Группа б
1. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, изобразить график функции в окрестности точки разрыва.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
2. Найти точки разрыва функции и определить их характер.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
3. Выполнить следующие задания.
1) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:
.
2) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:
.
3) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:
.
4) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:
.
5) Докажите, что каждый многочлен четной степени принимает наименьшее или наибольшее значение. Что можно сказать о коэффициенте при старшем члене этого многочлена, если многочлен принимает наибольшее значение?
6) Докажите, что каждое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.
7) Для функции
имеем
,
.
Следует ли отсюда существование такого
,
что
и
?
8) Для функции
имеем
,
,
.
Существует ли значение
такое, что
и
?
9) Будет ли функция
в какой-либо точке отрезка
принимать значение, равное нулю?
10) Принимает ли функция
наименьшее и наибольшее значения на
отрезке
?
4. Ответьте на следующие вопросы.
1) Можно ли утверждать, что функция, определенная во всех точках отрезка, будет ограничена на нем? Приведите примеры.
2) Всегда ли функция, определенная во всех точках отрезка и ограниченная на нем, достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений? Приведите примеры.
3) Можно ли утверждать, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке наибольшего (наименьшего) значения лишь в единственной точке?
4) Можно ли утверждать, что функция, определенная на некотором отрезке и принимающая на концах этого отрезка значения разных знаков, будет в некоторой точке отрезка принимать значение, равное нулю? Приведите примеры.
5) Может ли функция, непрерывная
на отрезке
и принимающая значение, равное нулю,
лишь в единственной точке интервала
,
не принимать на
значений разных знаков?
6) Множество значений функции,
определенной на отрезке
,
есть отрезок. Можно ли утверждать, что
функция непрерывна на
?
7) Может ли функция, непрерывная
на множестве
,
принимать на этом множестве только два
различных значения, если: а)
- отрезок; б)
;
в)
?
8) Существует ли непрерывная
функция, отображающая отрезок
на всю числовую прямую?
9) Существует ли непрерывная
функция, отображающая отрезок
на интервал
?
10) Существует ли непрерывная
функция, отображающая отрезок
на множество
?
Группа в
1. Функция
не определена в точке
.
Постройте функцию
так, чтобы функция была непрерывной при
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
2. Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы графиков следующих функций.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
3. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функции.
1)
,
;
2)
,
;
3)
;
;
4)
,
;
5)
,
;
6)
,
;
7)
,
;
8)
,
;
9)
,
;
10)
,
.