39. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В (в результате случайного эксперимента (СЭ) произошло или А или В или А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате СЭ произошли и собылие А и событие В.

Условная вероятность — вероятность Р(АВ) появления в случайном эксперименте (СЭ) события А, если известно, что в этом СЭ произошло событие В, определяется соотношением

Р(АВ) = .

Из этого определения следует, что

Р(АВ) = Р(А) Р(ВА) = Р(В) Р(АВ) — теорема умножения вероятностей

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не зависит от появления другого, точнее,

Р(АВ)= Р(А), Р(ВА) = Р(В)

В противном случае события А и В называются зависимыми

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В), если А и В независимы

40. Формула полной вероятности.

События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу для данного случайного эксперимента (СЭ) если:

1. А_iA_j =  , для i  j

2. A₁ + A₂ + … + A_n = , то есть

1. они попарно несовместны

2. в результате СЭ обязательно появится одно из них

Например, для однократного бросания игральной кости событие А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ образуют полную группу.

Для одного и того же СЭ можно рассматривать различные полные группы событий, например, А и А (с чертой) всегда образуют полную группу событий

Если событие а может наступить при появлении одного из n попарно несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу событий, то вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)Р(АН₁) + Р(Н₂)Р(АН₂) + … + Р(Н_n)Р(АН_n) ,

причем Р(Н₁) + Р(Н₂) + … + Р(H_n) = 1

41. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Пусть произведена серия из n-испытаний. Событие А может произ. в любом испытании с пост. вероятностью P. Тогда говорят что имеется схема Бернулли.

Для стрелка при 1-м выстреле вероятность Р = 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5-выстрелов он попадёт 4 раза.

Мы видим, что вероятность попад. при любом выстреле одна и та же (т.е. имеется схема Бернулли).

Пусть у нас имеется схема Бернулли. Вероятность того, что в серии из n-испытаний событие А появ. ровно k-раз =, вычисл. по формуле Бернулли.

P_n (k) = C_n^kp^kq^n-k

Формулой Бернулли удобно пользоваться в тех случ. когда число испыт. малое

Такое событие состоящ. в том, что А появ. ровно k раз в серии испыт. запис.. (АА - k-раз) (. Но только событ. , А могут быть а различ. комбинациях. А число таких различ. комбинац. = числу сочетаний из n по k.

Вероятность 1-го такого события (любого из них) = p^k (т.е. k-раз) • q^n-k =

Надо найти вероятн. появл. 3 раз из 4 событ. А. ААА + AAA + + AA

ПРИМЕР: Вероятсноть того, что стрелок при 1-м выстреле поразит мишень = 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5 испыт. в мишень будет не менее 4-х попаданий.

P₅(k ≥ 4) = P₅(4) + P₅(5) = C₅⁴ •(0,8)⁴ • 0,2 + (0,8)⁵ = • (0,8)⁴• 0,2 + (0,8)⁵ = 5 • 0,8⁴ (0,8 + 0,2) = 5 • 0,8⁴.

Наивероятнейш. число появл. события. назыв. числом появл. событий в схеме Бернулли нахыв. такое число k₀ , что вероятн. P_n(k₀) ≥ P_n(k), k = k₀.

Это число наход. по формуле np - q  k₀ np + p . В нашем примере: при стрельбе по мишени наивероятн. будет = 4. 3,8  k₀4,8  k₀ = 4.