Теоретические основы электротехники-1

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

153

димо, чтобы действия этих источников энергии не компенсировались взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников электриче- ской энергии. Линейный двухполюсник может содержать источники электриче- ской энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю.

Оговорка о возможности наличия взаимно компенсирующихся источников, при которых двухполюсник остается пассивным, необходима, так как сама идея представления целой части цепи как двухполюсника заключается в рассмотрении общих свойств этой части цепи лишь со стороны ее входных зажимов. Эта оговорка относится исключительно к линейным цепям, потому что в нелинейных цепях такая компенсация может быть только для одного или только для нескольких определенных режимов и не будет иметь места для других режимов, так как параметры нелинейной цепи зависят от тока или напряжения.

В гл. 13, т. II введем аналогично понятие четырехполюсника как обобщенного элемента цепи.

3.10. Топологические понятия схемы электрической цепи. Граф схемы

В электрических схемах цепи или в схемах замещения узлы изображаются точ- ками. В сложных схемах, где возможны взаимные пересечения линий, изображающих соединительные провода, для обозначения существования их электри- ческих соединений также используются точки (например, точки à, b, ñ, d, å, f, g, à , b , ñ íà ðèñ. 3.19, à). Формально все эти точки также можно считать узлами схемы. Особенность таких мнимых узлов заключается в том, что они соединены участками цепи, где протекают токи и нет напряжений, так как сопротивление таких участков считаем равным нулю. По этой причине потенциалы таких узлов равны, и их можно изобразить одним узлом, несколько видоизменив схему. На рис. 3.19, à можно объединить узлы à, b, ñ â îäèí, b , à , ñ — в другой и d, å, f, g — в третий (рис. 3.21).

Чтобы сделать более наглядным изображение взаимных соединений ветвей схемы, целесообразно ввести в рассмотрение такое изображение схемы электри- ческой цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками — ветвями графа, а узлы — точками — узлами графа. Такое топологическое представление схемы электрической цепи носит название г р а ф а э л е к т р и ч е с к о й с х е м ы или короче — г р а ф а с х е м ы.

Заметим, что на топологической схеме источники ЭДС и тока не изображаются. При этом ветвь с источником ЭДС сохраняется. Ветви же с идеальными источниками тока вообще не входят в топологическую схему, так как внутренняя проводимость таких источников равна нулю и, соответственно, сопротивление таких ветвей равно бесконечности.

Граф, между любой парой узлов которого имеется ветвь или совокупность ветвей, называют с в я з н ы м.

Если на графе имеется указание условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками, то такой граф называют н а - п р а в л е н н ы м г р а ф о м с х е м ы.

154 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Ðèñ. 3.21

Направленный граф схемы (рис. 3.21, à) представлен на рис. 3.21, á. Можно заметить, что вследствие особенности учета ЭДС взаимной индукции граф схемы (рис. 3.21, à) распадается на три раздельные, т. е. несвязанные, части.

Условимся впредь на графе схемы узлы нумеровать числами в кружках, стоящих у соответствующих узлов, а ветви — числами без кружков. На графе схемы (рис. 3.21, á) имеем 7 узлов и 14 ветвей.

Важным топологическим понятием графа схемы является д е р е в о г р а ф а с х е м ы, представляющее собой любую совокупность ветвей графа, соединяющих все узлы графа без образования контуров. Один и тот же граф схемы может иметь различные деревья. Условимся ветви графа схемы, образующие дерево, изображать жирными линиями.

Ветви, дополняющие дерево графа до полного графа и, следовательно, не принадлежащие дереву графа, принято называть с в я з я м и г р а ф а с х е м ы. Условимся такие ветви изображать пунктирными, либо тонкими линиями. Очевидно, что каждому дереву графа схемы соответствует своя совокупность связей графа схемы, называемая ко-графом схемы, или дополняющим графом схемы. Например, для графа рис. 3.22, á в дополняющий граф войдут ветви (связи графа), соединяющие узлы ab, bf, fd, da, fa è bd. Íà ðèñ. 3.21, â выделено одно из множества возможных деревьев графа схемы.

На рис. 3.22 приведены электрическая схема (à) и граф этой схемы с двумя различными деревьями графа схемы (á è â).

Если связный граф имеет p ветвей и q узлов, то в его дереве будет q – 1 ветвей, а число связей окажется равным n p – (q – 1). Эти утверждения вытекают

Ðèñ. 3.22

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей 155

из самих определений дерева и связей графа схемы, так как q узлов схемы могут быть соединены минимум q – 1 ветвями дерева, а к связям отнесены все остальные p – ( q – 1) ветвей графа схемы. Например, в отдельных частях несвязного графа схемы, изображенного на рис. 3.21, â, имеем: в левой части графа p 2, q 2, n 2 – (2 – 1) 1; в средней части p 8, q 3, n 8 – (3 – 1) 6; в правой части p 4, q 2, n 4 – (2 – 1) 3.

Заметим, что этих соотношений нет для графа схемы в целом. Действительно, для всего графа схемы имеем p 14, q 7 è n 14 – (7 – 1) 8, в то время как число связей равно 1 + 6 + 3 10. Для не связанных в топологическом смысле (однако связанных электромагнитными или другими явлениями) графов схемы число связей равно n p – (q – 1) + N – 1 p – q + N, ãäå N — число отдельных топологически не связанных

частей графа схемы. В данном случае N 3, и поэтому n 14 – (7 – 1) + 3 – 1 10. Для схемы рис. 3.22 имеем p 10, q 5 è n 6.

3.11. Матрица узловых соединений

Изображение электрической схемы графом схемы дает возможность представить их в виде некоторой таблицы. Составим эту таблицу следующим образом. Разделим таблицу по горизонтали на q строк согласно числу узлов графа. Разделим таблицу по вертикали на ð столбцов согласно числу ветвей графа схемы. Пронумеруем строки таблицы согласно номерам узлов, а столбцы — согласно номерам ветвей. Условимся нумеровать ячейки этой таблицы двойным индексом (j, k). Здесь и впредь первый индекс указывает номер строки таблицы, а второй — номер столбца. Заполним эту таблицу, соблюдая следующие правила. Запишем в ячейку jk величину +1, если k-я ветвь соединена с j-м узлом и стрелка ветви графа направлена от j-го узла. Запишем в ячейку jk величину –1, если k-я ветвь соединена с j-м узлом и стрелка ветви графа направлена к j-му узлу. Ячейку jk оставим пустой (условно можно считать, что все пустые ячейки заполнены нулями), если k-я ветвь не соединена с j-м узлом. При соблюдении этих правил для схемы, изображенной на рис. 3.23, à, таблица ее графа (рис. 3.23, á, â) будет иметь вид

Óçëû

			Ветви
	1	2	3	4	5	6
1	1		1			–1
2	–1	1		–1
3			–1	1	–1
4		–1			1	1

156 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Ðèñ. 3.23

Номера строк, набранные полужирным шрифтом, соответствуют номерам узлов.

Отметим некоторые характерные особенности этой таблицы. В каждом столбце могут быть только две ненулевые (не пустые) ячейки, так как каждая ветвь может быть соединена только с двумя узлами. Сумма чисел ячеек каждого столбца равна нулю, так как стрелка каждой ветви будет направлена от одного узла к другому и, следовательно, в одной ячейке будем иметь +1, а в другой — обязательно –1. Имея в виду это обстоятельство, можно заполнить только q – 1 строк таблицы, так как q-я строка всегда может быть восстановлена таким образом, чтобы сумма чисел каждого столбца стала равной нулю. Таблице соединений можно придать смысл математической величины — матрицы.

Назовем матрицей узловых соединений прямоугольную матрицу, строки которой соответствуют узлам без одного, а столбцы — ветвям направленного графа электрической схемы, элементы которой равны нулю, единице или минус единице, если данная ветвь, соответственно, не соединена с данным узлом, направлена от данного узла, направлена к данному узлу.

Обозначим матрицу узловых соединений жирной буквой À. Для графа схемы (рис. 3.23) имеем

											1		0	1		0		0		1
A					ajk							1	1 0 1					0		0
											0		0	1		1		1		0
	1								2		3		4	5				6
1	1											1					–1
2
	–1								1				–1							q – 1 строк
3												–1	1		–1

p столбцов

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей 157

Матрица узловых соединений имеет порядок (q – 1) ? ð, который определяется числом строк матрицы (q – 1) и числом столбцов матрицы (p). Условную запись (q – 1) ? ð не следует путать с умножением чисел. Например, порядок матрицы узловых соединений графа схемы (рис. 3.23) равен 3 ? 6, но не равен 3 618. Элементы матрицы обозначим буквой àjk. Согласно определению матри-

öû À, имеем àjk 1, èëè àjk –1, èëè àjk 0.

Если при построении таблицы соединений строкам поставить в соответствие ветви графа схемы, а столбцам — узлы, то соответствующая такой таблице матрица будет т р а н с п о н и р о в а н н о й м а т р и ц е й À. Обозначим такую транспонированную матрицу через Àt. Для графа схемы (рис. 3.23) имеем

					1	2	3
	1	–1	0	1	1	–1
	0	1	0	2		1
At ||ajk||t	1	0	–1	3	1		–1
	0	–1	1			–1	1
				4
	0	0	–1	5			–1
	–1	0	0	6	–1

3.12. Законы электрических цепей

При расчете электрических цепей используются два закона Кирхгофа. Рассмотрим их в применении к цепи с сосредоточенными параметрами.

Первый закон Кирхгофа, или закон Кирхгофа для узлов, применительно к узлам электрической цепи вытекает из принципа непрерывности электрического тока (см. § 1.7). Охватим узел цепи замкнутой поверхностью s (рис. 3.24). В соответствии с принятыми допущениями вся электрическая емкость в цепи с сосредоточенными параметрами предполагается сосредоточенной в конденсаторах, включенных в цепь. Это соответствует пренебрежению токами электрического смещения, отходящими от соединительных проводов к другим участкам цепи. Таким обра-

зом, сквозь замкнутую поверхность s проходят только токи проводимости в проводниках, пересекающих эту поверхность.

Согласно принципу непрерывности тока, в данном случае полу- Ðèñ. 3.24 ÷àåì

J ds i1 i2 i3 0.

s

При любом числе ï ветвей, присоединенных к узлу цепи, имеем

n

ik 0,

k1

ò.å. сумма токов, расходящихся от узла электрической цепи, равна нулю, что и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

158 Часть 1. Основные понятия и законы теории

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа необходимо задаться условно-положительными направлениями токов во всех ветвях, обозначив их на схеме стрелками. В левой части уравнения следует ставить знак «плюс» перед буквенными обозначениями токов, положительное направление которых принято от узла, и знак «минус» перед буквенными обозначениями токов, положительное направление которых принято к узлу. Для случая на рис. 3.24 перед всеми токами в уравнении следует поставить

Ðèñ. 3.25 знак «плюс», как это написано выше. В случае же, представленном на рис. 3.25, следует писать

– i1 + i2 + i3 0.

Если в результате расчета будет получено для некоторого тока в некоторый момент времени положительное число (ik > 0), то это значит, что ток имеет в данный момент времени действительное направление согласно стрелке. Если же будет получено ik < 0, то этот ток в действительности направлен против стрелки.

Второй закон Кирхгофа, или закон Кирхгофа для контуров, применяется к контурам электрической цепи. Он вытекает из полученного в § 1.12 соотношения

E dl E èíä dl E ñòîð dl.

Величина E ñòîð dl равна сумме ЭДС eñòîð источников сторонних ЭДС, действующих в контуре. Величина E èíä dl включает в себя все индуцированные в

контуре ЭДС — как ЭДС генераторов, действующих на принципе электромагнитной индукции, так и ЭДС самоиндукции и взаимной индукции, индуцируе-

мых в катушках, включенных в контур. Например, для катушки eL L dtdi. Если условиться справа в величину E èíä dl включать только сумму eèíä ÝÄÑ ãåíå-

раторов, рассматриваемых как источники энергии, то ЭДС самоиндукции и взаимной индукции, индуцируемые в катушках, должны быть перенесены в левую часть уравнения и учтены в величине E dl как падения напряжения на зажимах

катушек. Например, для катушки слева появится член uL L dtdi. Слева в вели- чину E dl входят также падения напряжения ri на сопротивлениях, входящих

в контур, и падения напряжения uC q/Ñ на содержащихся в контуре конденсаторах. Обозначив сумму ЭДС источников энергии, действующих во всех ï ветвях контура, в виде

k n	k n	k n
ek	ek ñòîð	ek èíä ,
k 1	k 1	k 1

будем иметь

k n

uk

k 1

k n

ek .

k 1

Ðèñ. 3.26

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

159

Итак, второй закон Кирхгофа гласит: сумма падений напряжения во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС источников энергии, действующих в этом контуре.

Åñëè â k-й ветви содержатся в общем случае участок с активным сопротивлением rk, катушка с индуктивностью Lk и конденсатор с емкостью Ñk (ðèñ. 3.26, à), то падение напряжения вдоль всей этой ветви будет складываться из падений

напряжений urk, uLk è uCk на этих элементах, т. е. uk urk + uLk + uCk. Согласно полу- ченным в § 3.6 выражениям, для этих падений напряжений можем написать

		di	k		q		di	k		1	t
	uk rk ik Lk				k	rk ik Lk					ik dt uCk (0).
		dt			Ck		dt			Ck
											0

Для составления уравнений согласно второму закону Кирхгофа должны быть заданы положительные направления токов ik è ÝÄÑ ek источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжений uk считаем совпадающими с положительными направлениями токов ik. Выбрав затем некоторое направление обхода контура, мы должны при составлении суммы падений

n	n
напряжений uk	и суммы ЭДС ek ñòà-
k 1	k 1

вить перед буквенными обозначениями величин uk è ek знак «плюс», если положительное направление этих величин совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус» — в противоположном случае.

В электрических цепях с сосредоточенными параметрами второй закон Кирхгофа может быть записан и для контура, который проходит от одного узла к другому по окружающему участки электрической

цепи пространству. Вследствие научных абстракций, принятых при построении теории электрических цепей с сосредоточенными параметрами, мы должны принять во внимание, что в этом окружающем пространстве отсутствуют магнитные

и сторонние поля и, следовательно, равны нулю ЭДС eñòîð è eèíä. При таком выборе контура обхода мы должны писать

E dl = umn 0,

ãäå umn — напряжение между узлами m è ï.

Заметим, что интеграл имеет смысл, если полагать, что и в цепях с сосредото- ченными параметрами во внешнем пространстве существует электрическое поле. Однако токи смещения и энергия такого поля предполагаются пренебрежимо малыми.

Наличие источников энергии в ветви k (ðèñ. 3.26, á) никак не отражается на
	~	~
графе этой ветви (рис. 3.26, â). Обозначим токи и напряжения в графе ветви ik		è uk .
~	~
Òîê ik	и напряжение uk относятся к некоторой обобщенной ветви, содержащей

источник тока и источник ЭДС (ðèñ. 3.26, á). Согласно первому закону Кирхгофа применительно к узлу m (èëè n ) íà ðèñ. 3.26, á, имеем

160 Часть 1. Основные понятия и законы теории

~ik imn ik =k .

Согласно второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по проводникам ветви k îò óçëà m ê n и по внешнему пространству — от узла n ê m, имеем

	~		d	t	ik
	umn uk	uk ek rk ik		Lk ik			dt uCk	(0) ek .
			dt		C	k
				0

Последние выражения связывают токи и напряжения в обобщенных ветвях графа, изображаемых в графе схемы отрезками, с токами и напряжениями ветвей и источниками тока и ЭДС, когда таковые содержатся в исходной схеме.

При записи уравнений согласно законам Кирхгофа для графа схемы будем иметь в виду, что в эти уравнения войдут токи и напряжения обобщенных ветвей схемы цепи. Следовательно, для графа схемы можно написать

p	~	0	p	~	0	p
ik			è uk			èëè uk
k 1			k 1			k 1

p

ek .

k 1

3.13. Узловые уравнения для токов в цепи

Для электрической цепи с q узлами можно составить q уравнений, применяя к каждому из узлов первый закон Кирхгофа. Однако только q – 1 из них независимы друг от друга. Независимость уравнений для первых q – 1 узлов вытекает из того, что всегда можно установить такой порядок выбора этих узлов, при котором каждый последующий узел будет отличаться от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью. Заметим, что сумма любых j (1 4 j 4 q – 1) уравнений есть уравнение для такой замкнутой поверхности, которая охватывает данные j узлов. Это следует из того, что токи тех ветвей, которые не пронизывают поверхность, но находятся внутри замкнутой поверхности, войдут в уравнения два раза: один — со знаком «минус», другой — со знаком «плюс». Например, сумма уравнений для узлов 1, 2, 3, 4 è 5 графа на рис. 3.27 определит сумму токов для поверхности, охватывающей эти узлы (штриховая линия обозначает след этой поверхности).

Ðèñ. 3.27

Если поверхность охватывает q – 1 узлов, то сумма токов ветвей, пронизывающих эту поверхность, равна с обратным знаком сумме токов для q-гo узла, и поэтому q-е уравнение оказывается следствием предыдущих q – 1 уравнений. В связи с этим будем говорить, что цепь (или граф схемы) с q узлами имеет лишь q – 1 независимых узлов.

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

161

В зависимости от того, каким образом ток в ветви направлен по отношению к нормали к поверхности, охватывающей узел, он может входить в уравнение со знаком «плюс» или «минус». Для учета этого обстоятельства запишем первый закон Кирхгофа в виде

p

ajk ~ik 0, j 1 q 1 ,

k 1

ãäå ajk ±1 èëè ajk 0.

Пусть нормаль к замкнутой поверхности направлена во внешнее пространство. Тогда если ток ветви k направлен от узла j, то он войдет в уравнение со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус». В первом случае ajk = 1, во втором ajk –1. Если ветвь k не соединена с данным узлом j, òî ajk 0.

С учетом сказанного выше, например, для графа 3.27, á (ãðàô öåïè ðèñ. 3.23), ãäå q 4, можно составить систему трех независимых уравнений:

äëÿ óçëà1	~	~	~	0,	a11	1,	a13	1,	a16	1;
	i1	i3	i6
äëÿ óçëà 2	~	~	~	0,	a21	1,	a22	1,	a24	1;
	i1	i2	i4
äëÿ óçëà 3	~	~	~	0,	a33	1,	a34	1,	a35	1.
	i3	i4	i5

Заметим, что правила, по которым определяются величины ajk, полностью совпадают с правилами, по которым ранее мы составляли матрицу узловых соединений.

Благодаря единообразному подходу при определении элементов матрицы соединений и коэффициентов у токов в уравнениях получаем возможность использовать матрицу узловых соединений для алгебраизации записи уравнений для токов согласно первому закону Кирхгофа.

Представим токи в графе схемы (или в схеме цепи) в виде матрицы, состоящей из одного столбца и ð строк:

~

~

~

i1

, k 1 p.

i

ik

~

ip

Такая с т о л б ц о в а я м а т р и ц а порядка ð ? иногда называется ð-м е р - н ы м в е к т о р о м по аналогии с векторной величиной, у которой имеется ð составляющих по p-координатным направлениям.

Каждая строка матрицы соединений представляет собой коэффициенты у токов в уравнении, записанном согласно первому закону Кирхгофа для узла, номером которого определяется номер строки матрицы соединений. Таким образом, согласно правилам матричного умножения, каждое узловое уравнение может быть представлено в виде

~

Ai 0.

162 Часть 1. Основные понятия и законы теории

~

i

1

p

j

aj1

ajk

ajp

?

~

~

~

~

~

0.

i k

aj1i 1

. . . ajk i k

. . . ajp i p

ajk i k

вектор-строка (1 ? ð)

матрица (1 ? 1)

k 1

~

i

p

вектор-столбец (ð ? 1)

Аналогичных матричных уравнений можем записать q – 1 äëÿ q – 1 строк матрицы узловых соединений. В матричной форме систему таких уравнений можно представить в виде

Для графа схемы (см. рис. 3.23) имеем

~

i

1

1 2

3 4 5

6

~

i

2

1

1

1

–1

~

~

~

~

0

i

3

i 1

i 3

i 6

~

–1

1

–1

?

~

~

~

~

0

0.

A i 2

i

4

i 1

i 2

i 4

3

–1

1

–1

~

~

~

~

0

i

5

i 3

i 4

i 5

(3?6)

~

(3?1)

(3?1)

i

6

(6?)

~

определяет уравнение для

Здесь каждая строка матричного произведения Ai

узла согласно первому закону Кирхгофа.

Äëÿ k-й обобщенной ветви можно записать уравнение

~

ik =k ,

ik

ãäå ik — ток в пассивных элементах ветви k, à =k — ток источника тока в ветви k, åñëè ik è =k направлены от одного и того же узла (см. рис. 3.26).

Матричная запись системы уравнений согласно первому закону Кирхгофа для токов в элементах ветвей схемы будет иметь вид

~

Ai A= 0,

Ai

ãäå

~

i1

=1

0

~

i1

;

i

;

=

;

0

.

i

~

ip

= p

0

ip

( p?1)

( p?1)

( p?1)

(q 1)?1

Это уравнение можно записать также в виде