Аксиомы стереометрии

Аксиома 1.1. 

Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 1.2. 

Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

Аксиома 1.3. 

Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную.

Аксиома 1.4. 

Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Чертеж 1.1.1.

На чертеже 1.1.1 показаны два общепринятых изображения плоскости. Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: α, β, γ, ... Если прямая a лежит в плоскости α, то пишут a  α. Если плоскости α, β пересекаются по прямой l, то пишут α  β  =  l.

Первые следствия из аксиом стереометрии

Теорема 1.1. 

Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 1.2. 

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Легко доказать следующие теоремы.

Теорема 1.3. 

Плоскость и прямая вне ее либо не имеют общих точек, либо имеют единственную общую точку.

Теорема 1.4. 

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Сделайте это самостоятельно.

Угол между наклонной и плоскостью

Определение 3.7. 

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Чертеж 3.5.1.

На чертеже 3.5.1 показана наклонная AB, OB = Пр_αAB, ABO – угол между наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b через точку B так, чтобы OC  b. Пусть ABO = β, OBC = γ, ABC = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем 

Заметим, что  или 

cos φ = cos β cos γ.

Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.

Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ.

Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости α.

Двугранный угол

Определение 3.8. 

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Чертеж 3.6.1.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями (чертеж 3.6.1). Общая прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M  α, N  β (чертеж 3.6.1), тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость αперпендикулярно ребру AP (чертеж 3.6.2). Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a₁ и b₁. Согласно теореме о следе a₁ || a,b₁ || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

Чертеж 3.6.2.

Определение 3.9. 

1. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.