Теоретические основы электротехники-1

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

163

p

Ai A= èëè ajk ik

k 1

p

ajk=k , j = 1 q 1 .

k 1

В такой форме записи первого закона Кирхгофа источники тока специально выделены.

3.14. Контурные уравнения цепи. Матрица контуров

Применяя второй закон Кирхгофа, можно составить столько уравнений, сколько имеется контуров в цепи. Однако при этом одни уравнения могут оказаться следствиями других. Независимость уравнений для контуров, или, как говорят, независимость контуров, будет обеспечена, если эти контуры выбирать так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью. Наиболее просто такой выбор можно осуществить, если воспользоваться свойствами дерева графа, которое представляет собой такую совокупность ветвей, которая не образует контуров. Добавление любой связи графа схемы создает контур, который образуется одной связью и ветвями дерева графа схемы.

Ðèñ. 3.28

Íà ðèñ. 3.28, à добавление связи 4 образует контур 4, куда входят ветви дерева 1 è 3. Íà ðèñ. 3.28, á добавление связи 5 образует контур 5, куда входят ветви дерева 1, 2 è 3. Íà ðèñ. 3.28, â добавление связи 6 образует контур 6, куда входят ветви дерева 1 è 2. Таким образом, число независимых контуров определяется числом связей в каждом связном графе схемы, ò. å. n p – (q – 1).

Запишем контурные уравнения для графа схемы. Обозначим напряжения вет-

~

вей графа схемы через uk . Контурные уравнения пронумеруем согласно номерам ветвей-связей. Обход контура произведем таким образом, чтобы направление связи совпало с направлением обхода. В контурное уравнение напряжение ветви войдет со знаком «плюс», если направления обхода и стрелки ветви совпадают, в противном случае напряжение войдет со знаком минус. Учтем это обстоятельство в записи уравнений введением коэффициентов ñsk, ãäå s — номер связи; k — номер ветви. Будем считать, что ñsk 1, åñëè k-я ветвь входит в s-й контур согласно его обходу; ñsk –1, åñëè k-я ветвь входит в s-й контур против обхода; ñsk 0, åñëè k-я ветвь не входит в s-й контур. При таком подходе второй закон Кирхгофа для графа схемы можно записать в виде

p	~	0,	s q p.
cskuk

k 1

164 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Для контура 4		(ðèñ. 3.28, à) имеем
		~	~	~	0; c41	1,	c43 1, c44 1.
		u1	u3	u4
Для контура 5		(ðèñ. 3.28, á)
~	~		~	~			1, c53 1 c55 1.
u1	u	2 u3 u5 0; c51 1, c52
Для контура 6		(ðèñ. 3.28, â)
		~	~	~	0; c61	1,	c62 1, c66 1.
		u1 u2		u6

Составим таблицу из коэффициентов ñsk. Пронумеруем строки этой таблицы номерами связей графа цепи, а столбцы — номерами ветвей графа цепи. Такую прямоугольную матрицу, строки которой соответствуют связям, а столбцы — ветвям направленного графа электрической схемы, элементы которой равны нулю, единице или минус единице, если при обходе контура, образованного данной связью и ветвями дерева, вдоль связи ветвь, соответственно, не входит в контур, входит в контур согласно обходу, входит в контур против обхода, называют матрицей контуров.

Обозначим матрицу контуров буквой Ñ.

Представим напряжения ветвей графа схемы в виде матрицы, состоящей из ð строк и одного столбца:

~

~

u1

~

.

u

uk

~

u p

Каждая строка матрицы контуров представляет собой коэффициенты у напряжений ветвей графа в уравнении, записанном согласно второму закону Кирхгофа для контура, который образован связью, номер которой определяет номер строки матрицы контуров. Таким образом, согласно правилам матричного умножения, каждое контурное уравнение может быть записано в виде

~

u 1

? ~ s cs1 csk csp u k

~

~

~

p

~

c

. . . c

... c

0.

u

1

sk

u

k

sp

u

p

cskuk

s1

k 1

вектор-строка (1 ? ð)		матрица (1 ? 1)
	~
	u p

вектор-столбец (ð ? 1)

Такие матричные уравнения можем записать для всех ï связей графа схемы. В матричной форме полученную в итоге систему уравнений можно представить в виде

~ .

Cu 0

Для графа схемы (см. рис. 3.23, â) имеем

Глава 3.

Основные понятия и законы теории электрических цепей 165

~

u

1

1 2

3 4

5 6

~

u

2

4

–1

1

1

~

~

~

~

0

u

3

u

1

u 3

u 4

~

1

1

–1

1

?

~

~

~

~

~

0

0.

Cu 5

u

4

u 1 u

2 u

3 u

5

6

1

1

1

~

~

~

~

0

u

5

u

1

u 2

u 6

~

u

6

~

определяет уравнение для

Здесь каждая строка матричного произведения Cu

соответствующего контура согласно второму закону Кирхгофа.

Äëÿ k-й обобщенной ветви справедливо уравнение

~

uk ek

,

uk

ãäå uk — напряжение в пассивной части ветви k, à åk — ЭДС в ветви k, причем uk è åk направлены согласно направлению ветви графа.

Матричная запись контурных уравнений для напряжений и ЭДС в ветвях схемы будет иметь вид

~

Ce 0,

Cu Cu

ãäå

~

u1

e1

0

~

u1

;

u

;

e

;

0

.

u

~

u p

ep

0

u p

( p?1)

( p?1)

( p?1)

(n?1)

Последнее уравнение можно представить также и в виде

p

p

Cu Ce èëè cskuk

csk ek ,

s q... p.

k 1

k 1

что является уже написанным в § 3.12 уравнением для соответствующего контура цепи.

3.15. Уравнения для токов в сечениях цепи. Матрица сечений

Первый закон Кирхгофа может быть сформулирован не только применительно к отдельным узлам цепи, но и к совокупности узлов. В этом случае поверхность, для которой записывается выражение

J ds ik 0,

будет охватывать совокупность узлов и рассечет (разрежет) цепь или граф схемы на две части. Сечения на рисунках обозначим штриховыми замкнутыми линиями, представляющими собой следы замкнутых поверхностей. На рис. 3.27 и 3.30 штриховыми линиями изображены следы таких поверхностей. Сечений в электрической цепи или в графе электрической схемы может быть множество. Каждому сечению будет соответствовать одно уравнение, выражающее равенство нулю суммы токов ветвей, рассекаемых данным сечением.

166 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Ранее мы выяснили, что число независимых уравнений, согласно первому закону Кирхгофа, равно q – 1. Следовательно, число независимых уравнений для сечений также должно быть равно q – 1, так как каждое уравнение для сечения может быть получено суммированием соответствующих узловых уравнений для узлов, охваченных сечением. Чтобы упростить выбор сечений, целесообразно проводить их таким образом, чтобы каждое сечение разрезало только одну ветвь дерева. При этом число сечений будет равно числу ветвей дерева. Условимся нумеровать сечения номерами ветвей дерева. Условимся также термин направление ветви применять в качестве синонима термина направление тока в ветви. Направим нормаль к поверхности сечения внутрь или наружу в зависимости от направления ветви дерева. Тогда в уравнение для токов в сечении ток ветви дерева и токи ветвей, ориентированные по отношению к сечению так же, как и ток ветви дерева, войдут со знаком «плюс». Все остальные токи войдут в уравнение со знаком «минус». Токи ветвей, не разрезаемых сечением, не войдут в уравнение. Учтем это обстоятельство в записи уравнений введением коэффициентов dmk, ãäå m — номер ветви дерева, определяющий номер сечения; k — номер ветви. Причем dmk ±1, åñëè k-я ветвь разрезается m-м сечением, и dmk 0, åñëè k-я ветвь не входит в m-е сечение. Тогда уравнение для токов сечений можно записать в виде

p

~

0,

1... q 1 .

m

dmk ik

k 1

~

âûõî-

Для графа схемы, изображенного на рис. 3.29, для сечения 1, ãäå òîê i1

дит из сечения, имеем

~

~

~

~

0;

d

1,

d

1,

d

1, d

1.

i

i

i

i

1

4

5

6

~

11

14

15

16

Для сечения 2, ãäå òîê i2

входит в сечение,

~

~

~

0; d22 1,

d25 1,

d26 1.

i2

i5

i6

~

входит в сечение,

Для сечения 3, ãäå òîê i3

~

~

~

0; d33 1,

d34 1,

d35 1.

i3

i4

i5

Составим таблицу из коэффициентов dmk. Пронумеруем строки этой таблицы согласно номерам ветвей дерева, а столбцы — согласно номерам ветвей графа схемы. Прямоугольная матрица, строки которой соответствуют ветвям дерева, а столбцы — ветвям направленного графа электри-

	ческой схемы, элементы которой равны нулю, еди-
	нице, минус единице, если при образовании замкну-
	той поверхности, разрезающей только одну ветвь
	дерева и связи графа, ветвь, соответственно, не раз-
	резается, разрезается и направлена к поверхности
	согласно данной ветви дерева, разрезается и на-
	правлена к поверхности против данной ветви
	графа, называется матрицей сечений.
	Обозначим матрицу сечений буквой D. Ïðåä-
	ставим токи ветвей графа схемы в виде матрицы,
Ðèñ. 3.29	состоящей из p cтрок и одного столбца.

~ = ,

Di Di D 0

~ .

Di 0

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

167

Каждая строка матрицы сечений представляет собой коэффициенты у токов ветвей в уравнении для сечения, номер которого определяется номером ветви дерева. Согласно правилам матричного умножения, каждое уравнение сечения может быть записано в виде

~

i

1

p

m

dm1

dmk

dmp

?

~

~

~

~

~

0.

i k

dm1i1

dmk i k

dmp ip

dmk ik

вектор-строка (1?ð)

матрица (1?1)

k 1

~

i

p

вектор-столбец (ð?1)

Такие матричные уравнения можно записать для всех q – 1 ветвей дерева графа схемы. В матричной форме полученную систему уравнений можно представить в виде

Для графа схемы (рис. 3.29) имеем

~

i

1

1

2

3 4 5 6

~

i

2

1

1

1

–1

–1

~

~

~

~

~

0

i

3

i

1

i

4 i

5 i

6

~

2

1

–1

–1

?

~

~

~

~

0

0.

D i

i

4

i 2

i 5

i 6

3

1

–1

1

~

~

~

~

0

i

5

i 3

i 4

i 5

~

i

6

Здесь каждая строка матричного произведения определяет уравнение для токов сечения согласно первому закону Кирхгофа.

Äëÿ k-й обобщенной ветви справедливо уравнение

~ik ik =k ,

ãäå ik — ток в пассивных элементах k-й ветви, а =k — значение тока источника тока в k-й ветви при условии, что ik è =k направлены от одного и того же узла (см. рис. 3.26).

Матричная запись уравнений токов сечений в элементах ветвей схемы будет иметь вид

ãäå

~

i1

=1

~

i1

0

;

i

;

=

;

0

.

i

~

ip

= p

ip

0

( p?1)

( p?1)

( p?1)

(q 1)?1

168 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Это уравнение можно переписать так, что источники тока будут выделены особо, а именно:

Di D=.

3.16. Связи между матрицами соединений, контуров и сечений

Для выяснения связей между матрицами произведем некоторое упорядочение в нумерации ветвей графа схемы. Условимся впредь номера от 1 до q – 1 приписывать ветвям дерева и номера от q äî p — связям графа. При такой нумерации матрицы À, Ñ è D будут состоять из двух подматриц (из двух блоков):

1	1 q 1,	q p	q	1 q 1, q p

A	A1		A2 ;		C		C1	C2 ;
q 1					p
	(q 1) ? (q 1),		(q 1) ? n				n ? (q 1),	(n ? n)
		1	1 q 1,		q p
	D
			D1		D2		.
		q 1
			(q 1) ? (q 1),		(q 1) ? n

Соответственно, токи (напряжения) графа схемы также могут быть представлены двумя столбцовыми блоками — двумя подматрицами. В первом блоке-столбце будут расположены токи (напряжения) ветвей дерева с номерами от 1 до q – 1, а во втором блоке-столбце — токи (напряжения) связей с номерами от q äî p:

		1	~
~			i1	(q 1) ? 1
		q 1		;	~
i		q	~		u
			i 2	(n ? 1)
		p

	1	~
			(q 1) ? 1
		u1
	q 1		.
	q	~
			(n ? 1)
		u 2
	p

При таком разбиении матриц матричные уравнения могут быть записаны в виде произведения блочных матриц. По первому закону Кирхгофа применительно к узлам схемы имеем

Здесь A1 — квадратная подматрица порядка (q – 1) ? (q – 1), так как она имеет

q – 1 столбцов, соответствующих q – 1 ветвям дерева графа схемы, q – 1 строк,

~

соответствующих q – 1 узлам. Подматрица-столбец i1 также имеет q – 1 строк,

соответствующих токам ветвей дерева. Соответствие числа столбцов подмат-

~

ðèöû A1 числу строк подматрицы i1 позволяет записать матричное произведе-

~ ~

íèå A1~i1. Точно так же имеет смысл произведение A2i 2 , òàê êàê A2 имеет n столбцов, а i 2 имеет n строк, соответственно равных числу связей в графе схемы.

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

169

Рассуждая аналогично, можно показать, что имеют смысл следующие матричные произведения:

		~	~	— подматрицы-столбцы токов и напряжений ветвей
Здесь, как и ранее, i1			è u1
~	~	— подматрицы-столбцы токов и напряжений связей графа цепи.
дерева, а i 2	è u 2

В матрице контуров C номер строки определяется номером связи, и поскольку в контур входит только одна связь, то очевидно, что в подматрице C2 каждая строка будет иметь только один положительный ненулевой элемент. Этот элемент будет в том столбце, номер которого определяется связью, образующей данный контур. По этой причине все ненулевые элементы подматрицы C2, равные 1, будут расположены по диагонали подматрицы C2. Такая матрица называется е д и н и ч н о й, будем обозначать ее через 1. Порядок подматрицы C2 1 равен n ? n. Обычно в литературе для единичной матрицы применяется обозначение E; однако, чтобы не путать единичную матрицу с матрицей ЭДС, будем использовать символ 1.

При составлении матрицы сечений строки нумеруются согласно номерам ветвей дерева. Поскольку каждая ветвь дерева входит только в одно определяемое номером этой ветви сечение, подматрица D1 будет иметь строки с одним положительным ненулевым элементом. Эти элементы будут расположены по диагонали подматрицы D1. По этой причине подматрица D1 является единичной матрицей порядка (q – 1) ? (q – 1).

Таким образом, можно записать

1	1 q 1, q p	q	1 q 1, q p

C C1		1 ; D 1			D2 .
q 1			p

Каждое сечение разрезает одну ветвь дерева и некоторые связи графа схемы (рис. 3.30). Из этого обстоятельства вытекает, что ветвь (m на рис. 3.30), определяющая сечение, непременно входит в контуры (j è s), образованные теми связями (j è s) графа, которые разрезаются сечением, так как разрезание данной ветви дерева графа приведет к разрезанию всех контуров, которые образованы связями сечения.

На рис. 3.30 показаны два подграфа, которые образуются сечением ветви m. В контуры, образованные связями s è j, ветвь m входит, соответственно, со знаками csm – 1 è cjm 1. В то же время ветви s è j входят в m-е сечение, соответственно, со знаками dms 1 è dmj – 1. Для всех контуров и сечений, следовательно,

170 Часть 1. Основные понятия и законы теории

можно заметить следующую закономерность. Столбцы подматрицы C1 могут быть образованы строками подматрицы D2, если у всех ненулевых элементов изменить знаки.

Если у двух матриц строкам одной матрицы соответствуют столбцы другой (и наоборот), то такие матрицы получаются путем взаимного транспонирования — перестановки местами строк и столбцов. Обозначим процедуру транспонирования верхним индексом t (или «т»). Тогда имеют место соотношения

C

1

Dt

èëè

D

2

C t .

2

1

Ðèñ. 3.30

Чтобы не писать индексы у подматриц C1 è

D2, введем обозначение C1 F. Тогда

D

C

F

1

1

–Ft

.

Следовательно, для составления матриц C è D достаточно составить одну подматрицу F. Например, для графа схемы, изображенного на рис. 3.31, имеем

			1	2	3			4	5			6						7	8		9		10
		1	1							1			–1				–1
	D 2			1						–1			1					1			1		1			1			–Ft		,
		3			1								1						–1				1
		4						1		1			–1						1		–1		–1
ò. å.
				1	2				3			4
			5	–1		1						–1
			6	1		–1		–1				1												1 4,				5 10
			7	1		–1			1		–1						è		C		5				F			1		.
		F 8																			10
			9			–1						1
			10			–1		–1				1
	Из законов цепей имеем								~			A			~				~		D		~	. Íî D1				1, поэтому
~									A1i1						2 i		2	è D1i1					2 i 2
	D	~
i1		2 i 2 .

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей

171

Подматрица A1 является квадратной подматрицей. Если определитель A1 íå
равен нулю, то можно найти такую матрицу A 1						, при умножении на которую
					1
матрицы A1 слева получим единичную матрицу. Матрицу A1 1 называют о б р а т -
í î é ì à ò ð è ö å é A1. Умножим первое матричное уравнение слева на A1 1, тогда
–1	~	~	~	–1	~	~
A1 A1i1		1i1	i1	A1 A	2 i 2	D2 i 2 ,
ò. å. D2 A1–1A2 , откуда также следует, что F t					A1–1A2 .

Последние соотношения важны в том смысле, что они позволяют по матрице соединений путем матричных операций составлять матрицы контуров и се-

	чений, что исключительно важно при исполь-
	зовании вычислительных машин, расчеты на
	которых требуют формализации процедуры со-
	ставления системы уравнений. Для графа схе-
	мы всегда существует подматрица D2, поэтому
	из равенства D2 A1–1A2 и существования A2
	вытекает и существование обратной матрицы
	A 1.
	1
	Можно легко показать, что определитель мат-
	ðèöû A1 существует всегда и, более того, он ра-
	вен ±1. Разложим определитель по элементам
	некоторой строки (или столбца). В определите-	Ðèñ. 3.31
	ëå A1 всегда можно найти строку, где имеется
	только один ненулевой элемент, так как в дере-

ве графа схемы можно найти ветвь, которая заканчивается на том узле, который в качестве лишнего исключен из рассмотрения (такой исключенный узел, как правило, называют базисным). При разложении получим для определителя произведение ±1 и минора определителя A1. Минор определителя A1 соответствует дереву, из которого исключены один узел и одна ветвь. Поэтому для оставшейся части дерева, а следовательно, и минора определителя матрицы A1 могут быть применены те же самые рассуждения, что и ранее для матрицы A1. Таким образом, определитель матрицы A1 будет состоять из произведения (q – 1) элементов ±1, т. е. будет равен либо +1, либо –1.

3.17. Полная система уравнений электрических цепей. Дифференциальные уравнения процессов в цепях с сосредоточенными параметрами

Законы Кирхгофа применительно к графу схемы или электрической цепи характеризуют систему в целом без учета характеристик ее элементов. Матричные уравнения

Ai A (èëè Di D ) è Cu Ce

определяют систему из p отдельных уравнений. Такая система недостаточна для описания процессов в электрических цепях, так как не известны p токов и p напряжений.

Чтобы дополнить систему уравнений, необходимо определить (или задать) еще p уравнений. Эти уравнения должны отражать свойства элементов систе-

Ðèñ. 3.32

172 Часть 1. Основные понятия и законы теории

мы — ветвей электрической цепи. Очевидно, что такие связи должны быть записаны для ð ветвей цепи. В матричной форме запишем эти уравнения в виде

i f u

èëè

u

i ,

ò. å.

f1(u1, , u p )

1(i1, , ip )

i1

. . . . . . . .

u1

. . . . . . . .

i

. . . . . . . .

èëè

u

. . . . . . . .

.

ip

. . . . . . . .

u p

. . . . . . . .

f p (u1, , u p )

p (i1, , ip )

В зависимости от характера функций fk è k k 1 p системы уравнений электрических цепей могут быть л и н е й н ы м и — для линейных электрических цепей, т. е. для цепей, у которых r, L, C è M не зависят от значений и направлений токов и напряжений в цепи, и нелинейными — для нелинейных электрических цепей, т. е. для цепей, у которых r, L, C èëè M хотя бы одного из участков зависят от значений или от направлений токов и напряжений в этом участке цепи. Заме-

тим, что при таком определении в зависимости от того, какие токи и напряжения входят в уравнения графа схемы, одна и та же цепь может быть либо линейной, либо нелинейной. Действительно, если для цепи (рис. 3.32), где имеются две ветви с идеальными диодами (ВАХ такого элемента см. на рис. 3.19, á), уравнения записаны для токов i, i1 è i2, то система уравнений будет нелинейной. В то же время, если в систему уравнений цепи входят только i è u, то этот же участок может быть рассмотрен

как линейная цепь.

Если в функции fk è k входят производные токов и напряжений, то процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных дифференциальных уравнений. При отсутствии производных в функциях fk è k процессы в этой линейной или нелинейной электрической цепи будут характеризоваться системой, соответственно, линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

Система из 2p уравнений, включающая в себя уравнения, записанные согласно законам Кирхгофа, и уравнения, характеризующие связи между токами и напряжениями элементов электрической цепи, и есть полная система уравнений электрической цепи, или полная математическая модель этой цепи.

Уравнения, связывающие токи и напряжения отдельных элементов электри- ческой цепи, могут быть учтены при составлении уравнений согласно законам Кирхгофа. В качестве примера рассмотрим составление системы дифференциальных уравнений для линейной цепи (см. рис. 3.23) с сосредоточенными параметрами.

Имеем (см. § 3.13, 3.14)