Поверхностный эффект в цилиндрическом проводнике

Рассмотрим явление поверхностного эффекта при про­хождении синусоидального тока по металлическому ци­линдрическому проводу круглого сечения. Токами смеще­ния внутри провода можно пренебречь, так как они исче­зающе малы по сравнению с токами проводимости. Провод будем считать прямым и очень длинным. Влиянием обрат­ного провода пренебрегаем, т. е. считаем его достаточно удаленным. При сделанных предположениях будет иметься осевая симметрия. Линии вектора Н являются окружно­стями, лежащими в плоскости, перпендикулярной к оси провода, с центрами на оси. На одном и том же расстоянии от оси модуль вектора напряженности магнитного поля

будет одинаковым. Вектор плотности тока направлен параллельно оси провода и на одинаковом расстоянии от оси имеет одно и то же значение. Ось z цилиндриче­ской системы координат совместим с осью провода и будем считать, что положи­тельное направление тока совпадает с на­правлением оси z. Тогда векторы поля бу­дут иметь по одной проекции (рис.6-1.)

Обозначим радиус провода а и ток в проводе При установившемся режиме векторы Н именяются во времени также по синусоидальному закону. Следовательно, поле можно описать уравне­ниями Максвелла, записанными в комплексной форме:

Раскрыв выражение ротора в цилиндрической системе координат и подставив вместо величинуполучим:

Частные производные заменены обычными, так как искомые величины зависят только от одной координаты r.

Решая эту систему уравнений, получаем:

Обозначим

Тогда

Полученное уравнение представляет собой видоизменен­ное уравнение Бесселя, каноническая форма которого сле­дующая:

Каждому значению параметра р соответствует пара фундаментальных решений

Функция Jp(ω) называется функцией Бесселя первого рода р-го порядка. Величины и-постоянные.

Приведем полученное выше уравнение к каноническому виду; положим

Тогда

Введя новое переменное ω в уравнение и упростив его, получаем:

Сравнив это уравнение с канонической формой уравнения Бесселя, находим, что они совпадают при р = 0. Следовательно, решение уравнения удовлетворяется функ­циями Бесселя нулевого порядка. Вторая функция Np(ω) называется функцией Бесселя второго рода р-го порядка (она называется также функцией Неймана):

Известно, что при

Так как плотность тока — величина конечная, то по­стоянная должна быть равной нулю; в противном случае на оси провода (r=0) плотность тока получалась бы бес­конечно большой. Таким образом, искомая плотность тока определяется выражением, в которое входит функция Бес­селя первого рода нулевого порядка. Эта функция моно­тонно возрастает и может быть представлена в виде знако­переменного ряда

Так как ω - число комплексное, то и функция J0(ω) - комплексное число. Обозначим модуль функции b0, а аргу­мент β0: J0(ω)=b0ejβ0

Величину

называют функцией Бесселя первого рода первого порядка. Ее можно записать следующим образом:

В таблице (приложение 5) приведены значения b0, β0, b1 β1 для различных значений аргумента ω.

Нетрудно убедиться в справедливости равенства

Для определения постоянной интегрирования выразим амплитуду заданного тока в проводе через плотность тока (рис. 6-2)

Искомая постоянная равна:

Тогда плотность тока можно записать следующим обра­зом:

Если начальная фаза заданного тока равна нулю:

то

Величина Im/πa2 равна амплитуде средней плотности тока.

На рисунке показана кривая зависимости . С увеличением частоты плотность тока на оси убывает, а

на поверхности растет. При r=a плотность тока будет наибольшей

Зная плотность тока, можно определить напряженность магнитного поля

На рис. 6-4 показана кривая Hm=f(r). Наибольшее значение Н принимает на поверхности провода. Если ам­плитуда тока не меняется, то с изменением частоты амплитуда напряженности поля Нт вне провода ме­няться не будет. Внутри проводника в одной и той же точке величина Нт с увеличением частоты умень­шается. Уменьшается и Фвн.

Так как модуль функ­ций Бесселя растет с уве­личением аргументато чем выше частота переменного тока, магнитная проницаемость и про­водимость проводника, чем больше его радиус, тем сильнее сказывается явление поверхностного эффекта, тем быстрее затухает электромагнитная волна, проникающая вглубь проводника через его поверхность из окружающего провод диэлектрика.