50.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и выч..

Пусть требуется изучить некоторый признак генеральной совокупности. Для его изучения мы делаем выборку объёма и эту выборку мы записываем в виде статист интерв ряда.Строим полигон или гистограмму и опред вид з-на распределения (з-н распределния может находится и из др соображений, если заранее известно, что генер совокупности подчинена заранее известному з-ну распределения).После того, как мы опред з-н распределения нужно найти параметры этого распред (дисперсия, среднее квадратичное, матем ожидание и др). Их мы будем вычислять по статист рядам 1 и 2, но это будет не истинные параметры, а некоторые их приближенные, т.е. это будет оценка параметров.

Любое знач параметра a, вычисленное по выборке (статист ряды 1,2) называется оценкой параметра. и обознач. ã. Оценка параметра зависит от выборки. Для различных выборок оценка будет различной.

Для того, чтобы оценки давали хорошее приближенное знач неизвестного параметра к ним предъявляется след требования:

1. Состоятельность. Оценка назыв. состоятельной, если с увелич объема выборки, т.е. при n→∞, ã a

2. Несмещённость. Оценка назыв несмещенной, если при её использовании нет ошибок одного знака, т.е. М(ã)=М(а)

3. Эффективность. Оценка назыв эффективной, если ее дисперсия, по сравнению с др оценками, наименьшая

Если у нас есть несколько выборок и по каждому есть вычисляемая оценка, то эффективной будет та, у которой дисперсия наименьшая.

На практике, как правило, есть только 1 выборка, тогда ни о какой эффективности речи быть не может.

Оценка назыв точечной, если она задается одним числом.

Оценка назыв. интервальной, если она задается интервалом.

Точечные оценки параметров распределения

Пусть по выборке записаны статист ряды

x	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

1)

[xi,x2]	[x1,x2[	[x2,x3[	…	[xk,xk+1[
ni	n1		…	nk
xi^*	x1^*	x2^*	…	xn^*

2)

середина интервала

Оценкой матем ожидания назыв статист среднее

Статист средней (статист матем ожиданием) назыв среднее арифметическое наблюдаемых знач и вычисл по формулам

X = для ряда 1

X = для ряда 2

Замечание: если первоначальные варианты x_i достаточно большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой из них одно и то же число и перейти к условным вариантам.

U_i= x_i – C

X = C + U

Статистическая оценка дисперсии

В теореме вероятностей оценки рассеивания возможных случ величин относительно матем ожидания рассматривают дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Они вычисляются по формулам аналогичным вычислению дисперсии, но только вместо P (вероятность) стоит относ частота

Если же у нас интервальный статист ряд

На практике, как правило пользуются формулами, которые упрощают выч.

, где уменьшаемое – статист среднее случ велич, вычитаемое – статист среднее случ велич x

Замечание: если первоначальное варианты xi большие числа, то для упрощения выч. переходит к условным U_i, которые получаются, если из исходных вариантов вычислить постоянное число C.

U_i=x_i – C

Следует отметить, что

Оценка среднее квадратичного отклонения

Оценка дисперсии удовлетворяет след требованиям:

1. Она явл состоятельной, т.е. по вероятности

2. Она явл смещенной

исправленная оценка дисперсии. Ее обозначают , где S- исправленная оценка среднего квадратического отклонения

Если мы будем пользоваться не исправленной оценкой, то будем допускать систематическую ошибку в сторону уменьшения.

Замечание: на практике, если объём выборки n≥30, то приближенно принимают, что