5.3. Составление блок-схемы модели самовара

Блок-схема модели состоит из двух практически не зависимых блок-схем, отражающих две стадии процесса: до кипения и после кипения.

Если , то это условие кипения. Для этого случая расход пара определится формулой:

. (5.14)

Значения удельной теплоты парообразования и плотности пара задаются таблично в справочниках [9] и в виде интерполяционных полиномов используются в модели.

Если , то это условие работы аппарата в режиме до кипения и расход пара определяется формулами (5.12) и (5.13), которые для компактности отображения на блок-схеме запишем в виде .

T

q₁

N

Рис. 5.3. Блок-схема модели самовара

6. Моделирование процессов, описываемых в частных производных

Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если же число частиц очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, и ее состояние описывать уравнениями в частных производных. Например, изменение температуры в некотором теле описывается уравнением теплопроводности

, (6.1)

где u  температура;

с  теплоемкость;

k  коэффициент теплопроводности;

q  плотность источников тепла.

Решение требуется найти в некоторой области G изменения независимых переменных (координат r). Полная постановка задачи содержит, кроме уравнения (6.1), значения переменной u на границе области Г(r) и области G(r). Задача, в которой заданы только начальные условия и нет краевых, называется задачей Коши. Задача с начальными и граничными условиями называется краевой задачей.

6.1 Физический смысл уравнения теплопроводности

Поясним введенные выше понятия. Дивергенция (div) векторного поля , являющаяся скалярной величиной (Rⁿ  размерность пространства с декартовыми координатами x_i) определяется уравнением

,

grad  вектор, направленый по возрастанию и равен производной,

,

.

Поясним физический смысл уравнения (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Прохождение теплового потока через элементарный

участок пространства

q_i

q_{i +1}

На рисунке площадь поперечного сечения элементарного куба , а вектор теплового потока

.

Вектор теплового потока пропорционален градиенту температуры. Скорость нагревания выделенного объекта пропорциональна разности теплового потока, поступившего в объект и вышедшего из него.

,

где  площадь, через которую тепло поступает в рассматриваемый элемент.

(уравнение теплового баланса), (6.2)

 теплоемкость элемента.

Подставим и С в уравнение теплового баланса (6.2):

,

т.к. q = - k grad T, следовательно,

.

Таким образом, скорость нагрева прямо пропорциональна степени искривления температурного поля.

К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.

Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время t и координаты r; бывают и другие переменные, например, скорости частиц v в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных G(t, r, , ...). Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия обычно задаются на границе области G.

Если одной из переменных является t (время), то чаще всего рассматривают области вида

, (6.3)

т. е. решение ищут в некоторой пространственной области g(r, . . .) на отрезке времени t₀  t  T. В этом случае дополнительные условия, заданные при t = t₀, называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе Г(r) области g(r)граничными или краевыми.

Задачу, у которой имеются только начальные условия и нет краевых, называют задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (6.1) в неограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными условиями

u(r, t₀) = (r). (6.4)

Если (r)  кусочно-непрерывная ограниченная функция, то решение задачи (6.1), (6.4) единственно в классе ограниченных функций.

Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой или нестационарной краевой задачей. Для уравнения (6.1) дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид

u(r, t₀) = (r), r  g(r), u(r, t)_Г =₁(r, t), t₀  t  T. (6.5)

Для этого уравнения допустимы и другие граничные условия, например, содержащие производную решения на заданной границе. При исследовании установившихся состояний или стационарных (не зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются математические задачи, не зависящие от времени. Их решение ищется в области g(r), а дополнительные условия являются граничными. Такие задачи называют краевыми.

Мы ограничимся рассмотрением корректно поставленных задач, когда для некоторого класса начальных и граничных данных решение (в заданном классе функций) существует, единственно и непрерывно зависит от этих данных. Будем также предполагать, что решение непрерывно зависит от всех коэффициентов уравнения.