14. Отношения истинности в сложенных высказываниях.

Отношения между суждениями в сложных высказываниях. Таблица истинности.

Основу отношений между суждениями составляют их сходства по содержанию:

• совместимые

1. эквивалентность (p ≡ q, выражает одну и туже мысль в различной форме)

2. частичная совместимость (одновременно истины, но не могут быть одновременно ложными)

3. отношение подчинения (общий предикат, а субъекты суждения находятся в логическом подчинении, А-I ; E-O)

• несовместимые (как противоположность, характерна для суждений, которые не могут быть одновременно истинными)

1. противоположность (контрарность)

2. противоречие (контрадикторность) A-O; E-I, такие суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными.

Сложные суждения могут быть истинными или ложными в соответствии с истинностью и ложностью, входящие в состав. Структуру сложных суждений образуют простые и логические связки (союзы).

Таблица истинности

p	q	1. p /\ q	2. p \/ q	3. p \˙/q	4. p → q	5. p ≡ q
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

1. Соединительное или конъюнктивное суждение – сложное сужение, в котором простые суждения связаны логической связкой И (конъюнкция). Истинно тогда, когда истинны входящие в него суждения.

2. Разделительное или дизъюнктивное суждение – сложное суждение, в котором простые суждения связаны между собой логическим союзом ИЛИ. Суждение является ложным только тогда, когда входит в него простые суждения одновременно ложные.

3. Сильная дизъюнкция – разделительное суждение, содержащее союз ЛИБО … ЛИБО, является истинным при условию истинности одного и ложности другого.

4. Условные суждения или импликация – суждение, где простые соединяются логическим союзом ЕСЛИ ТО. Суждения, стоящие после слов ЕСЛИ, называется основанием, после ТО – следствием. Являются ложными, если основание – истинно, а следствие – ложно, из истинности ложь не следует.

5. Суждение эквивалентности – сложное суждение, где связь между простыми осуществляется с помощью логического союза ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ, ТО. Одно из простых суждений является необходимым для другого. Истнинны тогда, когда входящие в него простые суждение имеют одинаковые истинные значения.

15. Логические преобразования сложных высказываний.

16. Общие и специальные правила дедуктивного вывода.

Дедуктивным умозаключением называют умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А₁, А₂, ...А_n, а заключение - буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так:

А₁, А₂, ...А_n В. Часто используют такую запись:

А₁, А₂, ...А_n . Здесь черта заменяет слово "следовательно".

В

Замечание.

- В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному.

- Дедуктивные умозаключения позволяют строить частные суждения из общих.

- В дедуктивном умозаключении при истинных посылках, истинно и заключение.

Правила вывода или схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению, в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?

В логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений. Наиболее часто встречаются следующие:

 - правило заключения;

 - правило отрицания;

 - правило силлогизма.

Приведем примеры умозаключений, выполненных по этим правилам:

Правило заключения: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

Правило отрицания: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, число 177 не оканчивается цифрой 5.

Правило силлогизма: Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то х кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них состоит в использовании кругов Эйлера. Для этого сначала умозаключение записывают на теоретико-множественном языке, а посылки изображают на кругах Эйлера, считая их истинными. После чего выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если оказывается, что всегда, то говорят, что данное умозаключение дедуктивное. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то говорят, что всякое умозаключение, выполненное по такой схеме, не является дедуктивным.

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка может быть записана в виде Т_А ,где Т_А и Т_В - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Частная посылка А(а) означает, что а Т_В. Все умозаключения, построенные по правилу заключения, записываются на теоретико-множественном языке так:

Изобразив на кругах Эйлера множества Т_А и Т_В и обозначив элемент а , видим, чтоа , т.е.а а .