- •1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
- •2. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Замена переменной в ои.
- •5. Интегрирование по частям в ои.
- •6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования
- •7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв
- •8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей
- •9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг
- •10. Применение определенного интеграла для выч. Объемов тел
- •11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основныепонятия о дифференциальных уравнениях.
- •12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.
- •13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.
- •15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •16.Линейные диф.Уравнения высших порядков. Теорема сущ.И единственности. Свойства решений.
- •17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •18. Линейные однородные диф уравнения 2 порядка с постоянным коэффициентом
- •19. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
- •20. Нахождение частного решения для линейного диф уравнения 2 порядка с постоянным коэф и спец правой частью
- •24. Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточный признаки сходимости рядов
- •25. Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши
- •26.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •28.Функциональные ряды. Область сходимости ряда, достаточный признак сходимости.
- •29.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
- •31. Ряд Тейлора.
- •32. Разложение основных эл-ных ф-й в ряд Тейлора.
- •33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.
- •34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..
- •35. Тройной интеграл и его выч..
- •36.Криволинейные интегралы первого и второго рода и их выч.
- •37. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
- •38. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
- •39. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
- •40. Формула полной вероятности.
- •41. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
- •43. Дискретные случайные величины.
- •44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная ф-и распределения.
- •46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •48. Нормальный з-н распределения.
- •49.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая ф-я распределения.
- •50.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и выч..
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при известном .
- •52.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального з-на распределения при неизвестном .
- •53. Элементы корреляционного анализа. Двумерная случайная величина. Функциональная и корреляционная зависимость
28.Функциональные ряды. Область сходимости ряда, достаточный признак сходимости.
Все члены ряда – это ЧИСЛА. Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ: (1) Если вместо x подставить конкретное значение x0,то получится числовой ряд. Если этот ряд сходится, то точка x0— точка сходимости, если расходится—расходимости. Множество всех точек сходимости ф-онального ряда—область сходимости ряда. Достаточный признак сходимости: Если для ряда (1) сущ. знакоположительный сходящийся ряд α1+α2+…+αn+…(2), такой ,что выполняется условие Іu1(x)І<α1,Іu2(x)І<=α2…Іun(x)І<=αn, то ряд(1) также будет сходиться для всех x из области D.
29.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется ф-ональный ряд вида
(1) где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа. Точкуx0 называют центром степенного ряда. Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида (2)Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое мн-во. Т.( об области сходимости с.р) Если для ряда (2) лимит n ->∞ [an+1/an]=1/R , то областью сходимости ряда (2) является интервал (-R;R) , которому в зависимости от конкретных случаев могут добавляться точки –R,R в интервале сходимости ряд сходится абсолютно , а число R– радиус сходимости с.р. На практике радиус сходимости степенного ряда чаще всего определяют с помощью признака сходимости Даламбера. Предположим, что все коэффициенты ряда отличны от нуля и сущ. предел . Тогда радиус сходимости находится по формуле
Действительно, в силу признака Даламбера ряд
сходится, если число
меньше 1, и расходится, если этот предел больше 1. Иначе говоря, ряд сходится для всех x таких, что и расходится при Это и означает, что число является радиусом сходимости ряда
30.Основные теоремы о степенных рядах(с.р) Т1.Сумма степенного ряда есть ф-я непрерывная в области сходимости степенного ряда. Т2.( о дифференцируемости с.р) С.р S(x)(1) в интервале сходимости ( -R;R) почленно продифференцировать , причем полученный ряд сходится в интервале и его сумма Сигма (x)=S'(x). Т3.( об интегрируемости с.р) если с.р(1) имеет интервал сходимости ( -R;R), то ряд a0x+a1x^2/2+…+anx^n+1/n+1+…=γ(x)(2) полученный почленным интегрированием ряда (1) также сходится в этом интеграле причем γ(x)=дифференциал от 0 до x S(t)dt. В общем случае, когда с.р имеет вид a0+a1(x-x0)+a2(x)…поступают след.образом: обозначают (x-x0)=t, получают ряд a0+a1t+a2t+…+ant^n+…, находят радиус сходимости и записывают:-R<t<R -R<x-x0<R x0-R<x<x0+R}интервал сходимости
31. Ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора—разлож ф-ции в бесконеч сумму степенных ф-ций. РядыТейлора примен при апроксимации ф-ции многочленами. В частности, линеаризация ур-ий происходит путём разлож в ряд Тейлора и отсеч всех членов выше перв порядка. Пусть ф-ция бесконечн диф-ема в некот окрестности точки . Формальн ряд
наз рядом Тейлора ф-ции в точке .
32. Разложение основных эл-ных ф-й в ряд Тейлора.
1) f(x)=ex
x0=0
f’(x)=f”(x)= ex
х х2 хn
ex=1+1! +2!+…+n!
2)
)
3)
4)
5)