Теоретические основы электротехники-1

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

203

цепей, эквивалентных конденсатору и содержащих только идеальные резистор, катушку индуктивности и конденсатор.

4. (Р) Имеется отрезок провода радиусом сечения r0 и длиной l // r0 . Изобрази-

те составленный из провода контур, индуктивность которого имеет: à) наибольшее значение; á) наименьшее значение.

5.(Р) Резистор образован путем намотки на цилиндрический каркас провода из материала с высоким удельным электрическим сопротивлением. Предложите такой способ намотки, при котором индуктивность резистора оказывается минимальной.

6.На рис. В3.1 изображены характеристики линейного и нелинейного резисторов, конденсатора и катушки индуктивности. Постройте соответствующие им за-

висимости r u/i f(i), C q/u f(u), L Α/i f(i).

Ðèñ. Â3.1

7. (Р) Предложите способ нахождения индуктивности концентрического кабеля, сечение которого изображено на рис. В3.2, основанный на расчете энергии магнитного поля тока кабеля, при допущении, что толщина оболоч- ки 1 кабеля весьма мала.

8. Рассчитайте индуктивность плоского конденсатора с круг-
лыми пластинами радиусом R 1 см при расстоянии меж-
äó íèìè d 1 мм. Примите допущение, что ток конденсато-
ра распределен между пластинами равномерно и не выхо-	Ðèñ. Â3.2
дит за пределы цилиндра, образованного обкладками.

9.Найдите ток конденсатора емкостью C при напряжении на его зажимах: à) Um sin (0t + Αu); á) Um cos 0t; â) kt; ã) U0 const; ä) U0 e– t; å) U0 e t.

10.Найдите напряжение на зажимах конденсатора емкостью C 10–5 !, ó÷è-

тывая, что uC(0) 20 В и его ток (в амперах) равен à) 0,1 sin (314t + 30°); á) 0,2 cos 314t; â) 2e–10t; ã) 0,35et; ä) 0,1t; å) 2/(2 + t); æ) 1 – 2t.

11.Рассчитайте напряжение на зажимах катушки индуктивностью L 0,1 Ãí,

если ток (в амперах) в неé равен à) 10e–0,01t; á) 2t; â) 1,5 (1 – e–0,1t); ã) 3et; ä) 2 sin (314t + /4); å) 32cos (314t – /3); æ) 5 10–2e–0,01t sin 314t.

12. Рассчитайте ток катушки индуктивностью L 0,2 Ãí ïðè iL(0) 2 À è íапряжении (в вольтах) на ее зажимах: à) 100å–2t; á) 2202sin (314 – /6); â) 1272sin 314t; ã) 15å–0,02t sin (314t – 2); ä) 100t; e) 20; æ) 2tå–0,2t.

204 Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

3.2. Источники в электрических цепях

ВОПРОСЫ

1.Каким должно быть соотношение между сопротивлением râí источника ЭДС и сопротивлением rí подключенной к нему нагрузки, чтобы напряжение на зажимах источника слабо зависело от тока нагрузки?

2.Чему равна внутренняя проводимость идеального источника тока?

3.Почему стремятся применять такие источники ЭДС, внутреннее сопротивление которых имеет как можно меньшее значение?

4.(О) Какому режиму работы источника ЭДС соответствует

точка пересечения его внешней характеристики с осью: à) абсцисс; á) ординат (рис. В3.3)?

5. (О) Какие опыты следует поставить и какие величины измерить для нахождения внутреннего сопротивления источника

ÝÄÑ? Ðèñ. Â3.3

6.В электрической цепи наряду с независимыми имеется также зависимый ис-

точник ЭДС ek, включенный в k-ю ветвь и управляемый током ij j-й ветви: ek rij, ãäå r — постоянная величина. Является ли линейной такая цепь? Изменится ли ответ на этот вопрос, если зависимыми являются несколько источников, управляемых токами и напряжениями ветвей цепи?

7.(О) В цепи имеется контур, образованный только идеальными источниками

ÝÄÑ ek. Какому условию должны удовлетворять ЭДС ek, чтобы такое соединение было корректным (чтобы удовлетворялись законы Кирхгофа)?

8.(О) В цепи имеется узел, к которому подходят только идеальные источники

òîêà =k. Какому условию должны удовлетворять токи =k, чтобы такое соединение было корректным (чтобы удовлетворялись законы Кирхгофа)?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Рассчитайте токи ветвей и напряжения на элементах изображенных на рис. В3.4 цепей.

Ðèñ. Â3.4

Ðèñ. Â3.5

Ðèñ. Â3.6

2. (Р) Определите соотношение между сопротивлениями râí è rïð в цепи, изображенной на рис. В3.5, при котором: à) мощность в приемнике будет наибольшей; á) величина > Pïð/Pèñò , равная отношению мощности в приемнике и мощности источника, принимает наибольшее значение.

3. Определите соотношение между проводимостями gâí è gïð в цепи, изображенной на рис. В3.6, при которых мощность в приемнике будет наибольшей. Рассчи- тайте значение > Pïð/Pèñò при этом соотношении gâí è gïð.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

205

Ðèñ. Â3.7

4. Рассчитайте сопротивление цепи (рис. В3.7) между точками a è b при замкнутом и разомкнутом положении ключа Ê, r 1 Îì.

3.3. Топологические понятия схемы электрической цепи

ВОПРОСЫ

1.Можно ли считать узлом место соединения двух ветвей?

2.Могут ли части несвязного графа иметь в схеме электрические соединения?

3.Может ли контур быть образован отрезками, входящими в различные части несвязного графа?

4.Граф состоит из двух узлов и десяти соединяющих их отрезков. Сколько деревьев содержит граф?

5.Может ли граф схемы состоять из одной ветви, соединяющей два узла? Ведь ток в этом случае незамкнут, что противоречит принципу непрерывности электрического тока?

6.Можно ли восстановить вид графа электрической цепи, если задано: à) одно из его деревьев; á) два его дерева; â) все деревья графа?

7.Совпадают ли понятия топологической и электромагнитной связей?

Ðèñ. Â3.8

8.Изменится ли граф схемы, если:

1)в одну из ее ветвей включить идеальный источник: à) ÝÄÑ; á) òîêà?

206Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

2)к паре узлов, соединенных ветвью, подключить ветвь с идеальным источ- ником: à) ÝÄÑ; á) òîêà?

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Подсчитайте количество ветвей полного графа схемы, т. е. такого графа в котором любые два узла соединены ветвью, при числе узлов графа: à) 3; á) 4; â) N.

2.На рис. В3.8 изображены схемы электрических цепей. Для каждой из них пронумеруйте узлы и ветви, изобразите граф и дерево графа.

3.4. Законы Кирхгофа

ВОПРОСЫ

1.Почему в уравнениях первого закона Кирхгофа выходящие из узла токи приняты положительными? Можно ли считать условно положительно направленными токи, подходящие к узлу?

2.В одной из ветвей цепи действует идеальный источник тока. Как следует учесть ток источника при записи уравнения первого закона Кирхгофа для узла, к которому подходит эта ветвь?

3.(О) В одной из ветвей цепи действует идеальный источник тока. Как найти напряжение на этой ветви?

4.Можно ли записать уравнение второго закона Кирхгофа для контура, одна из ветвей которого содержит только идеальный источник тока?

5.Можно ли записать уравнение второго закона Кирхгофа для изображенного на рис. В3.9 контура ambnà?

6.Можно ли при составлении уравнений для токов ветвей цепи выбрать замкнутую поверхность s так, чтобы она охватывала несколько узлов, а не один?

Ðèñ. Â3.9		Ðèñ. Â3.10
~	~	uk – ek для обобщенной ветви,
7. Справедливы ли соотношения ik	ik + k, uk
изображенной на рис. В3.10?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Запишите уравнения законов Кирхгофа для цепей, изображенных на рис. В3.8.

2.На рис. В3.11 изображены узлы A, B, C, D, E электриче-

ской цепи. Напряжения uAB, uCB, uDC, uDE заданы. Выразите через них напряжения uAC, uAD, uAE, uBD, uBE, uDA, uEA, uEB, uEC.

3. (Р) Почему ошибочно следующее рассуждение: уравне-
~	~	~	~	0, òàê
íèÿ Χik	0, Χuk	0 имеют своими решениями ik	0, uk		Ðèñ. Â3.11

		Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4	207
~	~	uk – ek можно легко найти величины ik	è uk, íå
что из соотношений ik	ik + k, uk

решая системы уравнений законов Кирхгофа?

3.5. Топологические матрицы

ВОПРОСЫ

1. Можно ли, пользуясь матрицей соединений, восстановить: à) ãðàô öåïè; á) схему цепи?

2. Имеет ли значение при составлении матрицы соединений, какую из строк расширенной матрицы соединений вычеркнуть?

3. К каким изменениям матрицы соединений приведет перенумерация: à) ветвей графа; á) узлов графа?

4. Зависит ли вид матрицы соединений от выбора дерева графа?

5. Может ли число ненулевых элементов строки матрицы соединений быть равным: à) одному; á) äâóì; â) трем или более?

6. Можно ли транспонированную матрицу соединений рассматривать как матрицу соединений некоторой схемы?

7. Может ли матрица соединений не иметь нулей?

8. Матрица соединений имеет размерность 4?6. Какова размерность: à) матрицы

~

токов ветвей; á) матрицы Ài?

9.Сохраняется ли одним и тем же число контурных уравнений при выборе различных деревьев?

10.При каком порядке нумерации связей в матрице контуров можно выде-

лить ее часть, представляющую собой единичную матрицу размерностью [p – (q – 1)]?[p – (q – 1)] (здесь p — число ветвей, q — число узлов графа)?

	~	0 соответ-
11. Источников ЭДС в цепи нет. Означает ли это, что уравнению Ñu
~	0?
ствует решение u

12. При каком порядке нумерации ветвей дерева графа в матрице сечений можно выделить часть, являющуюся единичной диагональной матрицей?

13.	Число узлов графа равно q. Какое наибольшее число ненулевых элементов
может содержаться в строке матрицы сечений?
14.	~	~	~	~
	Можно ли в системе уравнений Ài	0, Ñu	0, u= f ( i ) заменить уравнения
~	~		~ ~	этих уравнений?
Ài	0 на уравнения Di 0? Изменятся ли решения i, u

15.Можно ли, имея матрицу сечений, составить: à) матрицу соединений; á) матрицу контуров?

16.Изменится ли матрица сечений, если к некоторым узлам цепи подключить ветви с идеальным источником: à) ÝÄÑ; á) òîêà?

17.Изменится ли матрица сечений, если в некоторые из ветвей цепи включить дополнительные идеальные источники: à) ÝÄÑ; á) òîêà?

18.Токи связей найдены. С помощью какой из матриц (подматриц) можно рас- считать токи ветвей дерева?

208 Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

19.Ветви дерева и связи пронумерованы произвольно. Можно ли вычислить матрицы C è D по известной матрице A?

20.Можно ли, зная элементы матрицы C и подматрицы A2 (см. § 3.16), составить матрицу A?

21.В матрице соединений утеряна информация об элементах k-го столбца. Можно ли ее восстановить, если известны элементы: à) матрицы контуров; á) ñå÷å- íèé?

УПРАЖНЕНИЯ

1. На рис. В3.12 изображены графы схем электрических цепей. Составьте матрицы соединений. Рассчитайте значения определителей матриц. Зависят ли они от нумерации ветвей и узлов графа?

Ðèñ. Â3.12

2. Составьте граф схемы, матрица соединений À которой известна:

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 A 1 1 0 0 0 .

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

209

3. (Р) Укажите ошибки, допущенные при составлении матрицы соединений

0 1 0 0 0 1

1 0 2 0 1 0 A 0 1 0 0 1 0 .

1 m 0 0 0 0 0 0 2 0 2 1

4. Считая, что в цепи (рис. В3.13) наряду с изображенными действуют дополнительные источники тока = k (k 1, 2, . . . , 5), направленные от узла с меньшим номером к узлу с большим номером, составьте матрицы = è A=.

Ðèñ. Â3.13

5.Путь между узлами m è n проходит по нескольким ветвям графа. В электри- ческой цепи эти узлы соединяет также источник тока, направленный от узла m ê óçëó n. Составьте матрицу =, считая, что число ветвей графа равно p и что источников в цепи больше нет.

6.Составьте матрицы контуров графов схем, изображенных на рис. В3.12.

7.Составьте матрицы сечений графов схем, изображенных на рис. В3.12.

8.Запишите векторы = для схем, изображенных на рис. В3.8.

9.Изобразите граф схемы, матрица сечений D, которого имеет вид

1 0 0 1 0 D 0 1 0 0 1 .

0 0 1 1 1

10. Убедитесь в справедливости соотношений ÑDt 0, DCt 0, выражающих ортогональность матриц контуров и сечений.

210 Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

3.6. Уравнения электрических цепей

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Ветви цепи содержат в общем случае несколько последовательно соединенных элементов, каждый из которых можно отнести к отдельной ветви. Укажите преимущества и недостатки такого подхода при составлении уравнений цепи на основе топологических матриц.

2.(Р) Источник тока =p управляется током и равен =p pq iq . Какие преобразо-

вания уравнений Ai A J необходимо выполнить, чтобы правая часть уравнения не содержала тока iq. Сформулируйте алгоритм преобразования матрицы A для случая, когда все источники тока управляются током одной из ветвей.

3.Источники ЭДС e управляются напряжениями ветвей. Сформулируйте алгоритм преобразования уравнений Cu Ce, при котором в правую часть не будут входить ЭДС управляемых источников.

4.В линейной цепи действуют источники тока, управляемые напряжениями ветвей, и источники напряжения, управляемые токами ветвей. Изложите алго-

ритм преобразования уравнений цепи Ai A J, Cu Ce, i Gu, u Ri, ïðè êîòî-

ром в правой части первых двух уравнений остаются только независимые источ- ники.

4.1. Характеристики синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

ВОПРОСЫ

1.Период изменения одного из синусоидальных напряжений равен 0,02 с, частота изменения другого 60 Гц. У которого их них больше угловая частота?

2.У какого из двух электромашинных генераторов синусоидальной ЭДС, имеющих одну и ту же частоту напряжения, скорость вращения ротора выше и во сколько раз: у двухполюсного или четырехполюсного?

3.Разность фаз двух напряжений возрастает по линейному закону от времени

2kt. Каково соотношение между частотами этих напряжений?

4.(О) Совпадают ли кривые, соответствующие функциям напряжения (в вольтах):

à) u1 1 sin 0t è u2 1 sin (0t + );

á) u1 10 sin (0t + 30°) è u2 10 cos (0t + 60°);

â) u1 1272 sin (0t – 5°) è u2 1272 sin (0t + 355°);

ã) u1 2202 sin (0t – 2/3 ) è u2 2202 sin (0t + 4/3 ).

5.(О) Справедливо ли следующее утверждение: все электрические генераторы переменного напряжения, входящие в единую энергетическую систему, вращаются с одной угловой частотой?

6.Зависят ли средние и действующие значения синусоидальных токов от их на- чальных фаз?

7.Во сколько раз изменится среднее значение синусоидального тока при увели- чении его периода в 2 раза и сохранении той же амплитуды?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

211

8.Во сколько раз изменится действующее значение синусоидального тока при увеличении его амплитуды в n раз и сохранении той же частоты?

9.Изменятся ли коэффициент формы kô и коэффициент амплитуды kà синусоидального напряжения при изменении его амплитуды от Um äî 2Um и сохранении того же периода?

10.Среднее значение одного из двух синусоидальных напряжений больше, чем другого. Справедливо ли такое же соотношение для действующих значений этих напряжений? Справедливо ли обратное утверждение?

11.Коэффициенты формы двух несинусоидальных периодических напряжений одинаковы. Одинаковы ли формы кривых этих напряжений? Изменится ли ответ, если одинаковы коэффициенты амплитуды этих напряжений?

12.Равны ли средние (действующие) значения произведения синусоидальных тока и напряжения произведению, соответственно, их средних (действующих) значений?

13.Изобразите кривую ЭДС e(t), для которой коэффициент формы меньше единицы. Чему равны максимально возможные значения kô è kà?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Определите угол сдвига 2 между напряжением u и током i и изобразите на графике кривые u(t) è i(t):

à) i 102 sin (0t + 20°), u 2202 sin (0t – 20°); á) i 10 sin (0t + ), u 2202 sin (0t – );

â) i Im sin (0t + /3), u Um sin (0t + 2 + /3); ã) i 2 sin (0t + 180°), u sin (0t + 90°);

ä) i – 22 sin (0t – 90°), u 100 sin 0t;

å) i – sin 0t, u cos 0t, æ) i 2 cos 0t, u 10 sin 0t.

Ðèñ. Â4.1

2.Укажите графики, на которых изображено напряжение, опережающее ток (рис. В4.1).

3.Синусоидальное напряжение u(t) с амплитудой Um

изображено на рис. В4.2 при принятом начале отсчета времени в точке 0. Запишите выражение для напряжения u(t) при других началах отсчета времени t1, t2, t3, t4, указанных на рисунке.

Ðèñ. Â4.2

212 Вопросы, упражнения, задачи к главам 3 и 4

4.Изобразите кривые мгновенных токов и напряжений так, чтобы выполнялись следующие условия: à) ток опережал напряжение на /2; á) напряжение опережало ток на /4; â) ток и напряжение были в квадратуре; ã) ток и напряжение были в фазе, в противофазе.

5.(Р) Определите действующие значения периодических токов и напряжений, изображенных на рис. В4.3.

Ðèñ. Â4.3

6.(О) Определите среднее значение ЭДС, индуцируемой периодически изменяющимся потокосцеплением, вид которого указан на рис. В4.4. Изобразите кривые e(t).

7.Определите коэффициент формы и коэффициент амплитуды кривых, представленных на рис. В4.4.