Теоретические основы электротехники-1

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

223

5. (Р) Параметры изображенных на рис. В4.21 электрических цепей при частоте 0 00 напряжения на входе таковы, что r xL xC. Составьте схемы замещения этих цепей при 0 >> 00; 0 << 00.

Ðèñ. Â4.21

6. Приведите примеры цепей, схемы замещения которых следует изменять при изменении частоты напряжения на входе.

ЗАДАЧИ

1.(Р) На рис. В4.22 изображены две электрические цепи. Укажите диапазон изменения частоты 0 тока, при котором эти цепи могут рассматриваться как последовательные rL-öåïè.

2.Известны реактивная составляющая приложенно-

го к цепи напряжения Uð, реактивная составляющая тока цепи Ið, активная мощность Ð, потребляемая цепью. Получите выражения для определения сле-

дующих величин: cos 2, r, x, z, à	также активных
составляющих тока и напряжения.	Ðèñ. Â4.22

3. (Р) Цепь состоит из последовательно соединенных источника синусоидальной ЭДС, действующее значение которой равно Å, и двухполюсника, эквивалентные активное и реактивное сопротивления которого равны, соответственно, rý è xý. Определите активную Ià и реактивную Ið составляющие тока двухполюсника.

Глава пятая

Методы расчета электрических цепей при установившихся синусоидальном и постоянном токах

5.1. Комплексный метод

В настоящей главе рассмотрим методы расчета установившихся режимов в линейной электрической цепи, когда ЭДС, токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Как было отмечено ранее, определение токов и напряжений в таких цепях связано с нахождением частных решений неоднородных дифференциальных уравнений, записанных на основе законов Кирхгофа.

Вычисление непосредственно по первому закону Кирхгофа некоторого тока по другим уже найденным токам, сходящимся к данному узлу цепи, или вычисление по второму закону Кирхгофа падения напряжения на некотором участке контура цепи по уже найденным падениям напряжения на других участках контура и ЭДС, входящим в данный контур цепи, требуют суммирования синусоидальных токов или напряжений и ЭДС. Однако эта операция связана с громоздкими и трудоемкими вычислениями.

Громоздкость подобных вычислений является следствием того, что синусоидальная величина — ток, напряжение, ЭДС — при заданной частоте 0 определяется двумя величинами — а м п л и т у д о й и н а ч а л ь н о й ф а з о й.

Существенное упрощение достигается изображением синусоидальных функ-

ций времени комплексными числами A, так как каждое комплексное число содержит в себе äâå величины — м о д у л ь A è à ð ã ó ì å í ò ΑA при показательной форме записи

	jΑA
A Ae

èëè â å ù å ñ ò â å í í ó þ a1 A cos ΑA è ì í è ì ó þ ja2 jA sin ΑA составляющие при алгебраической и тригонометрической формах записи

Α Α

A a1 ja2 Acos A jAsin A , ãäå j 1 è e — основание натуральных логарифмов.

Метод, основанный на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, а затем в широкое употребление в России академиком В. Ф. Миткевичем, будем называть к о м п л е к с н ы м м е т о д о м. Его называют также с и м в о л и ч е с к и м м е т о д о м, так как он основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употребляют также

	обозначения a1 Re (A), a2	Im (A).
	Существуют следующие очевидные связи:
									a2
					2	2
	a1 Re(A) AcosΑ A ; a2	Im (A) AsinΑ A	;	A	a1	a2	;	Α A arctg		.
									a1

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

225

Заметим также, что

	j ej			1		j e j
									j2 1.
		2 ;					2 ;
				j

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют с о п р я ж е н н ы м и. Если имеем ком-

jΑA

a1 + ja2, то сопряженное ему комплексное число запи-

плексное число A Ae

Ε

Ae jΑA

a1 – ja2. Важно отметить следующие свойства

шется в форме A

сопряженных комплексных чисел:

Ε

Ae

jΑA

Ae

jΑA

A

2

;

AA

1

Ε

1

Ε

Re (A)

(A A); Im (A)

(A A).

2

2 j

Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток i Im sin (0t + Αi). Его можно представить в форме

i I m sin(0t Α i )

1

#

j 0t Αi

I m e

j 0t Αi &

Im

#

j 0t Αi &

%I m e

(

%I m

e

(

,

2 j

что видно также из соотношения

I

m

ej 0t Αi I

m

cos(0t Α

i

) jI

m

sin(0t Α

i

).

Комплексное число

I m e

j 0t Αi

I m e

jΑi

e

j0t

j0t

I m e

и будем рассматривать как символическое изображение действительного синусоидального тока i Im sin (0t + Αi); оно, так же как и величина i, определяется

при заданной частоте 0 двумя величинами — амплитудой Im и начальной фа - зой Αi. Комплексное число I m ejΑi называют к о м п л е к с н о й а м п л и т у д о й

тока. Вводя знак изображения Φ, будем писать

i I m sin (0t Α i ) Φ	I m e	j 0t Αi		j0t	.
			I m e

Таким образом, для перехода от действительной синусоидальной функции, назовем ее оригиналом, к ее изображающей комплексной величине необходимо модуль последней взять равным амплитуде синусоидальной функции и аргумент взять равным аргументу синусоидальной функции.

Для обратного перехода от комплексного числа, изображающего действительную функцию, к самой действительной функции, т. е. к оригиналу, необходимо взять коэффициент при j мнимой части комплексного числа.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока

	di	0I m	cos (0t Α i ) 0I m		0t Α i
				sin					.
	dt						2

Из только что сказанного вытекает, что ее изображение будет иметь вид

226 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

j

0tΑ

j

j 0tΑi

j 0tΑi

i

2

2

j0t

0I m e

0I m e

e

j0I m e

.

j0I m e

Таким образом,

dtdi Φ j0I m ej0t ,

т. е. операция взятия производной от действительной функции заменяется умножением на j0 ее комплексного изображения. Соответственно, для производной n-го порядка имеем

d nni Φ ( j0 n I m ej0t .

dt

Рассмотрим выражение для заряда, равного интегралу от синусоидального тока:

t	I		#I					&
q(t) i dt q(0)		m				m
			cos(0t Α i ) %				cosΑ i	q(0)(.
	0				0
0

Так как мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и ЭДС, действующие в цепи, синусоидальны и не содержат постоянных составляющих, то, как уже было получено в § 4.4, напряжения на конденсаторах, а следовательно, и заряды на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих и, соответственно,

#I

m

&

%

cosΑ i

q(0)(

0.

0

Таким образом,

t

I

I

i dt q(0)

m

cos(0t

Α i )

m

0t Α i

sin

.

0

0

2

0

Искомое изображение будет иметь вид

t

I

I

j

0tΑ

I

j

j 0tΑ

I

i dt q(0) Φ

m

i

m

m

Α

0

0

e

2

e

2 e

i

ej i ej t

m

ej t ,

0

0

j0

j0

0

т. е. операция интегрирования действительной функции заменяется делением на j0 ее комплексного изображения.

Таким образом, комплексный метод является методом алгебраизации дифференциальных уравнений. Сущность его заключается в том, что сначала все заданные функции времени заменяем их комплексными изображениями и все дифференциальные и алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа, заменяем алгебраическими уравнениями в комплексной форме, содержащими комплексные величины заданных и искомых функций и их производных и интегралов. Решая эти алгебраические уравнения, находим комплексные выражения искомых функций и от них переходим к оригиналам этих функций.

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

227

В виде примера рассмотрим уравнение Кирхгофа для цепи с последовательно соединенными участками r, L è C, к зажимам которой приложено напряжение

u Um sin (0t + Αu). Оно имеет вид
ri L	di		1 #t		i dt q(0)	&	u.
				%		(
	dt		C %0			(

t

Изобразив напряжение u, òîê i, его производную di/dt и интеграл i dt + q(0)

0

их комплексными выражениями

j 0 t

j0t

j0t

I m

j0t

U m e

,

I m e

,

j0I m e

è

e

,

j0

U m e

jΑu

I m e

jΑi

, получим алгебраическое уравнение в комплексной

ãäåU m

è I m

форме

j0t

j0t

1

j0t

j0t

rI m e

j0LI m e

I m e

U m e

.

j0C

Сократив его на ej0t, найдем

1

I

r j0L

U

m

m

j0C

èëè

I m

U m

.

r j0L 1 ( j0C)

Из последнего уравнения легко определяется комплексная амплитуда тока I m I m ejΑi , найдя которую, сразу можно написать разыскиваемое частное решение, т. е. выражение для мгновенного тока установившегося режима, а именно

i Im (I m ej0t ) I m (sin0t Α i ).

Нас обычно интересуют действующие токи и напряжения. Так êак действую-
щие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в 2	ðàç, òî îáû÷-
но вместо комплексных амплитуд рассматривают к о м п л е к с н	û å ä å é ñ ò -

â ó þ ù è å â å ë è ÷ è í û:

I m

Ie

jΑi

U m

Ue

jΑu

I

;

U

.

2

2

В дальнейшем комплексные действующие ток, напряжение или ЭДС будем для краткости именовать к о м п л е к с н ы м и т о к о м , н а п р я ж е н и е м или ЭДС.

Интересуясь только действующими токами и напряжениями и их начальными фазами, а соответственно, и сдвигами фаз, будем опускать множитель ej0t.

Установим соответствие изображений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными действующими значениями с их изображениями с помощью векторов.

228 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Будем откладывать векторы в комплексной плоскости. По вертикальной оси, называемой о с ь ю в е щ е с т в е н н ы х, откладываем вещественные числа. По горизонтальной оси, называемой о с ь ю м н и м ы х, откладываем мнимые числа. Положительные направления осей будем отмечать знаками «+1» и «+j» (рис. 5.1). Показанная на рис. 5.1 ориентация осей обычно принимается при построении векторных диаграмм.

		Условимся начала векторов совмещать с началом координат,
		длины векторов в соответствующем масштабе брать равными
		действующим току, напряжению или ЭДС и углы между осью
		вещественных и векторами принимать равными начальным фа-
		зам соответствующих величин. При этих условиях каждой ком-
		плексной величине соответствует определенный вектор. Со-
		пряженным комплексным числам соответствуют векторы,
	Ðèñ. 5.1	являющиеся зеркальными изображениями друг друга относи-
		тельно оси вещественных.

На рис. 5.1 изображены на комплексной плоскости векторы напряжения и тока, комплексные выражения которых имеют вид

	Ue	jΑu	;		Ie	jΑi	.
U				I

Åñëè u — напряжение на зажимах цепи, а i — ток в этой цепи, то между их действующими значениями имеется связь U Iz и они сдвинуты по фазе на угол 2 Αu – Αi. При этом для перехода от вектора тока к вектору напряжения надо

первый повернуть на угол 2 и изменить длину вектора в va z ðàç, ãäå a — масштаб

для вектора тока и v — масштаб для вектора напряжения.

Соответственно, для перехода от комплексного тока к комплексному напряжению необходимо аргумент первого увеличить на 2, так как Αu Αi + 2, и умножить его модуль на z, òàê êàê U Iz, т. е. необходимо умножить комплексный ток на комплексное число zej2.

Таким образом, умножение комплексной величины на ej2 соответствует пово-

j

роту вектора на угол 2. Умножение комплексной величины на j e 2 соответст-

вует повороту вектора на угол /2.

Геометрическое суммирование векторов, изображающих напряжения или токи, соответствует алгебраическому суммированию соответствующих им комплексных величин. Действительно, при геометрическом сложении векторов складываются алгебраически их проекции отдельно по одной и отдельно по другой взаимно перпендикулярным осям, а при алгебраическом сложении комплексных чисел складываются алгебраически отдельно их вещественные и отдельно их мнимые составляющие.

5.2. Комплексные сопротивление и проводимость

Отношение комплексного напряженияU к комплексному току I называют к о м - п л е к с н ы м с о п р о т и в л е н и е м цепи и обозначают Z. В соответствии с изложенным в предыдущем параграфе имеем

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 229
Z	U	zej2 zcos 2 jzsin 2 r jx,
	I

ãäå r, x è z — активное, реактивное и полное сопротивления цепи, а z è 2 — модуль и аргумент комплексного сопротивления.

Отношение комплексного тока I к комплексному напряжению U называют к о м п л е к с н о й п р о в о д и м о с т ь ю цепи и обозначают Y. Имеем

Y	I		1		ye j2 y cos 2 jy sin 2 g jb,
			ze	j2
	U

ãäå g, b è y — активная, реактивная и полная проводимости цепи. Очевидно, существует связь

ZY 1 èëè (r jx)(g jb) 1.

Направления векторов, соответствующих комплексным величинам Z è Y, являются зеркальным изображением друг друга относительно оси вещественных, так как аргументы комплексных величин Z è Y равны и противоположны по знаку.

5.3. Выражения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Выражения закона Ома в комплексной форме имеют вид

		U						I
I			;	U	IZ;	U			;	I	UY.
		Z						Y

Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учитывается как связь между действующими током I и напряжением U, так и сдвиг фаз 2 между ними.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи, для мгновенных токов

n

имеющий вид ik 0, в комплексной форме записывается в виде

k 1

n

I k 0.

k 1

Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи, для мгновенных ЭДС

				n		n
и падений напряжений имеющий вид ek						uk , в комплексной форме запи-
				k 1		k 1
сывается в виде
			n	n		n
							Z k	,
			E k	U k	I k
			k 1	k 1		k 1
			è Zk — комплексные ЭДС, падение напряжения, ток и сопротивле-
ãäå E k	,U k	, I k

íèå â k-й ветви, входящей в контур.

Если в ветвь входят последовательно соединенные участок с сопротивлением rk, катушка с индуктивностью Lk и конденсатор с емкостью Ck, то согласно полученной в § 5.1 связи

230 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

1

1

I

r j0L

U

m

èëè

I r j0L

U

m

j0C

j0C

для этой ветви имеем

1

1

Z

k

r j0L

k

r j

0L

k

r

jx

k

.

k

j0Ck

k

0Ck

k

Как было указано выше, необходимо перед составлением уравнений по законам Кирхгофа задать положительные направления ЭДС, токов и напряжений во всех ветвях цепи, обозначив эти направления на схеме стрелками. В этом отношении, как было в общем виде сказано в § 3.7, т. I, весьма полезным может оказаться обозначение ЭДС, токов и напряжений двойными индексами, соответствующими обозначению узлов, между которыми находится данная ветвь цепи. Достаточно условиться, что положительное направление принимается от узла, соответствующего первому индексу, к узлу, соответствующему второму индексу, и тогда уже нет необходимости ставить стрелки на схеме, а сама аналитическая запись величин указывает принятое их положительное направление. При изменении порядка расположения индексов меняется знак ЭДС, тока или напряжения. Так как сопротивления ветвей цепи и проводимости являются параметрами, не имеющими направления, то порядок индексов у них безразличен.

Очевидно, все эти правила действуют и при использовании комплексного метода, т. е. имеют место соотношения

		;						;
E ab	E ba		I ab	I ba		; U ab	U ba
	Z ab		Z ba ;		Yab	Yba .

В дальнейшем всегда при обозначении указанных величин с двойными индексами будем придерживаться этих правил.

5.4. Расчет мощности по комплексным напряжению и току

Для вычислений активной и реактивной мощностей необходимо знать действующие напряжение U è òîê I и разность фаз 2 между ними.

Величина 2 равна разности начальных фаз напряжения и тока (2 Αu – Αi). Поэтому необходимо перемножить не комплексные величиныU è I, òàê êàê ïðè

	будет равен сумме Αu + Αi, а взять произведение
этом аргумент произведенияUI

одной из этих величин на сопряженную комплексную другую величину. Получа- ем в результате такого перемножения к о м п л е к с н у ю м о щ н о с т ь

Ε

Ue

jΑu

Ie

jΑi

UIe

j2

UI cos 2 jUI sin 2 P jQ

S UI

или, соответственно,

Ε

Ε

Ie

jΑi

Ue

jΑu

UIe

j2

UI cos 2 jUI sin 2 P jQ.

S

IU

Вещественная часть в обоих случаях равна активной мощности P. Реактивная мощность Q равна коэффициенту в первом случае при (+j), а во втором — при (– j) в мнимой части комплексной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S UI.

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах

231

5.5. Расчет при последовательном соединении участков цепи

При последовательном соединении участков цепи (рис. 5.2) напряжение на зажимах всей цепи равняется сумме падений напряжений на отдельных участках

n

u uk . При синусоидальном процессе, поль-

k 1

зуясь комплексным методом и учитывая, что ток является одним и тем же во всех участках, можем написать

n	n	n
U U k I k Z k I k Z k
k 1	k 1	k 1

Ðèñ. 5.2

IZ,

ãäå Zk rk + jxk — комплексное сопротивление k-го участка

Таким образом, при последовательном соединении комплексное сопротивление всей цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений отдельных участков цепи:

n	n	n
Z Z k rk j xk r jx.
k 1	k 1	k 1

Вычислив комплексное сопротивление Z всей цепи, легко рассчитать комплексный ток I при заданном напряжении U.

Из равенств

n	n
r rk	è x xk
k 1	k 1

следует, что необходимо алгебраически складывать отдельно активные è отдельно реактивные сопротивления последовательно соединенных участков.

Пользуясь этим результатом, получаем

n	n		n
I 2 r I 2 rk	I 2 rk	èëè	P Pk ;
k 1	k 1		k 1
n	n		n
I 2 x I 2 xk	I 2 xk	èëè	Q Qk ,
k 1	k 1		k 1

т. е. активная P и реактивная Q мощности всей цепи равны алгебраическим суммам соответственно активных и реактивных мощностей всех последовательно соединенных участков.

5.6. Расчет при параллельном соединении участков цепи

При параллельном соединении участков цепи (рис. 5.3)

общий ток на входе цепи равен сумме токов в отдель-

n

ных участках i ik . Пользуясь при синусоидальном

k 1

	процессе комплексным методом и учитывая, что на-	Ðèñ. 5.3
	пряжение на всех участках одно и то же, можем напи-
	ñàòü

Ðèñ. 5.4

232 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

	n	n		n
I	I k	UYk	U	Yk UY,
	k 1	k 1		k 1

ãäå Yk gk – jbk — комплексная проводимость k-го участка.

Таким образом, при параллельном соединении комплексная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей отдельных участков цепи:

n	n	n
Y Yk gk j bk g jb.
k 1	k 1	k 1

Вычислив комплексную проводимость всей цепи, легко рассчитать комплексный ток I при заданном напряжении U. Из равенств

n	n
g gk	è b bk
k 1	k 1

следует, что необходимо алгебраически складывать отдельно активные è отдельно реактивные проводимости параллельно соединенных участков.

Пользуясь этим результатом, получаем

n	n		n
U 2 g U 2 gk	U 2 gk	èëè	P Pk ;
k 1	k 1		k 1
n	n		n
U 2 b U 2 bk	U 2 bk	èëè	Q Qk ,
k 1	k 1		k 1

т. е. активная P и реактивная Q мощности всей цепи равны алгебраическим суммам, соответственно, активных и реактивных мощностей всех параллельно соединенных участков.

5.7. Расчет при смешанном соединении участков цепи

Под смешанным соединением будем понимать соединение, представляющее собой сочетание последовательных и параллельных соединений участков цепи. Соответственно, для расчета таких цепей можно использовать методы, изложенные в двух предыдущих параграфах.

Продемонстрируем это на примере цепи, изображенной на рис. 5.4. Предположим, что задано напряжение U на зажимах цепи и требуется отыскать все токи. Воспользуемся комплексным методом. Второй и третий уча- стки соединены параллельно, и, следовательно, необходимо сложить их комплексные проводимости Y2 è Y3 для получения комплексной проводимости Y23 обоих параллельно соединенных участков. Имеем

Y23 Y2 Y3 (g2 g3 ) j(b2 b3 ).

Здесь

Y2 Z12 r2 1jx2 ; Y3 Z13 r3 1jx3 .