 III

23 IIII

E 22

Z

Z

Z

Z31

Z32

Z33

31II

32 III

33 IIII

E 33 .

IIII

E 33

Если внимательно рассмотреть матрицу CZ, то можно заметить весьма простое ее отличие от матрицы C. Там, где в столбце матрицы C имеются ненулевые элементы, в матрице CZ появляются комплексные сопротивления, номера которых совпадают с номерами столбца. Поэтому заполнение этой матрицы как вручную, так и при помощи ЭВМ можно осуществить простым перебором элементов матрицы C, не прибегая для этой цели к матричному умножению. Произведение CZCt также просто получить, рассматривая матрицу C. Пусть нас интересует j, s-й элемент CZCt. Для этого должно быть выполнено умножение j-й строки матрицы CZ íà s-й столбец матрицы Ct. Íî s-й столбец матрицы Ct åñòü s-я строка матрицы C. Поэтому j, s-й элемент матрицы CZCt есть сумма сопротивлений тех столбцов матрицы CZ, ãäå â j-é è s-й строках матрицы C одновременно будут содержаться ненулевые элементы, причем знак сопротивления

246 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

в сумме определится по сочетанию знаков ненулевых элементов (знак «плюс» если знаки одинаковы, и «минус» — если они разные). Так, например, Z23 есть произведение 2-й строки матрицы CZ на 3-й столбец матрицы Ct или на 3-ю строку матрицы C, рассмотренную как столбец (по номерам 2-й строке соответствует число 5, а 3-й строке — число 6 в матрице C). В этих строках одновременно не равны нулю элементы в столбцах 1 (знаки совпадают) и 2 (знаки совпадают). Поэтому Z23 Z1 + Z2. Разумеется, такой закономерности не будет при отсутствии совпадения ненулевых элементов у матриц CZ è Ct, что может быть, если Z — несимметричная матрица (диагональная матрица симметрична).

Строка матрицы C определяет ветви, входящие в данный контур, поэтому элемент Zkk, вычисляемый как произведение k-й строки матрицы CZ íà k-й столбец матрицы Ct, определит с о б с т в е н н о е с о п р о т и в л е н и е k-го контура, равное сумме всех комплексных сопротивлений ветвей, входящих в k-й контур. Точно так же произведение k-й строки матрицы CZ íà m-й столбец матрицы Ct определит о б щ е е с о п р о т и в л е н и е к о н т у р о в k è m, равное сумме комплексных сопротивлений тех ветвей дерева, которые входят в k-é è â m-й контуры. При этом сопротивления тех ветвей, контурные токи в которых совпадают по направлению, войдут в сумму со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус».

Уравнения относительно контурных токов для не очень сложных цепей можно составить непосредственно, рассматривая схему цепи. Для этого следует выделить контуры, по которым проходят эти токи. Выделим в качестве таковых токи II , III , IIII , показанные на рис. 5.10. Для них можно составить систему из трех уравнений. Для составления системы уравнений относительно n контурных токов пронумеруем контурные токи от 1 до n и выберем контуры таким образом, чтобы в них обязательно входила какая-либо новая ветвь (проще всего в качестве контурных токов выбирать токи в связях и нумеровать связи от 1 до n). Выберем произвольно положительные направления обходов контуров и будем считать эти направления также положительными направлениями контурных токов. Обозначим

через E kk сумму ЭДС, входящих в контур k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода, следует брать со знаком «плюс», а несовпадающие — со знаком «минус». Обозначим через Zkk сумму сопротивлений, входящих в контур k, и назовем величину Zkk собственным сопротивлением контура. Сумму сопротивлений в общей для контуров k è m ветви обозначим через Zkm èëè Zmk и назовем общим сопротивлением контуров k è m. Согласно второму закону Кирхгофа, получаем для n независимых контуров следующую систему из n линейных уравнений:

Z		Z				;
	11I1		12 I 2	Z1n I n	E11
Z		Z					;
	21I1		22 I 2	Z 2n I n	E 22
. . . . . . . . . . . . . . . .
Z n1I1		Z n2 I 2		Z nn I n	E nn .

Составление таких уравнений, содержащих n контурных токов, и решение их относительно этих токов и является содержанием метода контурных токов.

Ðèñ. 5.11

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

247

Для соблюдения единообразия в написании уравнений перед всеми членами, содержащими общие сопротивления Zkm, ставим знак «плюс». При этом следует считать Zkm Zmk rkm + jxkm, если условные положительные направления контурных токов в общей ветви контуров k è m совпадают, и Zkm Zmk – rkm – jxkm, если они противоположны. В этих выражениях rkm è xkm — алгебраические суммы активных и реактивных сопротивлений в общей ветви.

Упрощение, достигаемое введением понятия контурных токов, не ограничивается уменьшением числа уравнений, оно определяется еще и тем, что достигается некоторый автоматизм в записи системы уравнений. Так, приведенная выше система из n уравнений записана даже без рассмотрения конкретных контуров цепи — выяснено лишь число независимых контуров. Естественно, для определения величин

Zkk, Zkm è E kk необходимо учесть входящие в контуры конкретные сопротивления и ЭДС, а также выбранные положительные направления токов и ЭДС.

Решая приведенную выше систему уравнений для контурного тока I k в контуре k, найдем

k1

k 2

km

kn

I k

E

11

E 22

E mm

E nn

,

где — главный определитель системы, причем

Z11

Z12

Z1n

Z1n

Z 21

Z 22

Z 23

Z 2n

Z 31

Z 32

Z 33

Z 3n

,

. . . . . . . . . . .

Z n1

Z n2

Z n3

Z nn

à k1, k2, . . ., km, . . ., kn — алгебраические дополнения, получаемые из определителя путем вычеркивания в нем k-й строки и m-го столбца и умножения вновь полученного определителя на (–1)k+m. Весьма существенно заметить, что для линейных цепей без зависимых источников энергии km mk.. Действительно, km получается из путем вычеркивания k-й строки и m-го столбца, а mk — путем вычеркивания m-й строки и k-го столбца. Так как при отсутствии зависимых источников энергии Zkm Zmk, то в результате вычеркивания получаются два определителя, в которых элементы строк одного равны элементам соответствующих столбцов другого, а такие определители, как известно, равны друг другу.

В матричной форме решение для контурных токов записывается в виде

~	t	)	1	C(E Z=),
I2	(CZC

ãäå (CZCt)–1(CZCt) 1, ò. å. (CZCt)–1 — обратная матрица контурных сопротивлений.

В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5.11. Положительные направления контурных токов I1 è I 2 направим так, как указано стрелками. Контурные токи I1 è I 2 в данном частном случае равны действительным то-

кам в первой и во второй ветвях. Действительный же ток в третьей ветви равен

248 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

сумме контурных токов I1 è I 2 . Пользуясь методом контурных токов, имеем только два уравнения:

											,
			Z11I1			Z12 I 2	E	11; Z 21I1 Z	22 I 2	E 22
причем собственные сопротивления контуров
			Z11 Z1 Z 3					è Z 22 Z 2 Z 3
и общее сопротивление
							Z12	Z 21 Z 3 ;
кроме того, E11	E1;		E 22			E 2 .
Определитель системы
		Z11	Z12		Z11Z 22 Z122 Z1 Z 3 Z 2 Z 3 Z 32
		Z 21	Z 22

Z1Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 D.

Соответственно,

Получаем

I1

Ðèñ. 5.12

11 Z 22 Z 2 Z 3 ;

22 Z11 Z1 Z 3 ;

12 21 Z12 Z 3 .

Z 2 Z 3

Z 3

Z 3

Z1

Z 3

E

1

E 2

;

I 2

E

1

E 2

.

D

D

D

D

Òîê I 3 получается алгебраическим суммированием токов I1 è I 2 :

						Z 2		Z1
	I 3	I1	I 2	E	1		E 2		.
						D		D

Составим уравнения по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 5.12, причем изберем независимые контуры и положительные направления контурных токов в них согласно рис. 5.12. Этих уравнений будет только три, и они имеют вид

Z		Z					;
	11I1		12 I 2	Z13 I 3		E11
Z		Z		Z				;
	21I1		22 I 2		23 I 3	E 22
Z		Z		Z				,
	31I1		32 I 2		33 I 3	E 33

причем

Z11 Z 4 Z 6 Z1;		Z 22	Z 2	Z 5 Z 6 ;		Z 33 Z 3 Z 5 Z 4 ;
Z12 Z 21 Z 6 ;		Z 23 Z 32 Z 5 ;			Z13 Z 31 Z 4 ;
E11	E 4 ;	E 22	E 2	; E 33	E 3	E 4 .

E k , то для токов имеем

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

249

Здесь получаем определитель третьего порядка, выражение для которого уже достаточно громоздко. С увеличением числа уравнений решение становится все более трудоемким.

Если в цепи действует лишь одна ЭДС E kk

1k

2k

kk

mk

nk

I1

E k

; I 2

E k

; ; I k

E k

; ; I m

E k

; ; I n

E k .

Здесь величину / kk, имеющую размерность сопротивления и определяющую ток в k-м контуре от ЭДС, содержащейся в этом же контуре, назовем в х о д н ы м с о п р о т и в л е н и е м k-го контура.

Величину / mk, определяющую ток в m-м контуре от ЭДС, действующей в k-м контуре, назовем в з а и м н ы м с о п р о т и в л е н и е м от k-го контура к m-му контуру. Входное и взаимное сопротивления определены здесь для контуров цепи. Однако их всегда можно определять и для ветвей цепи. Это ясно из того, что всегда можно выбрать независимые контуры так, чтобы две ветви, например ветви ab è cd, вошли каждая только в один контур, скажем, ветвь ab — â k-й контур, а ветвь cd — â m-й контур.

Обратим внимание на то, что взаимное и общее сопротивления — величины существенно различные. Общее сопротивление Zkm есть сопротивление ветви, входящей как в k-é, òàê è â m-й контур. Для него, как и для сопротивления любой ветви, имеет место соотношение Zkm Zmk. Взаимное же сопротивление может относиться к двум любым контурам цепи, в общем случае и не имеющим общей

				также
ветви. Поэтому если обозначать взаимные сопротивления E k	I m	è E m	I k

через Zkm è Zmk, то для них связь Zkm Zmk будет иметь место только при дополни-
тельном условии, что положительные направления для ЭДС E k	è òîêà I k â k-ì
контуре согласованы между собой, так же как и для ЭДС E m è òîêà I m â m-ì êîí-

òóðå, ò. å. â обоих контурах положительные направления ЭДС и тока приняты в одном направлении или же в обоих контурах положительные направления ЭДС и тока друг другу противоположны. В противном случае для взаимных сопротивлений будет Zkm – Zmk. Это важное обстоятельство более детально будет обосновано в § 5.16 при рассмотрении принципа взаимности.

Существенно различный смысл имеют также входное и собственное сопротивления контура. Собственное сопротивление есть сумма всех сопротивлений, входящих только в данный контур. Входное же сопротивление есть сопротивление всей цепи, определенное по отношению к источнику ЭДС в данном контуре при условии, что ЭДС всех других источников приняты равными нулю.

Заметим еще, что при определении входного и взаимного сопротивлений можно исходить не из ЭДС в контуре или в ветви, а из напряжения между двумя точками контура или ветви, например напряжения на входных или выходных зажимах в какой-нибудь части цепи. При этом, естественно, в собственном сопротивлении этого контура необходимо учесть только сопротивления участков контура между этими зажимами, входящих в рассматриваемую цепь.

5.12. Метод узловых напряжений

При расчете сложных электрических цепей, когда уменьшенное на единицу число узлов меньше числа независимых контуров, целесообразно воспользоваться

Ðèñ. 5.13

250 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

методом узловых напряжений. Уз л о в ы м и н а п р я ж е н и я м и, которые являются искомыми величинами при этом методе, называют напряжения между каждым из q – 1 узлов и одним определенным, но произвольно выбранным о п о р - н ы м у з л о м, который обозначим индексом 0. Узловое напряжение U k 0 имеет положительное направление от k-ãî óçëà (k 1, 2, . . ., q – 1) к опорному узлу. Определив q – 1 искомых узловых напряжений, нетрудно найти напряжения

между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи. Поскольку по первому закону Кирхгофа можно записать q – 1 независимых уравнений, то выразим все токи в ветвях через искомые узловые напряжения для получения системы уравнений, записанных относительно q – 1 искомых величин.

Условимся направлять узловое напряжение от k-го узла к опорному, или базисному, узлу. Обозначим узловое напряжение между k-м и базисным узлами через U k 0 (рис. 5.13). Тогда напряжение некоторой обобщенной ветви s, присоединенной к узлам k è m, будет равно

~

U s U km U k 0 U m0 askU k 0 asmU m0 .

Заметим, что номера узловых напряжений совпадают с номерами узлов графа схемы и эти напряжения входят в выражение для напряжения s-й ветви обязательно с разными знаками. Примем ask 1, если напряжение s-й ветви направлено от k-ãî óçëà, è ask –1, если напряжение s-й ветви направлено к m-му узлу. Если сопоставить эти правила с правилами заполнения матрицы узловых соединений A, то можно заметить, что матрица-столбец напряжений ветвей графа схемы представляется через матрицу-столбец узловых напряжений как произведение

	~	t	U0	A	t	U10	.
	U A
						U q 1,0
	Действительно, строки матрицы			At определяются ветвями графа схемы,

а столбцы — узлами, и поэтому, если данная ветвь не соединена с опорным (или базисным) узлом, то в данной строке будут только два ненулевых (единичных) элемента обязательно с противоположными знаками. Произведение данной мат- рицы-строки на матрицу-столбец узловых напряжений равно разности двух узловых напряжений, которая и определяет напряжение данной обобщенной ветви.

Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений

~

выразим U через параметры пассивных и активных элементов обобщенной вет-

ви, так как в общем случае такие ветви содержат и источники ЭДС, и источники

тока. Получим
~	~	I = è	I YU.
U U E;	I

Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа схемы имеем

~	AI A= 0 èëè	AYU A=.
AI

	Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 251
~	+ E, поэтому
Íî U U + E At U0

AYAtU0 A(= YE).

Мы получили в матричной форме уравнение для узловых напряжений (q – 1 скалярных уравнений), содержащее следующие члены:

AYAt — квадратная матрица узловых проводимостей порядка (q – 1) ? (q – 1). Эту матрицу запишем в виде

	Y11	Y12		Y1, q 1
AYAt	Y21	Y22		Y2, q 1	,
	. . . . . . . . . . . .
	Yq 1,1	Yq 1, 2	Yq 1, q 1

ãäå Ykk — ñ î á ñ ò â å í í à ÿ ï ð î â î ä è ì î ñ ò ü k-ãî óçëà; Ykm — о б щ а я п р о в о - д и м о с т ь узлов k è m;

A= — матрица-столбец порядка (q – 1) ? 1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов источников токов ветвей, соединенных с данным узлом, номер которого определяет номер элемента;

A (YE) — матрица-столбец порядка (q – 1) ? 1, элементы которой представляют собой суммы токов эквивалентных источников тока, образованных за счет преобразования источников ЭДС (E) в ветвях в источники тока (YE).

Правая часть матричного равенства, таким образом, определяет сумму токов источников токов, которую запишем в виде

		=11
	A(= YE)	=	22	.
		=q 1, q 1

Решив тем или иным способом систему уравнений относительно узловых напряжений U0 , получим возможность определить напряжения всех ветвей графа

схемы из выражения ~ t , напряжения на пассивных элементах цепи из ~ U A U0

формулы U E + U, токи в этих элементах I YU и токи в обобщенных ветвях

графа схемы ~= =.

I I

Здесь, так же как и в методе контурных токов, произведение AY (при условии диагональности матрицы Y) определит матрицу, отличающуюся от A тем, что вместо единиц в столбцах будут комплексные проводимости, номера которых совпадают с номерами столбцов (номерами ветвей) матрицы A. Произведение AY íà At определяет элементы матрицы узловых проводимостей. Произведение k-й строки матрицы AY íà k-й столбец матрицы At определит собственную проводимость k-го узла, равную сумме комплексных проводимостей ветвей, соединенных с k-м узлом. Произведение k-й строки матрицы AY íà m-й столбец матрицы At определит общую проводимость узлов k è m и будет всегда равно сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы k è m, взятой с обратным знаком.

В развернутой форме совокупность уравнений по методу узловых напряжений имеет вид

252 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

					;
Y11U10	Y12U 20	Y1, q 1U q 1, 0		=11
Y21U10	Y22U 20		Y2, q 1U q 1, 0 =22 ;
. . . . . . . . . . . . . . . .
						1.
Yq 1,1U	10 Yq 1, 2U 20		Yq 1, q 1U q 1, 0		=q 1, q
Здесь
p		p			p
Ykk ak jYj aj k ; Yk m ak jYj aj m ;
				=k k ak j (= j			Yj E j ).
j 1		j 1			j 1

Решив эту систему, найдем узловые напряжения, причем для k-ãî óçëà âåëè- ÷èíà U k 0 будет равна

			1k			2k		q 1, k
U k0	=11			=22			=q 1, q 1		,

где — главный определитель системы и km — его алгебраическое дополнение. В матричной форме решение системы узловых уравнений записывается в виде

U0 (AYAt )–1 A(= YE),

ãäå (AYAt)–1(AYAt) 1, ò. å. (AYAt)–1 — обратная матрица узловых проводимостей.

Если матрицу узловых проводимостей записать в виде 11 Yjk ||, то обратную ей

матрицу запишем в форме

Yjk

–1

jk

1

jk

, ãäå è jk — определитель

и его алгебраическое дополнение. По размерности элементы обратной матрицы проводимостей являются комплексными сопротивлениями.

В качестве примера составим уравнения по методу узловых напряжений для цепи, изображенной на рис. 5.14, à, в которой имеются источники ЭДС и тока:

=1	=1m sin(0t Α	1);	e5	E 5m sin(0t Α 5 );
e6	E 6m sin(0t Α	6 );	e7	E 7m sin(0t Α 7 );
	e8 E 8m sin(0t Α 8 ).

Прежде всего запишем в комплексной форме все исходные данные, соответствующие схеме замещения цепи (рис. 5.14, á):

=1m

jΑ

jΑ

jΑ

5

jΑ

6

jΑ

7

1

1

=1

e

=1e

;

E

5 E

5 e

;

E 6

E 6 e

;

E 7

E

7 e

;

2

E 8 e

jΑ8

; Y1

1 (r1 j0L1); Y2

1 r2 ; Y3 1 ( j0L3 );

E 8

1

1

Y

4

1

r

j0L

4

; Y

5

1

r

;

Y

6

j0C

;

4

j0C4

5

j0C5

6

1

Y

7

1 r ; Y

8

1

j0L

8

.

7

j0C8