Активное сопротивление и внутренняя индуктивность цилиндрического провода с учетом поверхностного эффекта

Активное сопротивление участка провода длиной l равно r=P/I2, где Р мощность тепловых потерь на участке.

Воспользуемся теоремой Пойнтинга в комплексной форме

Поверхность интегрирования показана на рисунке. На боковой поверхности

следовательно,

Что касается потока через заштрихованные площадки, то он равен нулю. Поэтому искомая мощность

Активное сопротивление провода

Индуктивное сопротивление, обусловленное внутренним магнитным полем,

Так как

то

Внутренняя индуктивность

На рис. 6-6 показаны кривые r=f(ω); LBH=f2(ω). Как видно из рисунка, при увеличении частоты актив­ное сопротивление растет, а индуктивность уменьшается. При ω=0, т.е. в случае постоянного тока,

При очень большой частоте отношение b0a/ b1a стремится к единице, а стремится к π/2. Следовательно, ак­тивное сопротивление

Подставив значения (для меди) γ = 5,75*107 1/омм,получим величину активного со­противления на единицу длины медного провода

Следовательно, активное сопротивление двухпроводной ли­нии в области радиочастот будет равно

Теорема умова — пойнтинга

Теорема Умова — Пойнтинга выражает закон сохра­нения энергии в электромагнитном поле. Она связывает изменение энергии в каком-либо объеме с потоком ее через поверхность, ограничивающую этот объем.

Энергия электромагнитного поля в объеме V

Она непрерывно меняется во времени.

Изменение (увеличение) энергии в указанном объеме

Запишем уравнения Максвелла для среды с ε = const, μ = const и γ= const:

Из этих уравнений найдём:

Тогда изменение энергии электромагнитного поля может быть выражено следующим образом:

Из курса векторного анализа известно, что

Следовательно,

Обозначим векторное произведение

Его называют вектором Пойнтинга.

Величина П измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м²).

По теореме Остроградского

и, следовательно,

Полученное выражение носит название теоремы Умова — Пойнтинга: поток вектора Пойнтинга, входящий в замк­нутую поверхность S, равен сумме двух мощностей, одна из которых является мощностью тепловых потерь внутри объема V, ограниченного поверхностью S, а другая соответствует изменении энергии электромагнитного поля в том же объеме.

Мощность тепловых потерь всегда положительна. Мощность ρ_эм, соответствующая изменению энергии элек­тромагнитного поля, может быть и положительном и отрицательно.

Если она положительна, то электромагнитная энергия внутри объема V увеличивается.

Положительная нормаль к замкнутой поверхности и вектор dS направлены в наружную сторону. Поэтому, для того чтобы поток вектора П, входящий через поверхность S, был положительным, вектором П должен быть преиму­щественно направлен внутрь объема V (угол между вектором П и dS должен быть преимущественно тупым).

Вектор Пойнтинга можно определить как величину, которая равна энергии, проходящей в 1сек сквозь поверх­ность, равную 1м², перпендикулярную к направлению вектору П.

При выводе теоремы Умова — Пойнтинга мы предпо­лагали, что в объеме, ограниченном замкнутой поверх­ностьюS, нет источников энергии. Если в объеме V такие источники имеются, причем мгновенная мощность источ­ников равна ρ_ист, то теорему надо записать следующим образом.

Мощность источников в объеме V равна сумме мощно­стей: тепловых потерь, мощности изменения энергии элек­тромагнитного поля в объеме V и мощности энергии, вы­ходящей через граничную поверхность S рассматриваемого объема.